相似三角形几何模型拓展讲义

相似三角形几何模型拓展讲义引言：相似三角形的基石与延伸相似三角形，作为平面几何的核心内容之一，其思想贯穿于从基础证明到复杂计算的各个层面。掌握相似三角形的判定与性质，无异于手握一把解决众多几何问题的钥匙。然而，在纷繁复杂的几何图形中，如何快速识别相似三角形的结构特征，进而运用其性质解题，是学习的关键。本讲义旨在梳理相似三角形中若干重要的几何模型，通过对这些模型的图形特征、构成条件、核心结论及应用场景的深入剖析，帮助学习者建立“模型思想”，提升几何直观与逻辑推理能力，从而能够更高效、更准确地应对各类几何挑战。一、“A”型相似模型（又称“金字塔”模型）1.1基本图形与核心特征“A”型相似模型是最为基础且常见的相似结构。其核心特征是：存在一条直线（通常称为“截线”）与另一条直线（或两条平行线）相交，形成两个三角形，其中一个三角形的三个顶点分别位于另一个三角形的三条边上（或其延长线上），且两个三角形的对应角相等，呈现出字母“A”的形状。标准“A”型：如图1-1所示，在△ABC中，若DE∥BC，分别交AB于D，交AC于E，则△ADE∽△ABC。*图形特征：DE平行于△ABC的底边BC，形成一个较小的三角形△ADE位于△ABC的“内部”或“上部”。*相似条件：DE∥BC（由平行线性质可直接得到同位角相等，进而满足AA相似判定）。*核心结论：AD/AB=AE/AC=DE/BC，且S△ADE/S△ABC=(AD/AB)²=(AE/AC)²=(DE/BC)²。斜“A”型（或“类A”型）：如图1-2所示，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠AED=∠B（或∠ADE=∠C），则△AED∽△ABC。*图形特征：DE不平行于BC，但存在一对对应角相等（∠A为公共角，∠AED=∠B）。*相似条件：公共角∠A，且∠AED=∠B（或∠ADE=∠C），满足AA相似判定。*核心结论：AE/AB=AD/AC=DE/BC，同样有面积比等于相似比的平方。1.2模型应用与例题解析例题1：如图1-1，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.8，求EC的长及DE/BC的值。分析：此题为标准“A”型模型。已知DE∥BC，直接应用其比例关系即可。解答：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD/AB=AE/ACAB=AD+DB=2+3=5设EC=x，则AC=AE+EC=1.8+x故2/5=1.8/(1.8+x)解得x=2.7即EC=2.7DE/BC=AD/AB=2/5点评：标准“A”型的关键在于平行线的识别，一旦确认平行，则相似关系成立，比例线段随之可得。二、“X”型相似模型（又称“8”字型相似模型）2.1基本图形与核心特征“X”型相似模型与“A”型模型遥相呼应，其核心特征是：两条直线相交，形成对顶角，且被另外两条直线所截，构成两个三角形，形似字母“X”或数字“8”。标准“X”型：如图2-1所示，若AB∥CD，直线AC与BD相交于点O，则△AOB∽△COD。*图形特征：AB与CD平行，两条相交直线AC、BD将其连接，形成两个对顶的三角形。*相似条件：AB∥CD（由平行线性质可得内错角相等，进而满足AA相似判定）。*核心结论：AO/OC=BO/OD=AB/CD，面积比等于相似比的平方。斜“X”型（或“类X”型）：如图2-2所示，直线AC与BD相交于点O，若∠A=∠C（或∠B=∠D），则△AOB∽△COD。*图形特征：AB与CD不平行，但存在一组对应角相等（对顶角∠AOB=∠COD是公共的）。*相似条件：对顶角相等（∠AOB=∠COD），且∠A=∠C（或∠B=∠D），满足AA相似判定。*核心结论：AO/OC=BO/OD=AB/CD，面积比等于相似比的平方。2.2模型应用与例题解析例题2：如图2-2，已知线段AC与BD相交于点O，且∠A=∠D，若AO=3，OC=6，BO=2，求OD的长及AB/CD的值。分析：此题为斜“X”型模型。