江苏省扬州市2025-2026学年度高一 第一学期期末调研测试数学试题（原卷+解析）

2025-2026学年度第一学期高一期末调研测试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.设为实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.4.设为正实数，若，则最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.85.设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.或6.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，的取值范围是（）A B. C. D.7.若实数满足，则（）A.3 B. C.3或 D.3或或-18.设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（）A.16 B.4 C.2 D.1二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项中正确的有（）A.最小值是2B.若，则C.若且，则D.的最小值是410.已知函数，则下列选项中正确的有（）A.B.的图象存在对称中心C，且，都有D.设，则与图象的所有交点横坐标之和是411.已知函数的最小正周期，且是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，则下列选项中正确的有（）A.在区间上是单调函数B.C.的最小值为2D.是的整数倍三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________．13.扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________．14.设为实数，满足．（1）___________；（2）若，则___________．参考数据：四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设为实数，集合．（1）若，求；（2）已知“若，则”是真命题，求的取值范围．16.在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点．（1）若，求的值；（2）若，求值；（3）若是方程的两根，求实数的值．17.已知是上的偶函数．（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并证明；（3）若，求的取值范围．18.某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元．（1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值；（2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由．19.已知函数．（1）若函数的定义域为，求实数的值；（2）若，求证：；（3）若，判断函数的零点个数并证明．2025-2026学年度第一学期高一期末调研测试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将中元素依次代入并判断其与的大小关系，再由集合的交运算即可得.【详解】由，而，所以.故选：D2.设为实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】“”不一定能推导出“”，“”是“”的不充分条件.“”一定能推导出“”，“”是“”的必要条件.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：C3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得为奇函数，排除C、D项，再由，排除B项，即可求解.【详解】由，可得，所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可排除C、D项，当时，可得，可排除B项，所以选项A符合题意.故选：A.4.设为正实数，若，则的最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求的最小值.【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：B.5.设为实数，若关于方程有两根，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围.【详解】关于的方程有两根，且.，解得.故选：B6.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象变换求得，，再结合余弦函数的单调性求解.【详解】由题意，可得，因，则，故.故选：A.7.若实数满足，则（）A.3 B. C.3或 D.3或或-1【答案】B【解析】【分析】利用换元法结合对数的性质可求的值.【详解】因为，故，而，故，设，则，且即，故（舍）或，即，故选：B.8.设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（）A.16 B.4 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】先根据，得出，再应用分段函数的解析式得出，最后应用二次函数最值求解.【详解】因为，则当时，，因为当时，，又因为当时，，则，当时，的最大值是.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项中正确的有（）A.的最小值是2B.若，则C.若且，则D.的最小值是4【答案】BC【解析】【分析】应用特殊值法判断A，应用不等式性质计算判断B，C，应用基本不等式及取等条件判断D.【详解】当时，，所以的最小值不是2，A选项错误；因为，则，所以，所以，B选项正确；因为且，则，则，C选项正确；，当即时取等号，所以的最小值不是4，D选项错误.故选：BC.10.已知函数，则下列选项中正确的有（）A.B.的图象存在对称中心C.，且，都有D.设，则与图象的所有交点横坐标之和是4【答案】ABD【解析】【分析】根据解析式计算可判断A的正误，根据可判断B的正误，根据反例可判断C的正误，根据两个函数的对称性计算交点横坐标之和后可判断D的正误.【详解】对于A，，故，故A正确；对于B，，故的图象关于中心对称，故B正确；对于C，取，则，故，故C错误；对于D，因为，故的图象关于中心对称，又的图象如图所示：因为，，，，故的图象有4个不同的交点，它们关于对称，故它们的和为，故选：ABD.11.已知函数的最小正周期，且是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，则下列选项中正确的有（）A.在区间上是单调函数B.C.的最小值为2D.是的整数倍【答案】BCD【解析】【分析】根据对称中心和对称轴可求、后可判断CD的正误，再利用代入法可判断B的正误，利用反例可判断A的正误.【详解】因为是图象一个对称中心，是图象的一条对称轴，故，其中，故，其中，故，而，故，故，故C正确；又，而，故，因为，故是的整数倍，故D正确；，故B正确；取，，，,,故是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，故满足题设条件.当时，，而在不单调，故在上不单调，故A错误.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________．【答案】3【解析】【分析】根据幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2）求出a的值，再求f（27）的值.【详解】幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案为3．【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.13.扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________．【答案】20【解析】【分析】利用扇环形的面积和周长列出关于和的方程，求解出即可.【详解】设，因为扇面的圆心角，所以，，所以该扇面的周长为，即，整理得：.扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积.又，解得，即.故答案为：2014.设为实数，满足．（1）___________；（2）若，则___________．参考数据：【答案】①.2②.【解析】【分析】（1）通过构造函数，利用函数单调性来求解的值.（2）先根据已知条件确定的范围，再结合零点存在性定理确定的范围，进而得到的值.【详解】构造函数，因为和均是上的增函数，也是上的增函数，方程的解唯一.构造函数，因为和均是上的增函数，也是上的增函数，方程的解唯一.将方程中的替换成，得到，即，由于是上的增函数，，，即.将代入中，得到，即.由于，.，.，，即.该区间是的子集，.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设为实数，集合．（1）若，求；（2）已知“若，则”是真命题，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合后利用并集的定义可求；（2）根据真命题可得集合的包含关系，从而得关于的不等式组，故可求其范围.【小问1详解】因为．当时，，所以.【小问2详解】因为“若，则”是真命题，所以，所以，所以且，解得：.16.在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点．（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若是方程的两根，求实数的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义及同角三角函数关系求解即可.（2）先利用诱导公式对所求式子化简，再切化弦求出答案.（3）先利用三角函数定义写出，再根据韦达定理写出和，再根据列出关于方程，求解出.【小问1详解】由三角函数的定义可知，因为，所以，又，.【小问2详解】由三角函数的定义可知，．故原式.【小问3详解】由三角函数的定义可知.因为是方程的两根，，得或.，即.又.可得，即，解得：或（舍）.17.已知是上的偶函数．（1）求实数的值；（2）判断在上单调性并证明；（3）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）法一，根据偶函数性质，利用特殊值建立方程求，再检验即可，法二，利用偶函数的定义建立方程，直接求解即可；（2）判断函数单调性，再利用定义证明即可；（3）由奇偶性、单调性解不等式即可.【小问1详解】方法一，因为是上的偶函数，所以，所以，解得：，检验：时，，所以，所以，所以是偶函数，综上.方法二，因为是上的偶函数，所以在上恒成立，所以，整理得：，所以.【小问2详解】任取，因为，所以，所以，所以，即，因此在上单调递增．小问3详解】因为是上的偶函数，所以，因为在上单调递增，，又，所以，解得：.18.某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元．（1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值；（2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由．【答案】（1）384（2）存在，【解析】【分析】（1）设B礼包共份，求出总成本建立不等式求解即可；（2）由题意，建立两个不等式，根据不等式恒成立求解，取交集即可得解.【小问1详解】由题意知，B礼包共份，每份成本为元，则，整理得：，解得：，因为，所以调整后的最大值是384.【小问2详解】假设存在实数满足要求，由题意得：对恒成立．①对恒成立．②对于①，整理得：对恒成立，所以且，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，所以；对于②，整理得：对恒成立所以且，又因为，当时，，所以，综上，，即存在满足条件，其取值集合为.19.已知函数．（1）若