三年级数学上册“过河问题”：带小括号的混合运算教学设计

三年级数学上册“过河问题”：带小括号的混合运算教学设计一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中“数与运算”及“数量关系”主题。在知识技能图谱上，它是在学生已经掌握了加减乘除四则运算、不含括号的两步混合运算（如先乘除后加减）的基础上，首次正式引入“小括号”这一改变运算顺序的数学符号，旨在解决“需要先算加减，后算乘除”的实际问题。这不仅是运算顺序规则的扩充，更是学生从机械遵循“先乘除后加减”规则，到根据问题情境灵活、主动地构建运算顺序这一思维跃迁的关键节点，为后续学习中括号、列综合算式解决更复杂问题奠定了不可或缺的逻辑基础。从过程方法路径看，本课是培养学生“模型意识”与“推理意识”的绝佳载体。学生需要经历“情境识别—问题抽象—列式表征—运算求解—回归验证”的完整建模过程，并在此过程中通过“为什么要加括号？”“不加括号会怎样？”等问题的思辨，发展有逻辑的数学推理能力。就素养价值渗透而言，通过“过河”这一富有生活趣味的合作性问题情境，引导学生在数学探究中体会规则制定的必要性（小括号的引入），感受数学表达的简洁与精确之美，并潜移默化地培养其解决问题的有序思维和团队协作意识。  针对三年级学生的学情，他们正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的时期。其已有基础是熟悉两步计算的实际问题，并能用分步算式解决，对“先乘除后加减”的运算顺序有初步认知。可能存在的障碍在于：一是思维定势，习惯于既有顺序，难以主动意识到“需要改变顺序”的需求；二是对“小括号”的功能理解易停留在“要加”的指令层面，而非理解其“为什么加”的内在逻辑；三是在列综合算式时，容易出现符号使用错误或顺序混淆。因此，教学调适策略在于：首先，创设一个认知冲突强烈的情境（如总人数需先算，但按既有规则却要先算除法），让“改变顺序”的需求从学生内部自然生发；其次，通过对比、演示、操作（如用纸条遮挡、圈画先算部分）等多种方式，将抽象的运算顺序可视化，帮助理解；最后，设计分层任务与即时反馈，如通过观察学生列式、聆听小组讨论、分析典型错例等形成性评价手段，动态诊断学习困难，为不同思维速度的学生提供如“分步算式支架”、“情境图操作提示”等差异化支持。二、教学目标  知识目标：学生能结合“过河”等具体情境，理解在需要改变既有运算顺序时使用小括号的必要性；掌握带有小括号的两步混合运算的运算顺序，即“先算小括号里面的”，并能正确进行计算和书写。  能力目标：学生能够从现实情境中抽象出数学问题，并尝试用分步算式和综合算式（含小括号）两种方式进行表征；在解决问题的过程中，能清晰表达自己“为什么这里需要加小括号”的思考过程，发展初步的数学语言表达和逻辑推理能力。  情感态度与价值观目标：在小组合作解决“过河”问题的过程中，体验团队协作与交流的乐趣；通过克服认知冲突、成功引入新规则（小括号）解决问题的过程，获得运用数学工具克服困难的成就感，增强学习数学的信心。  数学思维目标：重点发展学生的模型思想与符号意识。引导其经历“具体情境—数学问题—算式模型”的抽象过程，并理解小括号作为一种数学符号，其核心功能是精确表达运算的特定顺序，这是数学表达严谨性的体现。  评价与元认知目标：引导学生学会通过“将计算结果代入情境检验是否合理”的方法来验证算式的正确性；鼓励学生在练习后，用“我明白了小括号的作用是……”或“我在……情况下容易出错”的句式进行简单的学习反思与小结。三、教学重点与难点  教学重点：认识小括号的作用，掌握带有小括号的两步混合运算的运算顺序。确立依据在于：从课程标准看，这是第二学段“数的运算”中关于“运算顺序”大概念的重要组成部分，是学生形成完整运算规则体系的关键一环。从能力立意看，掌握小括号的使用是学生能否灵活、准确列综合算式解决复杂实际问题的前提，直接影响其后续数学建模能力的发展。  