成人教育高等数学复习资料汇编

成人教育高等数学复习资料汇编前言高等数学是成人教育阶段一门重要的基础理论课程，它不仅为后续专业课程的学习提供必要的数学工具，更能培养学员的逻辑思维能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。本资料汇编旨在帮助各位学员系统梳理高等数学的核心知识点，巩固基础，掌握重点，突破难点，提升解题技能，为顺利通过课程考核及未来的学习与工作奠定坚实基础。本汇编内容的组织力求条理清晰，重点突出，注重实用性和针对性。在复习过程中，建议学员结合教材，循序渐进，在理解基本概念和原理的基础上，通过适量练习加深巩固，切忌死记硬背。遇到疑难问题，应多思考、多请教，力求弄懂每一个知识点。目录1.第一章函数、极限与连续1.1函数1.2极限1.3连续2.第二章导数与微分2.1导数的概念2.2求导法则与导数公式2.3高阶导数2.4微分3.第三章导数的应用3.1中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性与极值3.4函数的最值3.5函数图形的凹凸性与拐点4.第四章不定积分4.1不定积分的概念与性质4.2换元积分法4.3分部积分法4.4有理函数的积分（简介）5.第五章定积分5.1定积分的概念与性质5.2微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）5.3定积分的换元法与分部积分法5.4定积分的应用（面积、体积简介）6.第六章常微分方程初步6.1微分方程的基本概念6.2一阶微分方程（可分离变量、齐次、线性方程）6.3二阶常系数线性微分方程（简介）7.第七章多元函数微积分初步（选学）7.1多元函数的基本概念7.2偏导数与全微分7.3二重积分的概念与计算（简介）8.复习与解题建议---第一章函数、极限与连续1.1函数1.1.1函数的概念函数是高等数学的研究对象。设数集D⊂R，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x)，x∈D。其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，f(D)={y|y=f(x),x∈D}称为值域。理解要点：两个函数相等，当且仅当它们的定义域和对应法则完全相同。定义域的确定是首要的，通常考虑分母不为零、偶次根式下非负、对数的真数大于零等基本要求。1.1.2函数的性质*有界性：若存在常数M>0，使得对一切x∈I（I为定义域内某区间），都有|f(x)|≤M，则称f(x)在I上有界。*单调性：对于区间I上任意两点x₁<x₂，若f(x₁)<f(x₂)，则称f(x)在I上单调增加；若f(x₁)>f(x₂)，则称f(x)在I上单调减少。*奇偶性：设函数f(x)的定义域关于原点对称。若f(-x)=f(x)，则为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则为奇函数。偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。*周期性：若存在非零常数T，使得对一切x∈D，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为其一个周期。通常所说的周期是指最小正周期（若存在）。1.1.3基本初等函数与初等函数*基本初等函数：幂函数(y=x^μ,μ∈R)、指数函数(y=a^x,a>0,a≠1)、对数函数(y=logₐx,a>0,a≠1)、三角函数(sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx)、反三角函数(arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx)。要熟悉它们的定义域、值域、图像和基本性质。*复合函数：设y=f(u)，u=φ(x)，若φ(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[φ(x)]称为由f和φ复合而成的复合函数，u为中间变量。复合函数的分解是后续求导的关键。*初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的，并能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。1.2极限1.2.1数列的极限数列{xₙ}的极限为A，是指当n无限增大时，xₙ无限接近于常数A。记为limₙ→∞xₙ=A或xₙ→A(n→∞)。理解要点：“无限增大”和“无限接近”是描述性的语言，其严格定义为ε-N语言，核心在于对于任意给定的正数ε，总能找到相应的N，使得当n>N时，|xₙ-A|<ε。1.2.2函数的极限*x→x₀时函数的极限：limₓ→x₀f(x)=A，指当x无限接近于x₀（但x≠x₀）时，f(x)无限接近于常数A。类似地，有左极限limₓ→x₀⁻f(x)和右极限limₓ→x₀⁺f(x)。函数在x₀处极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等。*x→∞时函数的极限：limₓ→∞f(x)=A，指当|x|无限增大时，f(x)无限接近于常数A。也可分为x→+∞和x→-∞。1.2.3极限的性质包括唯一性、有界性（局部有界性）、保号性（局部保号性）。1.2.4极限的运算法则若limf(x)=A，limg(x)=B，则：*lim[f(x)±g(x)]=A±B*lim[f(x)*g(x)]=A*B*lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)*lim[c*f(x)]=c*A(c为常数)*lim[f(x)]ⁿ=Aⁿ(n为正整数)这些法则对数列极限同样适用，且可推广到有限个函数的情形。1.2.5重要极限*limₓ→0(sinx/x)=1(第一个重要极限，用于计算含三角函数的0/0型极限)*limₓ→0(1+x)^(1/x)=e或limₙ→∞(1+1/n)ⁿ=e(第二个重要极限，用于计算1^∞型极限)*等价无穷小替换：当x→0时，常见的等价无穷小有：sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ln(1+x)~x,eˣ-1~x,1-cosx~(1/2)x²,(1+x)^α-1~αx(α为常数)。在乘除运算中，等价无穷小可以相互替换，简化极限计算。1.2.6无穷小量与无穷大量*无穷小量：极限为零的变量称为无穷小量。