精算探秘：“迁移·建模·应用”视角下两位数乘一位数（不连续进位）笔算教学设计与实施

精算探秘：“迁移·建模·应用”视角下两位数乘一位数（不连续进位）笔算教学设计与实施一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域强调，要让学生在理解算理的基础上掌握算法，形成运算能力和初步的推理意识。本节课“两位数乘一位数（不连续进位）的笔算”是整数乘法笔算体系中的关键节点，上承直观操作与不进位笔算，下启连续进位及多位数乘法，是学生从具体形象思维向抽象逻辑思维跃迁的重要阶梯。其核心概念在于理解“哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几”的算理，关键技能是掌握规范、正确的笔算书写格式与计算程序。过程方法上，本节课蕴含着深刻的数学思想：从利用旧知（不进位笔算）迁移尝试，到通过学具操作或图示理解抽象的进位过程，本质上是完成一次数学“建模”——将“进位”这一动态过程固化为竖式中一个静态的书写规则。素养层面，本课是发展学生运算能力与推理意识的绝佳载体。精确的计算需要严谨、有序的思维步骤，而理解“为什么这样进位”则是对算理逻辑的演绎推理。同时，在解决真实问题的过程中，能自然渗透规划、优化的意识，体现数学的应用价值。基于“以学定教”原则，学生已熟练掌握了两位数乘一位数不进位的笔算方法，并具备表内乘法和整十数乘一位数的口算基础。其认知难点可能在于：如何将“个位乘积满十”这一新情况，与已有的不进位笔算程序进行协调与整合，即克服思维定势，主动纳入“进位”步骤。部分学生可能仅机械记忆算法，而对“进位数值”应置于何处、如何参与后续计算理解模糊，导致计算错误。为动态把握学情，教学将设计“前测性”尝试练习，暴露认知冲突；在新授过程中，通过关键性提问（如：“这个‘2’是从哪里来的？它表示什么意思？我们应该把它写在哪？”）和巡视观察，实时诊断理解程度。针对不同层次学生，教学支持策略将分层展开：为理解困难的学生提供直观的位值方块或点子图进行“分步拆解”；为多数学生搭建从尝试到归纳的思维“脚手架”；为学优生设计“错误辨析”或“简算联系”的拓展任务，满足其思维挑战的需求。二、教学目标知识目标：学生能在具体情境中，理解两位数乘一位数（不连续进位）笔算乘法的算理，特别是“个位乘积满几十，就要向十位进几”的计算规则。他们能够清晰表述计算步骤的由来，并最终掌握从个位乘起、乘积满十向前一位进位的规范、正确的笔算书写格式与计算程序。能力目标：学生能够独立、正确完成两位数乘一位数（不连续进位）的笔算，形成稳定的计算技能。他们能运用估算对笔算结果的合理性进行初步判断，并能在简单的实际问题情境中，选择并运用笔算乘法解决问题，提升信息处理与数学应用能力。情感态度与价值观目标：学生在探究算理、归纳算法的过程中，体验数学知识的内在联系与逻辑之美。通过解决实际问题，感受数学的工具性价值。在小组交流与分享中，养成认真倾听、严谨有序、敢于质疑的学习习惯和合作意识。数学思维目标：重点发展学生的迁移思维与建模思想。引导他们主动将“不进位”笔算的经验迁移至新问题，通过操作、图示将抽象的“进位”过程具象化、条理化，最终构建起包含“进位”步骤的通用笔算乘法心智模型，初步形成程序化思维。评价与元认知目标：引导学生学会用“估算验算”和“重算一遍”的方法进行简单的计算过程监控。在练习后，能依据清晰的计算步骤（如：数位对齐、顺序计算、正确进位、逐位相加）进行自我检查或同伴互评，并能够反思自己常犯的错误类型，尝试寻找原因。三、教学重点与难点教学重点是理解“满几十向前一位进几”的算理，并掌握相应的笔算乘法计算方法。其确立依据源于课标对“理解算理、掌握算法”的核心要求，以及本知识点在整数乘法笔算知识体系中的枢纽地位。它是学生能否突破原有认知结构、构建完整笔算乘法规程的关键，也是后续学习多位数乘法、小数乘法的基础，属于必须牢固掌握的“大概念”。