2026年高考数学二轮复习专题05 导数压轴大题综合6大考向（重难）（天津）（解析版）

重难点05：导数压轴大题综合内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津高考导数压轴均为第20题（16分），三问结构稳定：①切线/基础导数运算；②含参恒成立/零点/存在性；③多变量/不等式证明/极值点相关高阶问题。2026年将延续核心结构，强化跨模块融合、新情景建模、思维深度，难度稳中有升，仍是区分度核心题。三年共性规律结构：三问分层，①送分奠基，②承上启下（关键分），③拉开差距（压轴分）考点：切线（必出）、含参函数单调/极值/最值、恒成立/存在性、零点、不等式证明方法：高频用分类讨论、分离参数、构造函数，2024-2025更侧重多阶求导、隐零点、放缩，计算与逻辑量显著增加载体：以指、对、多项式混合函数为主，定义域多为(0,+∞)，贴合天津命题偏好预测2026年：结构与分值：仍为第20题（16分），三问设置不变，梯度更清晰核心考点稳定必考点：切线方程、含参单调性、极值/最值、恒成立/存在性、零点个数，高频进阶：多变量问题、极值点偏移、隐零点代换、不等式放缩，交汇增强：与数列、集合、概率结合；融入碳中和、物流优化等现实情景建模情景化：用真实背景（如环境治理、经济决策）包装导数问题，考查“文字→数学模型”转化，思维升级：需多阶求导、合理放缩、极限思想，规避单一方法套用设问创新：补充条件探究、多结论选择、开放型证明（如“写出一个满足条件的参数值并证明”）难度趋势：稳中有升，计算量与逻辑链拉长，强化分类讨论完整性与构造函数灵活性，压轴问更重“转化与化归”能力考向1：“在”点P处的切线问题求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。1．（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（

）A．2 B．0C． D．【答案】D【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可根据垂直满足的斜率关系求解.【详解】，则，由可得，故，由于两切线互相垂直，因此，所以，故选：D2．（2025·天津河北·二模）已知，函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时.（ⅰ）求的单调区间和极值；（ⅱ）设的极大值为，求的最小值；(3)设，且，求证：.【答案】(1).(2)（i）的单调递增区间是，单调递减区间是；极大值，没有极小值；（ii）.(3)证明见解析.【分析】（1）求导数得，可求得切线方程；（2）求导数得单调区间，可求得最值，再对求导数，可得最值；（3）利用分析法和放缩法，可求出结果.【详解】（1）时，，整理得.曲线在点处的切线方程为.（2）（ⅰ）令，解得.，当变化时，的变化情况如下表：0↗极大值↘函数单调递增区间是，单调递减区间是有极大值，没有极小值；的极大值（ⅱ）设，，令，解得.，当变化时，的变化情况如下表：0↘极小值↗而的最小值为.（3）当时，要证两边同时取对数，即证，即证，两边同时乘以，即证，而，由（2）可知，令，则，代入上式，得，，.3．（2025·天津南开·二模）已知函数，.(1)求曲线在处的切线方程；(2)证明：对，恒成立（为的导数）；(3)设，证明：（）.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由处的导数得到切线的斜率，由处的函数值得到切线上的点，由直线的点斜式方程得到切线方程；（2）构造新函数，求导之后对导数再求导，得到在上单调递增，从而，从而恒成立得证；（3）利用进行放缩，再结合（2）中的得到，乘公比错位相减法求和.【详解】（1），可得，又，所以曲线在点处的切线方程为．（2）令，，则，，令，则在上恒成立，故在单调递增，其中，故在上恒成立，故在上单调递增，故，即恒成立．（3）设，证明．令，，因为，所以在上单调递减，所以，从而，．由于，所以．由（2）知，（），所以．设，①，则，②①－②得，所以．4．（2025·天津·模拟预测）已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)求证：；(3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)证明见详解；(3).【分析】（1）利用导数求斜率，利用解析式求切点纵坐标，然后可得切线方程；（2）构造函数，利用导数求最小值即可得证；（3）构造函数，将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数单调性，然后作出函数的图象，根据图象即可求解.【详解】（1）因为，所以曲线在处的切线斜率为，又，所以切线方程为.（2）记，则，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以当时，取得最小值，所以，即.（3），由题知，有且只有两个不相等实数根，即有且只有两个不相等实数根，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，又，所以可得的图象如图：由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，所以，a的取值范围为.5．（2025·天津武清·模拟预测）已知（，且）.(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，求证：在上单调递增；(3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式求切线方程；（2）在上单调递增，即在上恒成立，通过构造函数求最值的方法证明.