*无穷大量：绝对值无限增大的变量称为无穷大量。无穷大量的倒数是无穷小量（非零），反之亦然。*无穷小量的阶：用来比较两个无穷小量趋于零的快慢。高阶、低阶、同阶、等价无穷小。1.3连续1.3.1函数连续的定义函数f(x)在点x₀处连续，是指limₓ→x₀f(x)=f(x₀)。这要求f(x₀)有定义，limₓ→x₀f(x)存在，且两者相等。也可表述为：Δx→0时，Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)→0。若函数在区间I上每一点都连续，则称函数在I上连续。1.3.2间断点及其分类若函数f(x)在点x₀处不连续，则x₀为f(x)的间断点。*第一类间断点：左、右极限都存在。包括可去间断点（左、右极限相等但不等于f(x₀)或f(x₀)无定义）和跳跃间断点（左、右极限不相等）。*第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在。如无穷间断点、振荡间断点。1.3.3初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的。初等函数在其定义区间内都是连续的。利用连续性求极限：若f(x)在x₀处连续，则limₓ→x₀f(x)=f(x₀)。1.3.4闭区间上连续函数的性质*有界性定理：闭区间[a,b]上的连续函数一定在该区间上有界。*最大值最小值定理：闭区间[a,b]上的连续函数一定能取得最大值和最小值。*介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对介于f(a)与f(b)之间的任何常数C，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C。*零点定理（根的存在定理）：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（f(a)·f(b)<0），则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。---第二章导数与微分2.1导数的概念2.1.1导数的定义设函数y=f(x)在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处取得增量Δx（点x₀+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x₀处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数，记为f'(x₀)，y'|ₓ=x₀，dy/dx|ₓ=x₀或df(x)/dx|ₓ=x₀。即f'(x₀)=lim_{Δx→0}[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx。也可写成f'(x₀)=limₓ→x₀[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)。导数的几何意义：函数f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线的斜率。切线方程为y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)。2.1.2左导数与右导数f₋'(x₀)=lim_{Δx→0⁻}[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx(左导数)f₊'(x₀)=lim_{Δx→0⁺}[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx(右导数)函数在x₀处可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等。2.1.3可导与连续的关系函数y=f(x)在点x₀处可导，则函数在该点必连续。反之，连续不一定可导。例如，y=|x|在x=0处连续，但不可导。2.2求导法则与导数公式2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x)，v=v(x)都可导，则：*(u±v)'=u'±v'*(Cu)'=Cu'(C为常数)*(uv)'=u'v+uv'*(u/v)'=(u'v-uv')/v²(v≠0)2.2.2复合函数的求导法则（链式法则）设y=f(u)，u=φ(x)，且f(u)及φ(x)都可导，则复合函数y=f[φ(x)]的导数为dy/dx=dy/du*du/dx或y'(x)=f'(u)*φ'(x)。这是求导中非常重要的法则，要熟练掌握。2.2.3反函数的求导法则设函数x=φ(y)在某区间内单调、可导且φ'(y)≠0，则它的反函数y=f(x)在对应区间内也可导，且f'(x)=1/φ'(y)或dy/dx=1/(dx/dy)。2.2.4基本初等函数的导数公式*(C)'=0(C为常数)*(x^μ)'=μx^(μ-1)(μ为常数)*(sinx)'=cosx*(cosx)'=-sinx*(tanx)'=sec²x*(cotx)'=-csc²x*(secx)'=secxtanx*(cscx)'=-cscxcotx*(a^x)'=a^xlna(a>0,a≠1)*(e^x)'=e^x*(logₐx)'=1/(xlna)(a>0,a≠1)*(lnx)'=1/x*(arcsinx)'=1/√(1-x²)(-1<x<1)*(arccosx)'=-1/√(1-x²)(-1<x<1)*(arctanx)'=1/(1+x²)*(arccotx)'=-1/(1+x²)这些公式是求导的基础，必须熟记并能灵活运用。2.2.5隐函数的求导若方程F(x,y)=0确定了y是x的函数y=y(x)，则称此函数为隐函数。求隐函数的导数，一般是方程两边对x求导，注意y是x的函数，遇到含y的项要用复合函数求导法则，然后解出y'。2.2.6参数方程确定的函数的导数若函数由参数方程{x=φ(t),y=ψ(t)}确定，则dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=ψ'(t)/φ'(t)(φ'(t)≠0)。2.3高阶导数函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，若f'(x)可导，则称其导数为f(x)的二阶导数，记为y''，f''(x)，d²y/dx²或d²f/dx²。类似地，可以定义三阶导数、四阶导数……n阶导数。常见函数的n阶导数公