专题1.2 数列与概率统计、函数以及解析几何的创新综合应用（5大考向）（重难专练）2026年高考数学二轮复习（原卷版）

12/12专题1.2数列与概率统计、函数以及解析几何的创新综合应用内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：数列与其他知识点的结合是数列的一大考试形式，主要集中于数列与统计概率，数列与解析几何，数列与三角函数，数列与导数的结合预测2026年：考向01概率统计中求对应的数列递推公式，考向02数列与统计概率中有关奇偶项问题考向03数列与三角函数相结合考向04数列与导数相结合考向05数列与解析几何相结合考向01概率统计中求对应的数列递推公式数列递推公式在统计概率中，只要是要找到的对应关系，从容利用数列的构造成等比数列或者是等差数列的形式，对于这种形式即可。1．某图书馆对学生借阅图书是否按时归还的情况开展调查，经过一段时间的统计发现：学生第一次借阅图书，按时归还的概率为；从第二次借阅开始，若前一次按时归还，则本次按时归还的概率为；若前一次未按时归还，则本次按时归还的概率为．记学生第次借阅按时归还的概率为．(1)求；(2)求数列的通项公式；(3)记前次借阅中按时归还的次数为，求随机变量的数学期望．参考公式：若为离散型随机变量，则．2．一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）(1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）；(2)证明：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．3．某科研小组研发了一款新式无人机，其生产过程有4道工序，前3道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测，包括智能检测与人工检测，其中智能检测为次品的会自动淘汰，合格的进入流水线进行人工检测.已知该新式无人机在生产中前3道工序的次品率分别为，，.(1)若某批次生产了这款新式无人机1000架，记X为该批次经过前3道工序合格的架数，求的数学期望；(2)已知某批次的新式无人机智能检测显示合格率为，在智能检测合格的前提下，求人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率；(3)该科研小组为了庆祝获得研究成果，举行联欢晚会，晚会期间，该小组组织了一个现场抽奖游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运观众，每次都要有放回地含有10张红色卡片和10张绿色卡片的箱子中随机抽取一张，指挥无人机运送匹克球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的匹克球，乙箱中没有球，若抽到红色卡片，则从甲箱中运一个匹克球到乙箱；若抽到绿色卡片，则从甲箱中运两个匹克球到乙箱，当乙箱中的匹克球数目达到9个，下一轮直接达到11个，获得优惠券，游戏结束；当乙箱中的匹克球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得大礼包时游戏结束.求游戏结束时，幸运观众获得优惠券的概率.考向02数列与统计概率中有关奇偶项问题1．围棋棋盘上共有361个交叉点，围棋术语称之为361目，两人玩围棋，谁占的目数多谁赢．因为目数不能均分，故先落子的一方占便宜．为解决这一问题，规定比赛结束后先落子的一方贴给后落子的一方目．抽签猜得黑棋的一方先落子．即便这样先落子的一方还是占些便宜．甲、乙两个围棋选手水平相当，据以往比赛经验，他二人执黑先落子的一方获胜的概率是，后落子一方获胜的概率是，没有平局．甲、乙两人再次比赛，并规定：当其中一人赢的局数比另一人多两局时，比赛结束．第一局由抽签结果是甲执黑先落子，以后每局交替执黑先落子．设第局结束的概率为．(1)求的值；(2)求的表达式及；(3)求甲、乙两人比赛结束时比赛局数的数学期望．2．一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为.(1)求与；(2)设，求与；(3)当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求考向03数列与三角函数相结合对于数列与三角函数的结合中，一般考察利用三角函数的周期问题去考察数列的求和，例如对于1．定义：对于数列，若存在，对任意的，都有，则称数列为周期数列，为数列的一个周期.已知数列，，.(1)用定义证明：数列是周期数列；(2)求数列的前项和（结果用分段函数表示）；(3)已知数列有形如的通项公式，求常数，并证明：2．已知函数，其中.(1)若，求的值；(2)当时，（i）判断函数在上的零点个数；（ii）若有公比的等比数列满足，求的值.3．在数列中，，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，数列的前项和为，证明：；(3)证明：.4．设次多项式，若其满足，则称多项式为切比雪夫多项式．已知为切比雪夫多项式．(1)求的解析式；(2)求证：；(3)若，求证：．考向04数列与导数相结合数列与导数结合，一般查考的是压轴题，主要是利用导数的一些不等式链的放缩，以及数列的放缩相结合，从而达到想要的不等式的证明目的。常见的函数不等式链为，以及，，对数列的放缩常见的是裂项相消放缩以及等比数列放缩。1．，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知．(1)证明：存在源数列；(2)①若恒成立，求的取值范围；②记的源数列为，前项和为．证明：．2．已知是定义在上的函数，若对任意恒成立，则称为上的非负函数．(1)判断是否为区间上的非负函数，并说明理由；(2)已知为正整数，为区间上的非负函数，记的最大值为，求证：数列为等差数列；(3)已知且，函数，若为区间上的非负函数，为（2）中的等差数列，求证：．考向05数列与解析几何相结合数列与解析几何的结合中，主要考察数列的基本基本性质的基本应用，利用圆锥曲线的基本性质，主要利用等差等比数列的通项公式的基本结构，以及等差，等比数列前n项和的基本结构，或者是利用等差等比数列的等差等比中项去。1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，已知直线，按如下方法构造点列（其中）：过抛物线上的点作轴的平行线，交直线于点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点(1)求实数的值，并求直线的方程；(2)求数列的通项公式，并证明：对任意；(3)数列的前项积为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值．2．已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求的坐标；(2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值.（建议用时：60分钟）1．已知函数及其导函数的定义域均为．设，曲线在点处的切线交轴于点．当时，设曲线在点处的切线交轴于点．依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”．(1)若，是函数关于的“数列”，求的值；(2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；(3)若，记函数为的导函数（），函数的图象在处的切线与轴相交的交点横坐标为，求．2．已知函数，记为函数在区间内的从小到大的第个零点.(1)证明：数列是等比数列；(2)记为函数在区间内的从小到大的第个极值点，将数列，中的所有项从小到大排列构成一个新的数列若，，求k的最大值.3．记数列前k项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为A．(1)已知数列为7，6，5，8，求数列；(2)若，且A中恰有5个元素，求实数a的取值范围；(3)若，的“生成子列”的前n项和为，从中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X，①若，求X的数学期望；②若，求使取得最大值时的m值．4．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．5．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)求证：对任意的且，都有：．（其中为自然对数的底数）6．已知圆，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)不过原点的直线l与曲线E交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率，k，成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为，，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．7．已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.(1)求双曲线的方程；(2)求；(3)证明：.8．在正三棱台中，，Q是AC的中点．(1)求证：平面.；(2)若，求直线AC与平面所成角的正弦值；(3)若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求．9