（3）不等式恒成立，即，通过构造函数研究单调性求最值的方法，求不等式恒成立时实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，所以，，所以切线方程为，即.（2）当时，，则，要证明在上单调递增，只需证明在上恒成立，则只需证，即只需证.设，则只需证因为，所以在单调递增，所以时，即时，成立，所以，所以在上单调递增.（3），即，两边取对数得：，即设，令，得，当时，，单调递减.又因为，所以，在单调递减，由，则在恒成立，即，上式等价于，即，由在单调递减，所以.即实数的取值范围为.考向2：“过”点P处的切线问题求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．1．（2025·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为．【答案】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可.【详解】设切点的坐标为，由，，所以过切点的切线方程为：，把代入得：，即，所以，则切点坐标为：即.故答案为：2．（2025·天津和平·调研）过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为.【答案】【分析】设出和的切点，求出切线方程为，再利用导数的几何意义得到，进而得到和的切点为，再代入中，求解即可.【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为，且设和的切点为，因为，所以，由导数的几何意义得，则切线方程为，将代入方程，得到，解得，则切线方程为，设和的切点为，且，由斜率的几何意义得，解得，代入中，得到切点为，代入中，得到，解得.故答案为：.3．（2025·天津河西·月考）已知点A在直线上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线相切，则点A的轨迹长度为.【答案】8【分析】求出曲线的导函数，得到的表达式，构造新函数，利用导数求出极值，即可求出点A的轨迹长度.【详解】由题意，设点，过点A的直线与曲线相切于点，∴，的方程为，∴，化简得，设，则，∴时，或，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵若过点A恰有三条不同的直线与曲线相切，，∴满足条件的恰有三个，∴，即，∴点的轨迹长度为8.故答案为：8.4．（2025·天津蓟州·月考）已知函数，下列说法正确的个数是（）①函数的单调递减区间为②函数的切线过原点，则该切线的斜率为③若方程有两个不同的实数根，则④函数在区间上不单调，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由函数解析式写出函数定义域和函数的导数，令导数小于0，求得函数的递减区间及递增区间，判断①；设切点坐标，由两点坐标和导数求得斜率，建立方程求得切点，然后得到其斜率，判断②；由函数单调区间得到函数最大值，从而知道满足题意的的范围，判断③；由函数单调区间建立不等式组，求得的取值范围，判断④.【详解】函数定义域为，，令，解得，即函数在单调递减，在单调递增，∴①错误；设切点为，则，即，解得，此时切线斜率，②正确；由函数单调性可知，，又∵当时，，，当时，，，∴当方程有两个不同的实数根时，，③正确；由单调区间可知，∴，∴④正确.故选：C.5．（2025·天津·月考）已知函数，若方程有三个不同的实数根且，则的取值范围是.【答案】【分析】根据给定条件，作出函数的图象，数形结合求出方程有3个解时的范围，再将目标式用表示并求出范围.【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点，则当时，直线与射线有一个交点，当时，直线与函数有2个交点，在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图，令直线与图象相切的切点为，由求导得：，则，解得，即直线与图象相切时，，因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点，由，解得，由，得，即，因此，函数在上递减，当时，，所以的取值范围是.故答案为：考向3：对称化构造解决极值点偏移1、和型（或）问题的基本步骤：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；2、积型问题的基本步骤：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.1．（2025·天津蓟州·联考）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个正零点，且．（i）求的取值范围；（ii）求证：．【答案】(1)答案见解析(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间；（2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，所以函数在上单调递增；．当时，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根，由（1）知，且，所以，解得．（ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数，得，两式相减得，即，要证，只需证明，令，只需证明构造函数，求导得，所以函数在上单调递增，于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立．2．（2025·天津·月考）已知函数．