2025-2026学年重庆市西南大学附中高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市西南大学附中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数f(x)=xlnx，则f′(1)=(

)A.1+e B.e C.1 D.02.方程x2m−4+y25−mA.4<m<5 B.4<m<92或92<m<5

C.3.已知数列{an}是公比为2的等比数列，则A.2 B.4 C.8 D.164.已知两条异面直线的方向向量分别是m=(3,−2,−1)，n=(1,2,3)，则这两条异面直线所成的角θ满足(

)A.cosθ=27 B.cosθ=−27 C.5.已知圆C：(x−6)2+y2=36，AB是圆C的一条动弦，|AB|=63A.(x−6)2+y2=3 B.(x+66.已知函数f(x)=(x2−4x−m)ex在[2,3]上单调递增，则实数A.m<−4 B.m≤−4 C.m<−1 D.m≤−17.已知数列{an}满足an+1=an+2nA.5 B.4 C.3 D.28.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，左、右顶点分别为A1，A2，过A1作x轴的垂线与A.[233,2] B.[2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：(a+1)x−(2a−2)y+4=0，l2：x+y−1=0，则下列说法正确的是(

)A..直线l1过定点(−2,−1) B.直线l2的倾斜角为π4

C.若l1⊥l2，则10.设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2A.S1=1 B.Sn−11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，则(

)A.以AB为直径的圆与l相切

B.若|AB|=8，则直线AB的斜率的绝对值为1

C.△DEF为锐角三角形

D.|DF|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(4,x,6)，向量b=(2,5,y)，且a//b，则x+y=

13.已知点P为抛物线y2=4x上的动点，点A(3,4)，过P作y轴的垂线，垂足为点M，则|PM|+|PA|的最小值为

．14.已知数列{an}满足an=4n+(−1)n−1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知公差大于1的等差数列{an}满足a1=1，且a1，a2+1，a8+1成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)16.(本小题15分)

已知曲线f(x)=alnx−12x2+52x在点(1,f(1))处的切线与直线3x−y+2=0平行．

(1)求17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB=4，AD=DC=2，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，连接BD．

(1)证明：BD⊥AP；

(2)求平面APB与平面CPB所成角的余弦值．18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，点A(0,2)在C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A作两条互相垂直的直线，与椭圆C的另一个交点分别为E，F，证明：直线EF过定点；

(3)以原点O为圆心且过点19.(本小题17分)

设n∈N∗，点An(xn,yn)、Bn(sn,tn)满足xn2+yn2=n2，sn2+tn2=n2，若线段AnBn的中点Cn满足OAn⋅OBn=−2OCn2．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：因为函数f(x)=xlnx，

所以f′(x)=lnx+x⋅1x=lnx+1，

故f′(1)=ln1+1=1．

故选：C．2.【答案】B

【解析】解：方程x2m−4+y25−m=1表示椭圆，

可得m−4>05−m>0m−4≠5−m，解得4<m<5且m≠3.【答案】B

【解析】解：数列{an}是公比为2的等比数列，则a9+a11a4.【答案】A

【解析】解：因为两条异面直线的方向向量分别是m=(3,−2,−1)，n=(1,2,3)，

可得m⋅n=3×1+(−2)×2+(−1)×3=−4，|m|=9+4+1=14，|n|=5.【答案】D

【解析】解：已知圆C：(x−6)2+y2=36，

则圆心C(6,0)，半径为6，

又AB是圆C的一条动弦，|AB|=63，

则|CM|=36−(632)2=3，

则AB的中点M6.【答案】B

【解析】解：因为f(x)=(x2−4x−m)ex，

所以f′(x)=(2x−4)ex+(x2−4x−m)ex=(x2−2x−4−m)ex，

因为y=f(x)在[2,3]上单调递增，

所以f′(x)≥0在[2,3]上恒成立，

即x2−2x−4−m≥0在[2,3]上恒成立，

由二次函数的性质，可知y=x2−2x−4−m在[2,3]上单调递增，7.【答案】C

【解析】解：由an+1=an+2n，a1=4，

可得an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(an−8.【答案】A

【解析】解：双曲线E：x2a2−y2b2=1的渐近线方程为x2a2−y2b2=0，A1(−a,0)，A2(a,0)，

直线MN：x=−a与渐近线方程联立得|y|=b，则|MN|=2b，S△MNA2=12|MN||A1A2|=2ab，

由9.【答案】ACD

【解析】解：直线l：(a+1)x−(2a−2)y+4=0，化简得到a(x−2y)+(x+2y+4)=0，

令x−2y=0x+2y+4=0，所以x=−2，y=−1，所以直线l1过定点(−2,−1)，故A正确；

直线l2的斜率为−1，对应倾斜角为3π4，故B错误；

因为直线l2的斜率为−1，若l1⊥l2，则直线l1的斜率为1，

所以a+12a−2=1，所以a=3，故C正确；

因为直线l2的斜率为−1，若l1//l2，则直线l1的斜率为−1，

所以a+12a−2=−1，所以a=13，故D正确．

故选：ACD．

直线10.【答案】ACD

【解析】解：由2anSn=an2+1(n∈N∗)，且an>0，

可得n=1时，2a1S1=a12+1=2a12，解得a1=1，

当n≥2时，由2Sn=an+1an=Sn−Sn−1+1Sn−Sn−1，

可得Sn+Sn−1=11.【答案】ABD

【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点F(1,0)，准线l：x=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