教学难点：理解在具体问题中为什么要使用小括号，即体会小括号改变运算顺序的必要性和价值。预设依据源于学情分析：学生已有的“先乘除后加减”规则与新问题情境（需先算加减）产生直接冲突，这一认知跨度是难点所在。常见典型错误如“29+25÷9”正是未能突破此难点的表现。突破方向在于强化情境与算式意义的勾连，通过对比不同列式对应的不同计算步骤和结果，让必要性从对比中凸显。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件，内容包含“过河”情境动画、问题呈现、算式对比演示；磁性贴或卡片（用于板书呈现分步与综合算式）；可移动的小括号模型（如泡沫条）。1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础、进阶任务）；小组讨论记录卡。2.学生准备：预习课本情境；准备铅笔、直尺等学习用品。3.环境布置：学生按46人异质小组就座，便于合作探究；黑板划分区域，预留算式对比与规则总结空间。五、教学过程第一、导入环节1.情境激趣，唤醒旧知：同学们，今天数学课我们先来看一个小队探险的故事（播放课件：二（1）班同学坐船过河）。看，男生29人，女生25人，每条船限乘9人。要想知道至少需要几条船，我们需要解决一个什么数学问题呢？来，一起说说看。（学生：“需要算出一共多少人，再算需要几条船。”）说得非常清楚！这就是我们以前常遇到的问题。2.制造冲突，提出问题：那谁能用我们学过的知识，分步来解决这个问题？请一位同学来说一说。（学生列式：29+25=54（人），54÷9=6（条））。思路清晰，答案正确！不过，老师想挑战一下大家：我们能用一个综合算式把这两步计算合并起来吗？很多同学在尝试了，有同学列出了“29+25÷9”。我们来算算看，按照我们学过的“先乘除后加减”的顺序，这个算式先算什么？（学生：“先算25÷9”）哎？除不尽了，得到的结果和我们分步算的答案一样吗？问题出在哪了？看来，当我们想“先算加法，后算除法”时，现有的运算顺序规则好像“不够用”了。今天，我们就一起来当一回“数学规则设计师”，寻找解决这个矛盾的新方法。第二、新授环节任务一：情境再现，分步建模教师活动：首先，引导学生聚焦问题核心。我们来重新审视一下“过河”情境，解决问题的关键步骤是哪两步？请在任务单上用画图或文字的方式表示出来。接着，巡视指导，关注学生是否能清晰表述“先求总人数，再求船数”的逻辑顺序。邀请不同学生展示他们的分析过程，并板书核心关系式：“总人数÷每条船坐的人数=需要的船数”，并标注“总人数=男生+女生”。学生活动：观看情境，独立思考问题解决的步骤。用自己喜欢的方式（如画圈表示人群，画船分组）在任务单上表示分析过程。在小组内交流自己的思路，相互补充。推选代表向全班展示，阐述“先算什么，再算什么”。即时评价标准：1.能否准确识别出“先求总人数”和“再求船数”这两个关键步骤；2.在表达时，是否能使用“先…再…”等顺序连词清晰说明；3.小组交流时，是否能认真倾听同伴的想法。形成知识、思维、方法清单：★问题分析步骤：解决此类“连续两步”的实际问题，首先要梳理清楚数量之间的关系，明确计算的先后顺序。这是列式的基础。▲多种表征方式：除了算式，用简单的图示、文字描述也是分析问题的好方法，能帮助理解题意。（教师提示：鼓励学生用多元方式表达思考过程，不急于跳到算式。）任务二：列出分步算式，巩固数量关系教师活动：现在，请同学们根据刚才的分析，把这两个步骤用数学算式写下来。写完后，和同桌互相说一说每个算式的含义。我请一位同学到黑板上写。（板书：29+25=54（人）54÷9=6（条））写完后追问：第一个算式求的是什么？第二个呢？这两个算式之间有什么联系？学生活动：独立写出两个分步算式。与同桌互相解释每个算式的意义。观察黑板上板书的算式，并回答教师的提问，明确第一个算式的结果是第二个算式的条件。即时评价标准：1.列式是否正确；2.