(1)讨论的单调区间；(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【详解】（1），，其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当时，，得或，当，或时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；（2）①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.3．（2025·天津·一模）设函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设函数（i）当时，取得极值，求的单调区间；（ii）若存在两个极值点，证明：.【答案】(1)(2)（i）单调增区间为，，单调减区间为（ii）证明见解析【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间；（ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证.【详解】（1），则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）（i），，∵时，取得极值，∴，解得，∴，令，得或；令，得，∴的单调增区间为，，单调减区间为；（ii），∵存在两个极值点，∴方程，即在上有两个不等实根.∵，解得，则∴所证不等式等价于，即，不妨设，即证，令，，则，∴在上递增，∴，∴成立，∴.4．已知函数有两个零点(1)求a的取值范围；(2)记，为的两个零点，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导讨论单调性，结合零点存在定理讨论零点个数即可；（2）左侧构造，结合单调性即可证明；右侧利用，以及与的关系，代入化简整理即可证明.【详解】（1）由已知，，，设，，单调递减，当时，，单调递增，由于，故时，，单调递减，时，，单调递增，，当时，，取，则，存在，使，，存在，使，符合题意；当时，有且只有1个零点，不符合题意；当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，单调递减，不会有两个零点；当时，当时，，单调递增，，单调递减，，当时，存在，，当时，，单调递增，，当时，，单调递减，且由对数函数与幂函数增长速度可知，当趋于时，趋于，则存在，，当时，，单调递增，，当时，，单调递减，不会有2个零点；当时，，，存在，，当时，，，当时，，单调递减，，单调递减，在上不会有2个零点；综上，.（2）由（1）得，，设，则，则，又，所以，故，由于，且在上单调递增，则，即；设，则，当时，，单调递减，当时，单调递增，则，则，由于，则时，，时，，则，整理得，则得，，由于，则，则；综上得证.5．已知函数有两个零点、．证明：．【答案】证明见解析【分析】构造新函数，通过其单调性，转化为函数的零点问题，分析函数的单调性，设，可得出，构造新函数，通过其单调性，确定其正负，对进行放缩，从而证明.【详解】令，得，则，即，令函数，则，因为在上单调递增，所以，即令函数，则，令，得，，得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，由题意可知，函数有两个零点、，不妨设，则，令函数，则，所以在上单调递减．因为，所以当时，；当时，．所以，，即，，所以由有两个不相等的正根、，且得，则，，则，即，所以，因为，所以．考向4：比值代换法解决极值点偏移比值换元的目的也是消元、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的。设法用比值（一般用表示）表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求问题转化为关于的函数问题求解。1．已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：.【答案】证明见解析【分析】先换元，即证，分别构造函数来证明即可.【详解】因为，有两个零点，，，令，则，即证明，即证，设，由于，即，左边即证，即证，设，则，单调递增，则当时，，即成立，故.要证，即证即,而,故即证，即证：，令，即证：.则，设，则，设，则，设，则，其，而，故在为减函数，而，，故存在，使得时，，时，，故在上为增函数，在为减函数，故，且，故，故即恒成立，故在上为减函数，而，故当时，即，时，即，故在上为增函数，在上为减函数，故，故（不恒为零），故为减函数，故，即，即得证.2．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若存在两个极值点，，证明：.【答案】证明见解析【分析】由极值点的定义得且，然后把消去，再由分析法得出只要证明，设，由导数证明此结论成立后即得．【详解】的定义域是，由题意，有两个不等正实根，即有两个不等正实根，，且，，所以，不妨设，则，又，，，所以，要证，只需证，只需证，设,在时恒成立，所以在上是减函数，所以时，，所以得证！3．已知函数有两个不同的零点.求证：.【答案】证明见解析【分析】利用导数可得在处取得极小值，设，要证明，只需证，构造函数，求导证明即可.【详解】定义域为，，所以在上单调递减.，所以在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，又，所以先保证必要条件成立，即满足题意.当时，；，由以上可知，当时，有两个不同的零点.由题意，设，要证明，只需证明.因为在上单调递减，且，只需证.又，即只需证，构造函数，因为，所以，，则，所以在单调递减，所以.因为，所以，成立，即，所以.4．（2025·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若，求a的取值范围；(2)若有两个实数解，，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）不等式变形得到在上恒成立，构造函数，求出单调性和最小值，只需，解得；（2）不妨设，由（1）知方程，，，且，欲证，即证，构造差函数，得到差函数的单调性，结合（1）可知，所以，则.