7.2.2　复数的乘、除运算 （学案）高一数学人教A版（2019）必修 第二册

7.2.2复数的乘、除运算课标要求掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.【引入】我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，那么复数的乘、除法又该如何定义呢？一、复数乘法的运算法则和运算律探究1类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？探究2类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想.【知识梳理】1.复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝____________.2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝________结合律(z1·z2)·z3＝________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝________温馨提示(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2.(2)复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并.例1(链接教材P78例3)计算下列各题：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.思维升华1.复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简.2.对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.训练1(1)(链接教材P78例4)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝()A.2i－13 B.13＋2i C.13－2i D.－13－2i(2)在复平面内，复数z＝(2＋3i)(1－2i)(i为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、复数除法的运算法则探究3类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？【知识梳理】复数的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝__________________(a，b，c，d∈R，且c＋d＋i≠0).温馨提示(1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.(2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式.例2(1)(链接教材P79例5)eq\f(3＋i,1＋i)＝()A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i(2)若z＝－1＋eq\r(3)i，则eq\f(z,z\o(z,\s\up6(－))－1)＝()A.－1＋eq\r(3)i B.－1－eq\r(3)iC.－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i D.－eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),3)i思维升华1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可简化运算过程.例如，eq\f(1,i)＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，eq\f(a＋bi,b－ai)＝i等.2.运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.训练2(1)若i(1－z)＝1，则z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝()A.－2 B.－1 C.1 D.2(2)若复数z＝eq\f(1－i,1＋i)＋i3＋i4，则z＝()A.1－2i B.1＋2i C.1 D.－1(3)(多选)若复数z满足(1－i)z＝i2026，eq\o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，则()A.|z|＝eq\f(\r(2),2) B.z·eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.eq\f(\o(z,\s\up6(－)),z)是纯虚数三、复数范围内的解方程问题探究4对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)，(1)当判别式Δ＝b2－4ac>0时，方程的两个根是什么？根与方程的系数有什么关系？(2)当判别式Δ＝b2－4ac<0时，方程的根是什么？根与方程的系数有什么关系？例3(链接教材P79例6)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否为方程的根.思维升华1.在复数范围内，任何实系数一元二次方程都是有根的，当实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＜0时，其求根公式为x＝eq\f(－b±\r(4ac－b2)i,2a).2.利用复数相等的定义求解.设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.训练3(1)设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则()A.|z1－z2|＝eq\r(2) B.|z1|＝eq\r(2)C.z1＋z2＝1 D.z1z2＝1(2)(多选)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则()A.z可能为纯虚数 B.方程各根之和为4C.z可能为2－i D.方程各根之积为－20【课堂达标】1.若复数z＝i(1－i)，则|z|＝()A.1 B.eq\r(2) C.2 D.eq\r(3)2.复数eq\f(2－i,1＋2i)＝()A.1 B.－1 C.i D.－i3.已知复数z＝eq\f(3＋i,1＋i)(i是虚数单位)，则eq\o(z,\s\up6(－))在复平面内所对应的点所在象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若3＋4i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0(b∈R，c∈R)的一个复数根，则c＝________.7.2.2复数的乘、除运算探究1提示复数的乘法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.探究2提示猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有：(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，b1，a2，b2，a3，b3∈R).(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，∴z1z2＝z2z1.(2)(3)略知识梳理1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i2.z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3例1解(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.训练1(1)D[(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.](2)D[因为z＝(2＋3i)(1－2i)＝2－4i＋3i－6i2＝8－i，所以复数z在复平面内对应的点为(8，－1)，位于第四象限.]探究3提示通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)，化简后得结果，即eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).知识梳理eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i例2(1)D[eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.](2)C[因为z＝－1＋eq\r(3)i，所以zeq\o(z,\s\up6(－))＝(－1)2＋(eq\r(3))2＝4，所以eq\f(z,z\o(z,\s\up6(－))－1)＝eq\f(－1＋\r(3)i,4－1)＝eq\f(－1＋\r(3)i,3)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i.]训练2(1)D[由i(1－z)＝1，得z＝1－eq\f(1,i)＝1＋i，所以z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i＋1－i＝2.](2)A[z＝eq\f(1－i,1＋i)＋i3＋i4＝eq\f(（1－i）2,（1＋i）（1－i）)－i＋1＝eq\f(－2i,2)－i＋1＝1－2i.](3)ABD[i2026＝i506×4＋2＝(i4)506·i2＝－1，则z＝eq\f(－1,1－i)＝eq\f(－（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，则|z|＝eq\r(\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq\f(\r(2),2)，A正确；eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(－1＋i,2)，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，B正确；z在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))，位于第三象限，C错误；eq\f(\o(z,\s\up6(－)),z)＝eq\f(－\f(1,2)＋\f(1,2)i,－\f(1,2)－\f(1,2)i)＝eq\f(（1－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－i，D正确.]探究4(1)提示x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a).(2)提示x1＝eq\f(－b＋\r(－b2＋4ac)i,2a)，x2＝eq\f(－b－\r(－b2＋4ac)i,2a)，x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).例3解(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2，))∴b＝－2，c＝2.(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根.训练3(1)D[由方程x2＋x＋1＝0得Δ＝1－4＝－3<0，由求根公式得x＝eq\f(－1±\r(3i2),2)＝eq\f(－1±\r(3)i,2)，不妨设z1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.|z1－z2|＝|eq\r(3)i|＝eq\r(3)，A错误；|z1|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