《导数在研究函数中的应用（第1课时）》自助餐

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《导数在研究函数中的应用（第1课时）》自助餐学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共6题，51分）1.(9分)若函数f(x)＝(x2－2x)ex在(a，b)上单调递减，则b－a的最大值为()A.2B.C.4D.22.(8分)若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈()A.(0,1)B.[0,2]C.(2,3)D.(2,4)3.(9分)若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－，)，则实数a的取值范围是()A.a＞0B.－1＜a＜0C.a＞1D.0＜a＜14.(9分)已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A.[－1，＋∞)B.(－∞，2]C.(－∞，－1)和(1,2)D.[2，＋∞)5.(8分)已知函数y＝xf′(x)的图像如下图所示.下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是()6.(8分)f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的可导的奇函数，且满足xf′(x)<0，f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集为()A.(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－1,0)∪(0，＋∞)二、填空题（共3题，25分）7.(9分)函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调增区间为________.8.(8分)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________.9.(8分)若函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.三、解答题（共3题，24分）10.(8分)已知a是实数，求函数f(x)＝(x－a)的单调区间.11.(8分)设f(x)＝，其中a为正实数，若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.12.(8分)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.（1）求k的值；（2）求f(x)的单调区间.《导数在研究函数中的应用（第1课时）》自助餐答案一、单项选择题1.【答案】D【解析】【知识点：单调性与导数的关系】f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，令f′(x)<0，∴－<x<.即函数f(x)的单调递减区间为(－，).∴b－a的最大值为2.2.【答案】C【解析】【知识点：单调性与导数的关系】由f′(x)<0⇔x2－4x＋3<0，即1<x<3，∴函数f(x)在(1,3)上单调递减.∴函数f(x－1)在(2,4)上单调递减.故D为充要条件，C为充分不必要条件.3.【答案】A【解析】【知识点：单调性与导数的关系】y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－＜x＜.∴f(x)＝x3－x在(－，)上为减函数.又y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－，)，∴a＞0.4.【答案】C【解析】【知识点：单调性与导数的关系，切线的几何意义】根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0，得x<－1或1<x<2.因此f(x)的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2).5.【答案】C【解析】【知识点：单调性与导数的关系，分类讨论思想，图像分析】由题意知，x∈(0,1)时，f′(x)<0.f(x)为减函数；x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.f(x)为增函数；x∈(－1,0)时，f′(x)<0.f(x)为减函数.6.【答案】B【解析】【知识点：单调性与导数的关系，分类讨论思想，数形结合】二、填空题7.【答案】【解析】【知识点：单调性与导数的关系，三角函数】∵y′＝1－2cosx，∴由即得<x<.∴函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的增区间为(，).8.【答案】【解析】【知识点：单调性与导数的关系，构造新函数】令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数.∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞).9.【答案】【解析】【知识点：单调性与导数的关系，恒成立问题】f′(x)＝3x2＋a，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立.∴a≥－3.三、解答题10.【答案】【解析】【知识点：单调性与导数的关系，分类讨论思想】，若，则的解集为[，＋∞)，的解集为[0，]；若，则恒成立.综上：①a>0时，单调递减区间为[0，]，单调递增区间为[，＋∞)②a≤0时，f(x)单调递增区间为[0，＋∞)11.【答案】【解析】【知识点：单调性与导数的关系，恒成立问题】若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合条件a>0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1，所以a的取值范围为{a|0<a≤1}.12.【答案】【解析】【知识点：单调性与导数的关系，分类讨论思想】（1）由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞).由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.（2）由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞).令h(x)