能否准确说出每个算式的意义；3.能否指出分步算式中第一步的结果是第二步的条件。形成知识、思维、方法清单：★分步算式：是解决两步计算问题的基本方法，每一步的运算意义明确，结果清晰。★中间问题：第一步计算“29+25”解决了“总人数是多少”这个“中间问题”，它是解决最终问题的桥梁。（教师提示：强调分步算式的逻辑链，为后续综合算式的“合并”提供意义支撑。）任务三：尝试列综合算式，引发认知冲突教师活动：提出挑战：同学们很厉害，用两个算式解决了问题。数学家喜欢追求简洁，能不能把这两个算式合并成一个综合算式呢？大胆试一试，写在你的任务单上。收集典型列法，主要有两种：“29+25÷9”和“（29+25）÷9”。将这两种写法都展示在黑板上。我们先来看第一种“29+25÷9”。如果按照我们熟悉的运算顺序“先乘除后加减”，这个算式应该先算什么？后算什么？计算出的结果是多少？这个结果和分步计算的结果一样吗？它符合我们“过河”的实际吗？（引导学生计算发现：先算25÷9除不尽，或近似得3，再算29+3=32，与需要的6条船相差甚远，不符合实际）。学生活动：尝试将两个分步算式合并成一个综合算式。观察教师展示的两种写法。针对第一种写法“29+25÷9”，按照运算顺序进行计算，发现结果与分步计算不符，并与实际情境关联，意识到这个算式“有问题”。即时评价标准：1.是否敢于尝试合并算式；2.能否发现“29+25÷9”按现有规则计算的结果与实际问题不符；3.能否将计算结果与实际情境进行联系思考。形成知识、思维、方法清单：★认知冲突：当试图用综合算式“29+25÷9”直接合并时，其运算顺序（先除后加）与解决问题的实际步骤（先加后除）产生了矛盾。★规则局限性：已有的“先乘除后加减”的运算顺序规则，无法表达“先算加法”的需求。（教师提示：这个冲突是本节课的“发动机”，要让学生充分感受、讨论，明确“需要一种新方式来表达特殊顺序”。）任务四：引入小括号，理解其功能教师活动：指着第二种写法“（29+25）÷9”。看，有的同学很聪明，他用了这样一个“新武器”——一对弯弯的月亮一样的符号，把“29+25”给包起来了。谁知道它叫什么名字？（板书：小括号）同学们，这个小括号可不是随便加的，它是在向计算器、向所有人发布一道明确的“命令”。猜猜看，这道命令是什么？（引导学生说出：先算小括号里面的）。对！小括号就像给算式里的这部分内容戴上了一顶“优先帽”，大声宣布：“不管别的，先算我里面的！”那我们再来算算这个带小括号的算式：（29+25）÷9，现在应该先算什么？再算什么？结果是多少？学生活动：认识小括号。猜测并理解小括号的功能是“改变运算顺序，先算括号里面的”。按照新规则计算“（29+25）÷9”，先算括号里的加法得54，再算除法得6。验证结果与分步计算一致，并符合情境。即时评价标准：1.能正确读出带小括号的算式；2.能用自己的话解释小括号的作用；3.能正确计算带小括号的两步混合运算。形成知识、思维、方法清单：★小括号“（）”：是一种数学符号，它的作用是改变运算顺序。★核心功能：在算式中，如果有小括号，就要先算小括号里面的。★算式读写：读作“29加25的和除以9”，强调“的和”，体现先算加法。（教师提示：将小括号拟人化为“命令者”或“优先帽”，能帮助学生生动记忆其功能。）任务五：对比归纳，形成运算顺序新规则教师活动：现在，请同学们把黑板上的这两个综合算式“29+25÷9”和“（29+25）÷9”放在一起对比。它们有什么相同点和不同点？同桌之间讨论一下。引导学生从数字、符号、运算顺序、结果等方面进行对比。最后，带领学生共同总结：当我们需要在一个算式里先算加、减法，后算乘、除法时，就必须请出我们的新朋友——小括号来帮忙。它的加入，让我们的运算顺序规则更加完善了。学生活动：对比观察两个算式，进行小组讨论，发现它们数字、运算符号相同，但第二个多了小括号，导致运算顺序和结果完全不同。参与全班总结，明确在需要改变“先乘除后加减”的默认顺序时，要使用小括号。