已知∠A=∠D，且∠AOB=∠DOC（对顶角），故可判定△AOB∽△DOC。解答：∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC∴AO/OD=BO/OC=AB/CD即3/OD=2/6解得OD=9AB/CD=BO/OC=2/6=1/3点评：斜“X”型的识别关键在于寻找对顶角以及另一组相等的角。其比例关系的应用与标准“X”型一致，注意对应边的准确识别。三、一线三垂直模型（K型相似模型）3.1基本图形与核心特征一线三垂直模型，顾名思义，其核心构成为：一条直线上存在三个垂足，形成三个直角。该模型在平面几何，尤其是与直角坐标系结合的问题中应用广泛，能够巧妙地构造出相似三角形。基本图形：如图3-1所示，直线l上有A、B、C三点，分别过A、B、C作直线l的垂线，垂足为A、B、C，且三条垂线分别为AD、BE、CF。若∠DBE=α，∠ECF=β，且α+β=90°，则△ABD∽△BCE。更常见的特殊情形是三个直角均为90°，即AD⊥l，BE⊥l，CF⊥l，且∠DBE=90°，此时△ABD∽△BCE∽△CAF（根据具体条件可能有所不同，但至少能保证其中两个三角形相似）。最常见的“一线三垂直”：如图3-2所示，在直线MN上有A、B、C三点，且DA⊥MN于A，EB⊥MN于B，FC⊥MN于C。若∠DEF=90°，则△DAB∽△BCE。*图形特征：一条直线MN，三个垂足A、B、C；三条竖直线DA、EB、FC；以及一个关键的直角∠DEF。*相似条件：∠DAB=∠EBC=∠DEF=90°。通过角的互余关系可证得∠ADB=∠BEC，从而由AA判定△DAB∽△BCE。*核心结论：DA/BC=AB/CE=DB/BE。3.2模型应用与例题解析例题3：如图3-2，在直角坐标系中，点A(0,3)，点B(2,0)，过点B作直线l⊥x轴。点P是直线l上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线交x轴于点Q。当点P在直线l上运动时（不与点B重合），△AOP与△PBQ是否相似？若相似，求出点Q的坐标；若不相似，请说明理由。分析：点A在y轴上，点B在x轴上，直线l⊥x轴于B，PQ⊥AP。可以尝试构造一线三垂直模型。过点A作x轴的平行线，交直线l于点C，或直接利用坐标系中的垂直关系。解答：由题意，A(0,3)，B(2,0)，直线l为x=2，设P(2,t)，t≠0。∵AP⊥PQ，A(0,3)，P(2,t)，Q(q,0)∴直线AP的斜率k1=(t-3)/(2-0)=(t-3)/2直线PQ的斜率k2=(0-t)/(q-2)=-t/(q-2)∵AP⊥PQ，∴k1*k2=-1即[(t-3)/2]*[-t/(q-2)]=-1化简过程略（此处可引导学生自行推导），或考虑几何法：过点A作AD⊥直线l于D，则D点坐标为(2,3)。则AD=2（水平距离），PD=|3-t|。PB=|t|（P到x轴距离），BQ=|q-2|。∠ADP=∠PBQ=90°，∠APD+∠QPB=90°，∠QPB+∠PQB=90°，故∠APD=∠PQB。∴△ADP∽△PBQ∴AD/PB=PD/BQ即2/|t|=|3-t|/|q-2|（后续可分t>3,0<t<3,t<0等情况讨论，此处略去具体计算，假设t>3，则2/t=(t-3)/(q-2)，可解得q关于t的表达式，表明对于任意t≠0，△ADP∽△PBQ，即△AOP与△PBQ是否相似需进一步验证，但一线三垂直得到的△ADP∽△PBQ是确定的。）点评：一线三垂直模型的关键在于利用“同角的余角相等”来证明角相等，从而构造相似。在坐标系中，该模型能将点的坐标与线段长度紧密联系，是解决动态几何问题的有力工具。四、手拉手模型（旋转相似模型）4.1基本图形与核心特征手拉手模型通常涉及两个具有公共顶点的相似三角形（或特殊的全等三角形），其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度后，与另一个三角形构成新的相似关系。因其图形动态变化时，两个三角形如同双手相握而得名。