教学难点在于正确执行进位操作，并清晰理解所进位数在下一步计算中的意义与处理方法。难点成因在于，这一过程涉及多个认知步骤的协同：学生需先完成个位乘法，识别乘积是否“满十”，将所进位的“几十”转化为一个单独的“几”（写在十位下方或记在脑中），最后在计算十位时将此“几”加进去。学生常见错误包括：忘记进位、将进位数字写在个位或错误的数位下、计算十位时漏加进位数字。预设突破方向是：强化直观操作（如小棒捆扎）与竖式书写每一步的对应关系，并用醒目的标记（如将进位数字写在竖式相应数位的左上角）辅助思维。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与课件：制作交互式课件，包含情境动画、动态演示竖式计算过程（突出进位步骤）、分层练习题。1.2教具与学具：每小组准备一套位值方块（或小棒）模型；设计并打印《学习任务单》（含尝试区、探究记录区、分层练习区）。2.学生准备2.1知识准备：复习两位数乘一位数（不进位）笔算及表内乘法。2.2学具准备：携带数学书、练习本、铅笔、尺子。3.环境布置3.1板书规划：左侧主区域用于呈现核心算理推导与算法步骤；右侧副区域用于展示学生作品或典型错例。3.2小组安排：学生按异质分组（兼顾计算能力、表达能力强弱），便于合作与互助。五、教学过程第一、导入环节1.情境激趣，引出问题：“同学们，学校‘爱心义卖会’要开始了！小明负责卖文具，一支钢笔28元。现在有3位同学都想买，小明需要快速算出：一共应收多少钱？我们一起来帮帮他吧！”（呈现情境图）“谁能列出算式？”板书：28×3。1.1唤醒旧知，制造冲突：“这个算式，我们能用以前学过的知识解决吗？请大家先估一估，大概多少钱？”（学生可能估：把28看成30，30×3=90，大约90元）“估算能帮助我们判断结果的大致范围。那要得到精确的结果，可以怎么算？”引导学生回顾口算方法（20×3=60，8×3=24，60+24=84）。“除了口算，上节课我们还学习了两位数乘一位数的——？”（学生：笔算！）“那我们能不能尝试用竖式来算算看？”抛出核心驱动问题：“个位8乘3等于24，这个‘24’在竖式里该怎么处理呢？和之前学的不进位乘法有什么不同？”1.2明确路径：“看来，我们遇到了一个新挑战：‘进位’。今天这节课，我们就化身‘精算小侦探’，一起探究如何用竖式进行需要进位的乘法计算。我们的探索路线是：先大胆尝试，再借助工具理解道理，最后总结出通用的计算方法。”第二、新授环节任务一：自主尝试，暴露原初思维教师活动：教师在课件上清晰地写出28×3的竖式框架（数位对齐）。提出明确指令：“请各位‘小侦探’独立思考，在你的《任务单》尝试区，试着写一写28×3的笔算过程。记住，把你思考的每一步都尽量展示出来。”教师巡视全场，有目的地收集几种典型写法：完全正确的；忘记进位的；进位数字写错位置的（如写在个位积的后面）。不急于评判，而是说：“老师看到了几种不同的‘破案思路’，都很有价值。”学生活动：学生根据已有知识（不进位笔算经验）进行独立尝试书写。部分学生可能直接写出正确结果，部分会感到困惑并停笔，部分可能写出错误形式。完成后，期待分享与比较。即时评价标准：1.敢于尝试：是否积极参与独立计算，无论对错都展现出思考痕迹。2.书写规范：竖式是否基本做到数位对齐、书写清晰。3.思路呈现：能否在后续交流中简单说明自己当时是怎么想的。形成知识、思维、方法清单：★认知起点诊断：学生的尝试是宝贵的教学资源，直接暴露其基于旧知的迁移情况与困惑点。▲典型错例价值：忘记进位反映程序缺失；进位写错位置反映对“进位值”所代表的数位意义不理解。★问题聚焦：从这些不同写法中，我们自然聚焦到核心争议点——“24”中的“20”（即2个十）在竖式中如何表示和处理？这是突破算理的关键。任务二：操作明理，链接算理与算法教师活动：“光看竖式有点抽象，我们请老朋友‘小棒’（或位值方块）来帮帮忙。”