即时评价标准：1.能否通过对比清晰指出两个算式的本质区别在于是否有小括号及由此导致的顺序不同；2.能否参与归纳出带小括号算式的运算规则。形成知识、思维、方法清单：★运算顺序规则扩充：一个算式里，如果有小括号，要先算小括号里面的。这是对“先乘除后加减”规则的重要补充。★符号意识：数学符号（如小括号）是精确表达数学思想的工具，使用恰当的符号能让我们的表达更清晰、无歧义。（教师提示：通过对比，让学生自己“发现”规则，理解小括号引入的必然性，而非被动接受。）任务六：尝试应用，巩固新知教师活动：出示变式情境：“一辆大车限乘46人，一辆小车限乘8人。男生29人，女生25人，如果都坐小车，需要几辆？”引导学生独立分析：这和我们刚才的“过河”问题像不像？先求什么？再求什么？你能直接列出带小括号的综合算式并计算吗？巡视，重点关注学困生是否能正确使用小括号。学生活动：独立阅读新情境，分析数量关系（仍是先求总人数，再除以每辆车人数）。尝试独立列出综合算式“（29+25）÷8”并计算。完成后与同桌交换检查。即时评价标准：1.能否正确分析数量关系，判断是否需要小括号；2.能否正确列出并计算带小括号的算式；3.计算过程是否规范。形成知识、思维、方法清单：★建模迁移：识别不同情境背后相同的数学模型（总数÷每份数=份数），并应用新知解决问题。★应用格式：列综合算式时，若需先算加减法，应记得添加小括号。计算时遵循“先括号内，后括号外”的顺序。（教师提示：提供相似结构的新情境，促进知识的初步迁移和应用。）第三、当堂巩固训练  设计分层练习任务单。基础层（全体必做）：1.说一说下面算式的运算顺序，再计算。(1)(15+30)÷5(2)72÷(124)。来，计算前一定要先‘读’顺序，把先算的部分在心里圈出来。2.根据问题选择正确的算式。（连线题）综合层（大多数学生完成）：3.添上小括号使等式成立。例如：36÷4+2=6。这题有点意思，需要我们逆向思考，小括号加在哪里才能让结果等于6呢？动手试试看。4.解决一个简短的文字题（类似于课本例题结构，但数据变化）。挑战层（学有余力选做）：5.自编一个需要用上小括号解决的实际问题，并列出算式。看看谁能当小老师，出题考考大家。  反馈机制：基础层练习通过全班齐答、手势判断（如举牌表示运算顺序）快速反馈。综合层练习采取小组互批，针对“添小括号”这类易错题，邀请不同做法的学生上台讲解思路。挑战层作品进行课堂展示，由全班评价其编题是否合理、算式是否正确。第四、课堂小结  知识整合：同学们，今天我们共同经历了一次重要的数学探索。谁能用几句话总结一下，我们认识了谁？它有什么本领？（引导学生说出：认识了小括号，它能让算式先算它里面的部分。）对，小括号就像一位‘秩序管理员’，确保了计算按照我们解决问题的实际步骤来进行。  方法提炼：回顾一下，我们是怎样发现需要小括号的？（遇到问题—分步解决—尝试合并—产生冲突—引入新符号—解决问题）。这就是我们遇到新问题时可以尝试的思考路径。  作业布置：必做作业：1.完成课本相关练习题。2.向家人讲一讲“小括号的故事”。选做作业：寻找生活中还有哪些情况，需要用“先算一部分，再算另一部分”的思路来解决，并尝试用带小括号的算式表示。六、作业设计基础性作业：1.计算：(12+18)÷6、8×(72)、(459)÷9。2.判断：算式36÷(6×3)要先算乘法。（）；算式(248)÷4和248÷4的计算结果相同。（）。拓展性作业：3.解决问题：一本故事书有80页，小明第一天看了25页，第二天看了15页。剩下的计划4天看完，平均每天要看多少页？（请列综合算式解答）4.请为算式“42–6×5”加上小括号，创造出两个新的算式，并分别计算它们的结果。探究性/创造性作业：5.（选做）“数字谜”挑战：在□里填上合适的数。(□+30)÷7=10。你能推理出□里的数是多少吗？说说你的想法。七、本节知识清单及拓展★小括号“()”：本节课核心新知的符号载体。它是一种数学符号，外形为两个弧线。