【详解】（1）由可知，，，即在上恒成立，，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，由于在上单调递增，故只需，解得；（2）方程有两实数解，，即有两实数解，不妨设，由（1）知方程要有两实数解，则，即，同时，，，由（1）知有两根，即有两根，则有，欲证，即证，，令，，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，令，在上恒成立，故在上单调递增，所以，故，又，，结合在单调递增，，所以，则.5．（2025·全国·模拟预测）已知函数．若函数有两个零点、，求证：．【答案】证明见解析【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数有两个零点、，得出，，将所证不等式变形为证明，然后构造函数，利用函数的单调性可证得结论成立.【详解】因为，该函数的定义域为，，①若，则恒成立，不可能有两个零点；②若，，令，令，可得，令，由可得，由可得，故在单调递增，在单调递减，且，则，时符合题意，因为函数有两个零点、，则，可得，同理可得，要证，即证，即证，即证，即证，即证，故只需证，即证．构造函数，则，令，其中，则，由可得，由可得，所以在单调递减，在单调递增，则，即，在上单调递增，因为，故，即，故原不等式得证.考向5：根据函数零点个数求参数1、分离参数后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。1．（2025·天津滨海新·调研）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若有两个正零点，且．（i）求的取值范围；（ii）求证：．【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程；（2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间；（3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得.【详解】（1）当时，，求导得，所以，又，所以切点为，所以切线方程为，即；（2）由，求导得，若，，所以在上单调递增；若，令，得，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上所述：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根，由（2）知，且，所以，解得，所以的取值范围．（ii）由（i）得，所以，，两边同时取自然对数，得，，两式相减得，即，要证，只需证明，即，所以，令，只需证明，构造函数，求导得，所以函数在上单调递增，于是，所以不等式成立，于是原不等式成立．2．（2026·天津·调研）函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分离参数得，，引入函数，用导数研究函数的单调性极值后可得结论．【详解】由题意方程（）有两个实根，即在上有两个实根，设，则，当时，，单调递减，时，，单调递增，，又，而时，，∴当时，的图象与直线在上有两个交点，即原函数有两个零点．故选：C23．（2025·天津河西·调研）已知函数，(1)时，求在处的切线方程；(2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，证明：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）令，分析函数在上的单调性，分析可知在上有唯一的变号零点，由此可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围；（3）由（2）可知的单调递减区间为，单调递增区间为，结合极值点的定义可得出，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性，可得出，由结合函数在上的单调性可证得结论成立.【详解】（1）当时，，则，所以切线斜率，因为，所以切点坐标为，所以切线方程为，即（2）因为，设，则，当时，，所以函数在上单调递增，因为，且函数在上有唯一的极值点，即在上有唯一的变号零点，所以，即，故实数的取值范围是.（3）因为是函数在区间上的极值点，由（2）可知，故，即，故的单调递减区间为，单调递增区间为，因为，，所以函数在没有零点，在上存在唯一零点，则，即.因为，令，，所以，即函数在上单调递增，因为，所以，即，所以，而，，且在上单调递增，所以.4．（2025·天津河东·调研）已知函数．(1)当时，在区间上存在极值，求的取值范围；(2)若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围；(3)设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）当时，利用导数求出函数的极值点，得出不等式，即可解得；（2）讨论函数的单调性，结合图象即可求出的取值范围；（3）求出，的值域，由题意得的值域是的值域的子集，即可求解.【详解】（1）当时，由已知，令，解得或，因为，所以要使函数在区间上存在极值，只需，

解得．（2）当时，，的图象与轴没有交点；

当时，令，解得或．当时，0200极大值极小值，．若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得，所以；

当时，0200极小值极大值，．则函数的图象与轴有且只有一个交点，所以；

综上，（3）由题意知，，因为，，所以由，解或，由，解得，故的单调递增区间为，单调递减区间为和，，，，，

