2026年长沙高中数学建模比赛试题及答案

2026年长沙高中数学建模比赛试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年长沙高中数学建模比赛试题及答案考核对象：高中学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.函数的极值点一定是其导数为零的点。2.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点处取得。3.样本方差是总体方差的无偏估计量。4.独立重复试验中，事件发生的概率在每次试验中保持不变。5.数列的通项公式可以唯一确定其前n项和。6.对数函数的图像一定经过点（1，0）。7.圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中r为底面半径，h为高。8.矩阵的乘法满足交换律。9.统计中的置信区间表示参数真实值落在该区间的概率为100%。10.抽样调查中，分层抽样的样本量在各层中的分配应与总体比例相同。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极值点个数为（）。A.0B.1C.2D.32.已知A={1,2,3}，B={2,4,6}，则A∪B的元素个数为（）。A.3B.4C.5D.63.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且A与B互斥，则P(A∪B)为（）。A.0.2B.0.4C.0.6D.1.04.数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n，则a_4的值为（）。A.11B.13C.15D.175.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值等于（）。A.eB.e-1C.1D.ln(e)6.已知圆的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，则其圆心坐标为（）。A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)7.矩阵M=[12;34]的转置矩阵为（）。A.[13;24]B.[24;13]C.[34;12]D.[43;21]8.抛掷一枚均匀硬币3次，恰好出现2次正面的概率为（）。A.1/8B.3/8C.1/4D.1/29.函数f(x)=sin(x)在区间[0,π/2]上的积分值为（）。A.1B.0C.π/2D.π10.已知样本数据为5,7,9,11,13，则其中位数为（）。A.7B.9C.10D.11三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的有（）。A.f(x)=x²B.f(x)=ln(x)C.f(x)=e^xD.f(x)=1/x2.线性规划问题的约束条件通常表示为（）。A.等式B.不等式C.线性函数D.非线性函数3.下列统计量中，不受极端值影响的有（）。A.均值B.中位数C.标准差D.方差4.圆锥的侧面积公式为（）。A.πrlB.πr²C.πr√(r²+h²)D.1/2πr²5.矩阵乘法满足的性质有（）。A.结合律B.交换律C.分配律D.单位元存在6.抽样调查中，常见的抽样方法有（）。A.简单随机抽样B.分层抽样C.系统抽样D.整群抽样7.函数f(x)=cos(x)的周期为（）。A.πB.2πC.3πD.4π8.数列{a_n}是等差数列的充要条件是（）。A.a_n-a_(n-1)为常数B.S_n=an²+bnC.a_n=a_1+(n-1)dD.a_n=a_(n-1)+d9.圆的方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，参数a,b,r的意义为（）。A.a为圆心横坐标B.b为圆心纵坐标C.r为半径D.r为圆心到原点的距离10.统计分析中，常用的图表有（）。A.直方图B.饼图C.散点图D.箱线图四、案例分析（每题6分，共18分）1.某工厂生产两种产品A和B，每件产品A的利润为10元，每件产品B的利润为15元。生产每件产品A需要消耗原材料2kg，生产每件产品B需要消耗原材料3kg，工厂每周可用的原材料总量为100kg。若产品A每周的产量不能超过30件，产品B的产量不能超过40件。问如何安排两种产品的产量，才能使工厂每周的利润最大？2.某学校进行一项调查，发现学生每天使用手机的时间服从正态分布，均值为60分钟，标准差为10分钟。若随机抽取一名学生，求其每天使用手机时间超过90分钟的概率。3.某公司需要采购一批零件，供应商提供两种包装方式：大包装每盒10件，售价50元；小包装每盒5件，售价20元。若公司需要采购至少100件零件，且希望总成本最低，问应如何选择大包装和小包装的数量？五、论述题（每题11分，共22分）1.试述线性规划问题的基本概念及其在实际问题中的应用。2.结合具体例子，说明如何利用数列的通项公式求解其前n项和。---标准答案及解析一、判断题1.×（极值点还可能是导数不存在的点，如x=0对f(x)=|x|）2.√（根据基本定理，最优解在顶点处取得）3.√（样本方差的无偏估计量公式证明略）4.√（独立重复试验中，每次试验概率不变）5.×（通项公式不唯一确定前n项和，如a_n=n，S_n=n(n+1)/2）6.√（对数函数图像过点(1,0)）7.√（圆锥体积公式推导过程略）8.×（矩阵乘法不满足交换律，如A=[10;01],B=[11;11],AB≠BA）9.×（置信区间表示参数真实值有95%的可能性落在该区间）10.√（分层抽样保证各层比例）二、单选题1.C（f'(x)=3x²-3，f'(1)=0且f''(1)=6>0，f'(0)=0且f''(0)=-6<0）2.C（A∪B={1,2,3,4,6}）3.C（P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1.0，但互斥时P(A∪B)=0.6）4.B（a_4=S_4-S_3=2(4)²-3(4)-(2(3)²-3(3))=13）5.B（f(0)+f(1))/2=(1+e)/2=e-1）6.B（圆心为(1,-2)）7.A（转置矩阵行列互换）8.B（C(3,2)/2^3=3/8）9.A（∫_0^π/2sin(x)dx=1）10.B（排序后为5,7,9,11,13，中位数为9）三、多选题1.ABC（f(x)=x²单调递增，f(x)=ln(x)单调递增，f(x)=e^x单调递增）2.AB（约束条件为线性等式或不等式）3.BCD（中位数、标准差、方差不受极端值影响）4.AC（侧面积=πrl，全面积=πr√(r²+h²)）5.AC（结合律成立，交换律不成立）6.ABCD（四种常见抽样方法）7.B（cos(x)周期为2π）8.AC（等差数列定义）9.ABC（a为横坐标，b为纵坐标，r为半径）10.ABCD（四种常用统计图表）四、案例分析1.解：设产品A的产量为x件，产品B的产量为y件，利润为z元。目标函数：z=10x+15y约束条件：2x+3y≤100x≤30y≤40x,y≥0最优解：x=30,y=20,z=10(30)+15(20)=600元。2.解：正态分布P(X>90)=P(Z>(90-60)/10)=P(Z>3)=0.0013。3.解：设大包装数量为x盒，小包装数量为y盒，成本为