基本图形：如图4-1所示，已知△ABC∽△ADE，且∠BAC=∠DAE=α。将△ADE绕点A旋转一定角度后，连接BD、CE。则△ABD∽△ACE。*图形特征：公共顶点A；△ABC与△ADE相似，且有公共角∠BAC=∠DAE；旋转后形成的对应线段BD与CE。*相似条件：△ABC∽△ADE，故AB/AC=AD/AE，且∠BAC=∠DAE，从而∠BAD=∠CAE（旋转角相等）。由两边对应成比例且夹角相等（SAS）可判定△ABD∽△ACE。*核心结论：BD/CE=AB/AC=AD/AE（即相似比不变），且∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC（对应角相等）。特殊情形（手拉手全等）：当△ABC≌△ADE时，则△ABD≌△ACE，此时BD=CE，且BD与CE的夹角等于旋转角或其补角。4.2模型应用与例题解析例题4：如图4-2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE，交于点F。求证：(1)BD=CE；(2)BD⊥CE。分析：此题为手拉手模型的全等情形（因等腰直角三角形本身相似，且相似比为1）。解答：(1)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE(2)由(1)知△ABD≌△ACE∴∠ABD=∠ACE设AC与BD交于点G在△AGB和△FGC中∠AGB=∠FGC（对顶角相等）∠ABD=∠ACE∴∠GFC=∠BAC=90°即BD⊥CE点评：手拉手模型的核心在于利用初始的相似（或全等）条件，推导出旋转后新三角形的相似（或全等）。其结论不仅包括线段成比例（或相等），还包括对应角相等，进而可推出线段的位置关系（如垂直）。五、射影定理模型（直角三角形中的母子相似模型）5.1基本图形与核心特征射影定理模型是直角三角形中一个非常重要的相似模型，它揭示了直角三角形斜边上的高与两条直角边在斜边上的射影之间的关系。因其由一个直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形与原三角形相似，故也称为“母子相似”模型。基本图形：如图5-1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。则有△ABC∽△ACD∽△CBD。*图形特征：直角三角形ABC，斜边AB上的高CD，将原三角形分割成两个较小的直角三角形。*相似条件：∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，且有公共角（如∠A是△ABC和△ACD的公共角）。*核心结论（射影定理）：1.AC²=AD·AB（直角边的平方等于其在斜边上的射影与斜边的乘积）2.BC²=BD·AB3.CD²=AD·BD（斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积）同时，还满足比例式：AC/BC=AD/CD=CD/BD。5.2模型应用与例题解析例题5：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，求AC、BC和CD的长。分析：直接应用射影定理即可求解。解答：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB∴根据射影定理：AC²=AD·AB=AD·(AD+BD)=4·(4+9)=4·13=52∴AC=√52=2√13BC²=BD·AB=9·13=117∴BC=√117=3√13CD²=AD·BD=4·9=36∴CD=6点评：射影定理模型的应用非常直接，记住并理解射影定理的三个结论，可以快速解决直角三角形中与高相关的计算问题。其本质是相似三角形对应边成比例的具体化。总结与展望相似三角形的几何模型是平面几何知识体系中的精华。本讲义重点介绍了“A”型与“X”型、一线三垂直、手拉手以及射影定理这几类核心模型。这些模型并非孤立存在，它们之间往往存在内在联系，并且在复杂问题中常