又因为在上单调递增，所以的值域为，

依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，可得，即，

解得的取值范围是．5．（2026·天津滨海新·月考）已知函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性：(3)若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)1.【分析】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调性.（3）将给定不等式分离参数，构造函数，利用导数求出最大值即可.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以函数在处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（3）函数的定义域为，，不等式恒成立，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上单调递减，而，，则，使得，即，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，而，所以整数m的最小值为1.考向6：讨论证明函数零点的个数证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。注意：单调性+零点存在=唯一零点1．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．(1)求实数的值；(2)求函数（为的导数）的零点个数；(3)求证：当时，恒成立．【答案】(1)；(2)零点个数为0；(3)证明见解析.【分析】（1）根据求导法则求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）求出的解析式，用其分子部分构造函数，利用导数讨论在的零点情况即可；（3）令，利用导数研究函数的最大值即可.【详解】（1）的定义域为，因为曲线在处的切线与直线平行，所以，解得．（2）函数的定义域为，由（1）得，所以．令，则，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．所以．所以恒成立，即函数无零点，即函数的零点个数为0．（3）由（1）得，令，则的定义域为．令，则．因为，所以．则当时，恒成立．所以即在上单调递减．所以，所以在上单调递减．所以，即当时，恒成立．2．（2026·天津南开·月考）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若的极小值小于-1，求的取值范围；(3)当时，求的零点个数.【答案】(1)(2)(3)2个【分析】（1）求出函数在时的解析式，再对其求导，得到切线的斜率，最后结合切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程.（2）求出函数的定义域及导数，根据的取值范围讨论函数的单调性，进而求出极小值，最后根据已知条件求出的取值范围.（3）求出的表达式，再对其求导，分析函数的单调性，然后根据函数的单调性及零点存在定理判断函数的零点个数.【详解】（1）当时，.则，，即切线斜率为-3.又，故切线过点.所以切线方程为：，即.（2）函数的定义域为..当时，，则，在上单调递减，无极值，不符合题意.当时，令，即，解得.当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；因此是极小值点，极小值为，由极小值小于-1可得，.令（），则，代入得，即（）.令（），则.令，则，解得.当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；又，故的解集为且，即且，解得且.故的取值范围为.（3）当时，，定义域为.令，则，即,令，则和有相同的零点..令，，则.因为，所以，即在上单调递增.又，，所以，使得.所以当时，，即，此时单调递减；当时，，即，此时单调递增；所以的最小值为.由得，，则，即.令，，则，则在上单调递增.因为，所以，则，所以，即.所以的最小值为.当趋近于0或时，趋近于，又，所以，所以在和各有1个零点，故有2个零点.3．（2025·天津·月考）已知函数，．(1)求在处的切线方程；(2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)已知函数有3个零点p，q，r，求证：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由函数求导，计算切线的斜率以及切点，根据点斜式方程，可得答案；（2）利用参变分离整理不等式，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，可得答案；（3）根据零点的定义，建立方程，求出零点以及构造函数，根据新函数的性质，等价消元整理不等式，可得答案.【详解】（1）由，求导可得，则函数在处的曲线斜率为，切点的纵坐标为，所以切线方程为，整理可得.（2）由不等式，代入函数解析式，整理可得，由，即，则不等式等价于，令，求导可得，令，求导可得，令，求导可得，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即当时，，则在上单调递增，故当时，，当时，，即当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，由导数的定义得，则，故，所以.