教师引导学生用学具表示28（2捆10根和8根单根），要求摆出3个这样的28。“现在，请同学们以小组为单位，边操作边讨论：1.一共有多少根单根的小棒？怎么处理？2.这和竖式中的哪一步对应？”教师深入小组，引导学生将24根单根小棒中的20根捆成2捆（即进位），与原有的6捆（2捆×3）放在一起。学生活动：小组成员合作，动手摆小棒。先分别摆出3份“2捆+8根”，然后聚焦于单根的8×3=24根。他们将20根单根捆成2捆（十位），剩下4根单根（个位）。直观地看到“满十进一”的过程。结合操作，讨论并尝试解释竖式中每一步的含义。即时评价标准：1.操作有序性：能否清晰、有条理地完成摆放与捆扎过程。2.对话协作：小组内能否围绕关键问题展开有效交流，互相解释。3.关联表述：能否尝试将操作步骤（“捆起来”“放过去”）与竖式书写（“写4进2”）联系起来说一说。形成知识、思维、方法清单：★核心算理可视化：“8×3=24”中的“20”，不是消失，而是以“2个十”的形式加入到十位的计算中。★“进位”的实质：进位是计数单位累积到一定数量后，向更高计数单位的转换。★操作与符号的桥梁：动手操作是理解抽象竖式的关键脚手架，实现了从具体形象到抽象符号的思维过渡。任务三：规范建模，提炼计算步骤教师活动：结合学生的操作和一份正确的尝试作品，教师在板书的竖式旁进行标准示范与讲解。“我们一起来梳理一下‘小侦探’们的发现。首先，从个位乘起：3乘8得24。”（在竖式个位下写4）“这里的4表示4个一，写在个位上。那24里的‘20’（2个十）怎么办？对，它不能丢，我们把它‘进’到十位去，记在心里，或者像老师这样，轻轻地、小小地写在十位的右下角（板书：在十位数字下方写一个小‘2’），提醒自己：这是待会要加进去的2个十。”“接下来算十位：3乘2个十得6个十，别忘了刚才进来的2个十，6个十加2个十是8个十，所以在十位写8。”完整板书后，教师引导学生齐声或分组说一遍计算过程。学生活动：学生观看教师规范板书，跟随叙述计算步骤。对照自己的尝试进行修正或确认。在教师引导下，尝试完整、清晰地口述计算过程。即时评价标准：1.观察专注度：能否跟随教师的板书与讲解，关注关键书写细节（如进位数字的位置、大小）。2.语言规范性：复述计算过程时，能否使用“从个位乘起”、“满几十向前一位进几”、“乘得的数加上进位数”等学科语言。形成知识、思维、方法清单：★算法程序固化：两位数乘一位数笔算（不连续进位）的标准程序：1.数位对齐；2.从个位乘起；3.乘到哪一位，积就写在那一位的下面；4.哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几；5.计算前一位时，要加上后一位进上来的数。★书写格式约定：进位数字通常简写为小数字，标注在需要加入的那一位的附近（如十位右下角），目的是辅助记忆，不参与当前数位的乘法运算，只参与加法运算。任务四：对比辨析，深化理解教师活动：将课前收集的典型错例（如忘记进位的竖式）呈现在课件上。“这位‘小侦探’的算法，大家看看有什么问题？”引导学生发现并指正。进一步追问：“如果忘记把这个‘2’加进去，结果会变成多少？（64）和我们估算的90左右比，差得远不远？这说明估算还能帮我们做什么？”（初判结果合理性）接着，出示24×4与28×3的竖式，提问：“观察这两个竖式，进位‘1’和进位‘2’，它们所在的数位一样吗？为什么？”引导学生理解，进位的数字写在要加进去的那个数位的旁边。学生活动：学生扮演“小法官”，指出错例中的问题并说明理由。通过对比不同算式，理解无论进的是“1”还是“2”，其本质都是表示几个“十”，都应参与十位的计算，书写位置具有一致性。即时评价标准：1.错误识别能力：能否准确找出计算中的错误步骤并归因（是忘记进位还是加错）。2.原理应用：辨析时，是否能运用刚刚归纳的算理和算法作为判断依据。