2026年高考数学二轮复习：专题06 平面向量5大最值题型通关指南（热点专练）（全国适用）（原卷版）

1/14专题06平面向量5大最值题型通关指南内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：1、平面向量是近3年的高考命题热点，常以选择题填空题为主，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是平面向量的数量积及坐标运算，也会考察平面向量的最值问题．预测2026年：平面内容可能会考一道最值中档试题，考察平面向量的建系法求最值，以及极化恒等式的应用，同时要注意解答题中向量的几何翻译。热点题型：题型01平面向量中建系法求最值范围题型02平面向量中的三角换元求最值题型03平面向量中转化为点到线的距离最短求向量最值问题题型04平面向量中极化恒等式求最值范围问题题型05极化恒等式与其他知识相结合题型01平面向量中建系法求最值范围解｜题｜策｜略①在求平面向量最值范围问题中，看到特殊角，特殊图行，要想到可以通过建立坐标系来解决【精选例题】【例1】已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A． B． C．-1 D．【例3】在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【例4】已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【例5】已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为.【例6】在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为．【变式训练】1．(25-26高三上·北京房山区·)已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(24-25高三下·湖南长沙部分学校联考·)已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（

）A． B．0 C．12 D．3．(25-26高三上·北京汇文中学·期中)如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示，则的最大值为，的最大值为.4．(24-25高一下·陕西西安远东第二中学·月考)直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为.5．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·月考)已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是.6．(24-25高三上·河北邢台质检联盟·期中)已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为．题型02平面向量中的三角换元求最值解｜题｜策｜略题目中涉及圆上一动点，要想到三角换元，【精选例题】【例1】已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（

）A． B．C． D．【例3】在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为；的最小值为．【例4】已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为．【例5】如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是．【例6】已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为.【变式训练】1．在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．(24-25高一下·福建厦门大学附属科技中学·)已知扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的取值范围是.3．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是4．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为；若是圆上的动点，则的取值范围是.

5．(25-26高三上·上海嘉定安亭高级中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值为.6．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·)如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为．

7．(25-26高三上·湖南永州道县敦颐高级中学·开学考)如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为.题型03平面向量中转化为点到线的距离最短求向量最值问题解｜题｜策｜略题目中出现的最小值问题，要想到它的含义就是点到直线的距离【精选例题】【例1】设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则.【例2】已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【例3】在中，，若对任意的实数恒成立，则边的最小长度是（

）．A． B． C． D．【例4】已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例5】已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为．【变式训练】1．已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（

）A．3 B．2 C． D．2.已知中，，，，，，则的取值范围为（

）A．B．C．D．3.在中，，，，对任意，有恒成立，点P是直线BA上，则的最小值是．

4．已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是．题型04平面向量中的极化恒等式求最值范围ABABCM极化恒等式三角形模式在三角形中（M为的中点），此恒等式如何表示呢？（三角形模式）注意：使用极化恒等式的条件在处理的问题时，只有当或（是的中点）已知（或有一定的约束条件）时，我们才考虑极化恒等式，否则需要使用常规方法来解答【精选例题】【例1】铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．2 D．4【例2】在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3】如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（

）

A．9 B．11 C．13 D．15【例4】在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为．【例5】如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为.若在线段上有一个动点，则的最小值为.【变式训练】1．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（

）A．6 B．3 C． D．2．邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．23．四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是.4．(23-24高一下·河南河南名校联考·月考)如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是．

5．已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为.6．已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为．题型05极化恒等式与其他知识相结合【精选例题】【例1】已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例2】已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定【例3】已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例4】已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（

）A．[8，12] B． C． D．【例5】已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.【例6】已知球是棱长为3的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体的棱上的动点，则的取值范围为．【变式训练】1．已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．(24-25高二上·吉林长春吉大附中实验学校·月考)已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．点为抛物线上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(24-25高二上·江西八校协作体·)在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．(25-26高二上·浙江台州山海协作体·期中)已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是．7．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.8．(25-26·难点2直线与圆中的最值问题处理策略（练）·期中)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为.9．(25-26高二上·上海七宝中学浦江分校·期中)体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是．10．若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是.（建议用时：60分钟）一、单选题1．(25-26高三·吉林松原吉林油田高级中学·)在菱形中，分别是边的中点，则（）A． B． C． D．2．(25-26高二上·广东广州天天向上联盟·期中)已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（

）A．2 B．4 C． D．3．(25-26高三上·江苏宿迁中学·期中)已知是圆上的动点，是圆上的动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．(25-26高二上·浙江宁波三锋联盟·期中)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（）A． B． C． D．5．(25-26高二上·北京延庆区·期中)已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．(25-26高二上·浙江六校联盟·)已知直线：与圆：交于，两点，点在圆上，且，若，则（

）A． B．4 C． D．7．(24-25高一下·河南实验中学·月考)已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（）A． B． C． D．8．(24-25高一下·重庆女子职业高级中学·月考)已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．(24-25高一下·浙江91联盟·期中)已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（

）.A．. B．. C．. D．.10．(24-25高一下·江苏盐城五校联盟·)在平面直角坐标系中，，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．2二、多选题11．(25-26高二上·广东中山三鑫学校·月考)设动直线交圆于两点(点为圆心)，则下列说法正确的有（

）A．直线过定点 B．当取得最小值时，C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为12．在中，，点为以为圆心的单位圆上的动点，设的重心为，外心为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．当为直角三角形时，D．的最大值为13．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（

）A．1 B． C