（3）由，令，易知，由题意可得，当时，由，整理可得，令，易知为方程的两个不同的根，由（2），且，则易知函数在上单调递减，在上单调递增，且，由，，且，，则，，，由，则，由，则，易知，由函数在上单调递减，则，不等式，可等价整理为，即，令，求导可得，当时，，则函数在上单调递增，，由，则，所以，即恒成立.4．（2025·天津河东·调研）已知函数，曲线的一条切线的方程为．(1)求实数的值；(2)设，求函数的最小值；(3)若对任意，恒成立，求实数的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设出切点坐标，求出导数并利用导数的几何意义求出值.（2）由（1）求出，再利用导数求出最小值.（3）由（2）中信息，化简得，进而求出的最大值.【详解】（1）设直线与曲线相切的切点为，由函数求导得，则，即，又，因此.（2）由（1）知，，函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值为．（3），由（2）知，因此，依题意，，解得，所以的最大值为.5．（2026·天津·调研）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是.【答案】【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可.【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解，即与或的图象交点的横坐标，当时，，则，所以时，，所以在上单调递增；当时，，可得在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，且；作出函数的大致图象如下图所示：所以当时，由图可知与无交点，即方程无解；与有两个不同的交点，即有两个实数解；当时，，令，则，则，，作出大致图象如下图所示：因为当时，与有两个不同的交点，所以只保证与及共有四个交点即可，所以只需，解得，即可得正实数的取值范围.故答案为：.（建议用时：60分钟）1．（2025·天津·模拟预测）已知函数.(1)当时，（i）求函数在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；(2)若对于，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)（i）；（ii）增区间为；减区间为，极大值为，极小值为.(2).【分析】（1）（i）利用导数求出切线斜率，再由点斜式写出方程即可；（ii）利用导数研究函数的单调性，进而确定单调区间和极值.（2）将问题转化为，在上恒成立，利用导数求最值，即可求参数范围.【详解】（1）当时，，，（i），所以函数在点处的切线方程为，整理为：（ii）令得，，的变化如下表：2+0-0+增函数极大值减函数极小值增函数的增区间为；减区间为，极大值为，极小值为.（2）由，则，令，，由，所以时单调递减；时单调递增.只需恒成立，则.2．（2026·天津武清·月考）已知函数，.(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求a的值；(2)若在区间上恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数导数的几何意义，求出函数导数，列出导数值的方程，求出参数；（2）根据不等式恒成立的性质，构造函数，根据函数导数和函数最值之间的关系，求出函数最小值，求出参数范围.【详解】（1）由，可知，因为在处的切线斜率为2，所以，解得.（2）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，令，则，所以在时单调递增，可知.当时，，即，所以在时单调递增，所以成立.当时，，当时，，所以使得.当时，，即，所以此时单调递减；当时，，即，所以此时单调递增；所以，不满足题设条件，舍去.综上，.3．（2026·天津滨海新·月考）已知函数，．(1)求在处的切线方程；(2)若，求的单调区间；(3)若，且，证明：．【答案】(1)(2)递增区间为，递减区间为(3)证明见解析【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求得曲线在处的切线方程；（2）由，求得，令，可得，进而得到函数的单调区间；（3）由，求得，令，求得或，再由，求得，化简得到，令，求得的单调性，结合函数的单调性，即可得证.【详解】（1）解：由函数，可得，则且，所以切线的斜率为，切点为，所以在处的切线方程为，即.（2）解：由函数，可得其定义域为，且，因为，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的递增区间为，递减区间为；（3）解：由，可得，令，得或，因为，所以，则，又因为，所以，所以，令，则，令，则，因为，所以，所以在上是增函数，所以，所以在为减函数，所以，即.4．（2026·天津滨海新·月考）已知函数，若方程有个不同的实根，则非零实数的取值范围是【答案】或或【分析】先根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的值，再对分类讨论得到根的个数，进而求出实数的取值范围.【详解】根据题意，，当时，，当直线与曲线相切时，设切点为，因为，则切线的，得，所以切点为，将切点代入直线，得，当时，，令，即，①当时，有一个实根，此时有一个实根，满足条件；②当时，有两个实根，此时有一个实根，不满足条件；③当时，无实根，此时要使有两个实根，则且，又是非零实数，所以即且.综上所述，实数的取值范围是或或.故答案为：或或5．（2026·天津南开·月考）已知函数．(1)若的极小值小于，求的取值范围；(2)当时，判断的零点个数并写出证明过程．