其核心功能是改变运算顺序。在混合运算中，它的出现意味着计算流程的调整。★带小括号的运算顺序规则：这是对原有“先乘除后加减”规则的重要补充和明确。具体规则为：在一个算式里，如果有小括号，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。这是必须牢记并严格执行的计算准则。★引入小括号的必要性：当解决实际问题的步骤要求“先进行加法或减法运算，后进行乘法或除法运算”时，原有的运算顺序规则无法直接表达这一需求，必须借助小括号来明确指示。例如，在“先加后除”的模型中，不加括号会导致逻辑错误。★分步算式与综合算式（含小括号）的联系与区别：分步算式（如29+25=54，54÷9=6）步骤清晰，易于理解。综合算式（如（29+25）÷9）是对分步算式的合并与抽象，形式更简洁。小括号的加入，确保了这种合并能正确反映原分步计算的逻辑顺序。▲算式读写规范：读带小括号的算式时，通常读出小括号内容的计算结果。如“（29+25）÷9”读作“29加25的和除以9”，强调“的和”能提醒先算加法。书写时，小括号要成对使用，且书写工整。▲避免常见错误：常见错误有两类：一是漏写小括号，在需要先算加减时忘记添加，导致顺序错误；二是小括号位置错误，未能将需要优先计算的整个部分括起来。多通过“先读顺序再计算”的步骤来预防。▲检验计算结果的策略：将综合算式计算结果与分步算式结果对比，是检验是否正确使用小括号的有效方法。更重要的是，将计算结果代回原问题情境，看是否合乎常理（如需要的船数不可能是小数或分数）。▲小括号的“优先级”隐喻：可以将小括号理解为计算机程序中的“最高优先级指令”，或者交通中的“特种车辆先行”标志。这种类比有助于形象记忆。▲模型意识培养：本节课的“过河问题”本质上是一个“总数÷每份数=份数”的数学模型。关键在于识别出“总数”是由哪两部分“先合并”而成的（男生人数+女生人数）。识别模型有助于迁移到类似问题（如分组、租车、装盒）。▲符号意识渗透：小括号的引入是一次深刻的符号意识教育。它让学生体会到，数学符号不仅是缩写和记录，更是精确表达复杂关系和特定指令的强有力工具。数学的严谨性很大程度上依赖于符号系统的完善。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析本节课预设的核心目标——理解小括号的作用并掌握其运算顺序，通过课堂观察、学生练习反馈及小结陈述来看，基本达成。大部分学生能正确列出带小括号的算式解决类似“过河”的问题，并能清晰表述“要先算括号里的”。能力目标方面，学生经历了完整的“冲突探究建构”过程，模型抽象与推理能力得到了锻炼。情感目标在小组合作与成功解决问题的过程中得以实现，课堂氛围积极。让我欣慰的是，在挑战层练习中，有学生编出了‘老师买奖品’的问题，这说明他们开始尝试将这一模型进行迁移应用了。  （二）教学环节有效性评估  1.导入与冲突制造环节效果显著。生动的动画情境迅速吸引注意，“尝试列综合算式”的任务自然引发了原有知识（运算顺序）与新问题之间的矛盾。当学生算出‘29+25÷9’得到奇怪结果时，那一瞬间全班的安静和疑惑的表情，正是认知冲突被成功激发的标志。这是后续一切探究学习的原动力。  2.新授环节的任务链设计基本实现了螺旋上升。从分步巩固（任务一、二）到尝试合并引发冲突（任务三），再到引入新工具解决问题（任务四），最后对比归纳（任务五）和应用迁移（任务六），逻辑清晰。支架搭建较为充分，例如在任务三中对比两种列式的结果，让学生自己发现“此路不通”，比直接告知“要加括号”更有说服力。但在任务四讲解小括号作用时，或许可以增加一个动作体验：请两位学生分别扮演‘加法’和‘除法’，再请一位学生举起小括号模型站在‘加法’两边，直观演示‘被优先执行’的过程。  3.巩固与小结环节的分层练习满足了不同层次学生的需求。互评和展示环节提供了及时反馈。小结时引导学生回顾探索过程，而不仅是复述知识点，有