对于A，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，以AB为直径的圆半径r=12|AB|=x1+x22+1，

线段AB中点(x1+x22,y1+y22)到直线l的距离为x1+x22+1=r，因此该圆与l相切，A正确；

对于B，设直线AB：x=ty+1，由x=ty+1y2=4x消去x得y2−4ty−4=0，则y1+y2=4t，

x1+x2=t(y1+y2)+2=4t212.【答案】13

【解析】解：因为向量a=(4,x,6)，向量b=(2,5,y)，且a/​/b，

所以存在实数λ，使得a=λb，

即(4,x,6)=λ(2,5,y)=(2λ,5λ,λy)，

所以4=2λx=5λ6=λy，解得λ=2x=10y=3，

所以x+y=13．

故答案为：13．

由a/​/13.【答案】2【解析】解：由抛物线y2=4x，则焦点为F(1,0)，准线为x=−1，

则|PM|+|PA|=|PF|−1+|PA|=|PF|+|PA|−1≥|AF|−1=(3−1)2+(4−0)2−1=25−1，

当且仅当P在线段AF上时等号成立，

所以|PM|+|PA|的最小值为214.【答案】(−48【解析】解：根据题意，数列{an}满足an=4n+(−1)n−1(n+1)t，

当n≥1时，有an+1−an=4n+1+(−1)n(n+2)t−[4n+(−1)n−1(n+1)t]=4n+1−4n+(−1)n(n+2)t−(−1)n−1(n+1)t=3×4n+t(−1)n(2n+3)，

若数列{an}为单调递增数列，则an+1−an=3×4n+t(−1)n15.【答案】an=2n−1

设bn=1anan+1，数列{bn}的前n项和为Sn，【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>1)，

由a1=1，且a1，a2+1，a8+1成等比数列，

得(d+2)2=1⋅(7d+2)，即d2−3d+2=0，

而d>1，解得d=2，

所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d=2n−1；

证明：(2)设bn=1a16.【答案】32

f(x)的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,+∞)【解析】解：(1)已知f(x)=alnx−12x2+12，所以f′(x)=ax−x+52，

曲线f(x)=alnx−12x2+52x点(1,f(1))处的切线与直线3x−y+2=0平行，

所以f′(1)=3，即a1−1+52=3，解得a=32．

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(−x)=32x−x+52=−2x2+5x+32x．

令f′(x)=0，即−2x2+5x+32x=0，又x>0，所以−2x2+5x+3=0，17.【答案】证明：在四棱锥P−ABCD中，取AB中点Q，连接DQ，

因为四边形ABCD是等腰梯形，AB/​/CD，AB=4，AD=DC=2，

所以BQ//CD，BQ=CD，则四边形BCDQ是平行四边形，

则DQ=BC=2=12AB，△ABD是直角三角形，且AD⊥BD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，

所以BD⊥AP【解析】解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，取AB中点Q，连接DQ，

因为四边形ABCD是等腰梯形，AB/​/CD，AB=4，AD=DC=2，

所以BQ//CD，BQ=CD，则四边形BCDQ是平行四边形，

则DQ=BC=2=12AB，△ABD是直角三角形，且AD⊥BD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，

所以BD⊥AP．

(2)取AD的中点O，连接OP，OQ，由(1)知，OQ//BD，OQ⊥平面PAD，

由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD，

则直线OA，OQ，OP两两垂直，

以O为原点，直线OA，OQ，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,3)，A(1,0,0)，B(−1,23,0)，C(−2,3,0)，

PA=(1,0,−3)，PB=(−1,23,−3)，PC=(−2,3,−3)，

设平面PBC的一个法向量m=(x,y,z)，

则m⋅PB=−x+23y−3z=0m⋅PC=−2x+3y−3z=0，

令y=1，得m=(−3,1,3)，

18.【答案】x216+y24=1

证明：由题意可知，直线AE的斜率显然存在且不为0，

设直线AE的方程为y=kx+2，

联立y=kx+2x216+y24=1，消去y得x[(4k2+1)x+16k]=0，

所以xE=−16k4k2+1，yE=k⋅(−16k4k2+1)+2=−8k2+24k【解析】解：(1)由题可得ca=324b2=1a2=b2+c2，解得a=4b=2c=23，

所以椭圆C的方程为x216+y24=1；

(2)证明：由题意可知，直线AE的斜率显然存在且不为0，

设直线AE的方程为y=kx+2，

联立y=kx+2x216+y24=1，消去y得x[(4k2+1)x+16k]=0，

所以xE=−16k4k2+1，yE=k⋅(−16k4k2+1)+2=−8k2+24k2+1，

即E(−16k4k2+1,−8k2+24k2+1)，因为AE⊥AF，

所以同理可得xE=xF=−16⋅(−1k)4(−1k)2+1=16kk2+4，yF=−8(−1k)2+24(−1k)2+1=2k2