【答案】(1)；(2)2个零点，证明见解析【分析】（1）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得时极小值，构造函数，求导得，即可求不等式的解集；（2）由，令，对其求导，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，得使，求出的最小值为，由可得，故的最小值，讨论，即可得函数的零点个数．【详解】（1）函数的定义域为，且，当时，易得在上单调递减，则无极小值，不满足；当时，由，得，即在上单调递增；由，得，即在上单调递减，所以的极小值为，而的极小值小于，所以，即，令，则，所以当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以，可得.故的取值范围为.（2）．令，得，令，则与有相同的零点，且．令，则，因为，则，所以在区间上单调递增，又，所以，使得，当时，，即；当时，，即，所以在单调递减，在单调递增，最小值为．由，得，即，令，则，则在单调递增，因为，所以，则，所以，从而，所以的最小值，又当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，当时，有2个零点，故有2个零点．6．（2025·天津河西·二模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）.【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；（2）求出函数的定义域与导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性；（3）依题意即证，当恒成立，当时，只需证，即证，分别构造函数，利用导数求出，，即可得证.【详解】（1）当时，，，当时，，，切线方程为，整理得，所以曲线在处的切线方程为.（2）函数的定义域为，，对于关于的方程，有，当时，，则恒成立，在上单调递减；当时，方程有两根，，若，则，，当时，，所以在上单调递增；时，，所以在上单调递减；若，则，当和时，，当时，；即在与上单调递减，在上单调递增；综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在与上单调递减，在上单调递增.（3）要证，即证，因为，，所以，当时，不等式显然成立；当时，因为，则，所以只需证，即证，令，，则，由得；由，得，则在上为单调递增，在上单调递减，故；令，，则，所以当时，，当时，，所以在上为单调递减，在上为单调递增，所以，所以恒成立，即.7．（2025·天津河东·二模）已知函数，，.(1)函数在点处的切线方程为，求a，b的值；(2)求函数的极值；(3)函数，若，证明：.【答案】(1)(2)的极大值为，无极小值(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义计算参数即可；（2）直接求导，判定函数的单调性计算极值即可；（3）化简函数式，求导判定其单调性得出极大值即最大值，根据条件得出，再结合第二问的结论即可证明.【详解】（1）易知，切线斜率为，所以，由切线方程可得；（2）易知，，令，即，∴，令，∴，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数的极大值为，无极小值.（3）易知，则，令，则，令，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数的极大值为，由已知，∴，，由（2）可知，证毕.8．（2025·天津和平·二模）已知函数（m，，）.(1)若函数的两个极值点为0与，求m，n的值及函数的单调区间；(2)若.（ⅰ）求证：当时，函数在区间上单调递增；（ⅱ）对，总，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，；的单调递增区间为，，单调递减区间为(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）求导，根据得到方程组，求出，，验证后满足要求，并求出的单调区间；（2）（ⅰ）求导，整体得到，当时，，所以当时，导函数大于等于0，故在区间上单调递增；（ⅱ）由（ⅰ）知，最大值为，转化为对任意恒成立，构造函数，求导，得到函数单调性，分，，，四种情况，求出时，对，总，使得成立.【详解】（1），由已知有，解得.当，时，，令，解得，定义域为，，令得或0，令，解得或，令，解得，所以与是函数的两个极值点，所以，，的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）（ⅰ）证明：，代入，有，整理得①，当时，，即，又，所以，因此①式即，所以当时，在区间上单调递增；（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，在上是增函数，因此在上的最大值为，即对任意恒成立.设，，则当时，则，此时，即在上单调递减，因此，需，所以，当时，，①当时，即，此时，即在上单调递增，因此，所以在上恒成立.②当时，即，此时，即在上单调递减，因此，所以在上恒成立.③当时，即，此时当时，，单调递减；当时，，单调递增，，需满足，令，设，，，当时，，即在上单调递减，所以，则在时恒成立，此时在恒成立.综上所述，当时，恒成立.即时，对，总，使得成立.9．（2025·天津·一模）已知函数，．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)设，，若存在，使得．证明：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）对求导，再结合导数的几何意义求切线方程即可；（2）方法一：构造函数，结合导数分和两种情况进行讨论即可求得k的范围；方法二：构造函数，只需在时恒成立即可又，且所以要使当时，，必须满足，即，再根据这个结论进行验证即可；方法三：利用参变分离的方法，构造函数，，最后需要结合洛必达法则求解；（3）由，可得，利用函数为单调递增函数，可得，所以，结合