3.估算意识：能否意识到估算对笔算的监控作用。形成知识、思维、方法清单：★易错点强化：“忘记加进位数”是最高频错误，需通过强化“乘加”步骤（先乘后加进位）来克服。▲估算的元认知价值：估算不仅是计算方法，更是检验笔算结果是否合理的重要策略，应养成“先估后算再比”的习惯。★概念明晰：所进之“几”，其单位是前一位（十位）的“一”，因此必须与十位原有的乘积相加。任务五：即时应用，初步内化教师活动：“经过一番探究，我们的‘精算宝典’已经初步形成。现在，请大家完成《任务单》上的‘练兵场’第一关：列竖式计算34×2和47×2。”教师巡视，重点关注计算顺序、进位书写及加法步骤。请两名学生将过程板演到黑板上。学生活动：学生独立完成两道基础笔算题。完成后，与同桌交换，按照“书写规范、计算正确、进位准确”三个要点互相检查。观察黑板上的板演，准备评议。即时评价标准：1.独立计算准确性：两道题的计算结果是否正确，过程是否完整。2.互助评价的客观性：同桌互查时，能否依据标准认真核对并指出问题。3.反思与修正：发现自己或同桌错误后，能否独立改正。形成知识、思维、方法清单：★技能初步形成：通过两道标准题型的练习，巩固从个位算起、书写进位、计算前位时不忘加进位数的完整程序。★同伴互评机制：简单的互查活动，既能即时反馈，又能促进学生以评价者的视角审视计算过程，加深对规范的理解。★信心建立点：多数学生能成功完成，获得掌握新知识的积极体验。第三、当堂巩固训练本环节设计分层、变式练习，旨在促进知识向能力的转化。基础层（全员通关）：“练兵场”第二关：竖式计算16×4,25×3,38×2。这三题涵盖了个位乘积分别进1、进2的情况，旨在巩固基本算法。完成后，课件出示答案，学生快速自批，针对错题立即订正。教师可提问：“计算25×3时，个位5×3=15，向十位进1，这个‘1’表示什么？”综合层（多数挑战）：“智勇大冲关”：解决实际问题。1.一盒彩笔18支，4盒一共多少支？2.一辆准乘48人的大巴，坐满了3辆这样的车，一共载客多少人？（需注意结果是否超过100，为后续学习埋下伏笔）。此层练习强调在情境中提取数学信息、选择算法并准确计算。完成后，组织小组内交流列式和计算结果，派代表分享。挑战层（学有余力）：“思维跳跃板”：1.判断改错：（出示如26×4=84的错误竖式过程，让学生找错并改正）。2.拓展联系：计算24×5和25×4，观察它们的积，你有什么发现？（渗透乘法交换律，但不强调名词）。此层旨在培养批判性思维和初步的数感。反馈机制：基础层采用“答案自对+个别答疑”；综合层采用“小组互议+教师抽样讲评”，重点讲如何从问题到算式；挑战层采用“全班研讨”，展示不同思维过程，教师点评提升。第四、课堂小结“同学们，今天的‘精算探秘’之旅即将结束，谁来当小老师，带着大家回顾一下，我们探索出了怎样的笔算‘宝典’？”引导学生用自己语言总结计算步骤。教师随即用课件呈现结构化思维导图进行梳理（中心：两位数乘一位数笔算（进位）；分支：算理—满十进一；算法：对齐、个位乘起、写积进位、加进位数；注意：估算验算）。元认知反思：“在今天的计算中，你觉得最容易在哪个步骤‘摔倒’？你打算用什么办法提醒自己下次不再犯同样的错误？”让学生分享个人反思，如“我容易忘记加进位数，我决定算十位时先在心中默念‘乘几再加几’”。作业布置：1.必做（基础性）：数学书对应练习题，完成5道笔算题。2.选做（拓展性）：（A）寻找生活中可用今天所学知识解决的问题，并记录下来。（B）挑战：计算123×4的思维过程，试着解释你会怎么算（不要求竖式格式，关注对“进位”思想的应用）。六、作业设计基础性作业（全体必做）：完成教材第XX页“想想做做”第1、2题。第1题为直接列竖式计算，巩固算法程序；第2题为将竖式计算补充完整，针对性强化进位书写与加法步骤。要求书写工整、步骤清晰，完成后家长签字计时。拓展性作业（建议大多数学生完成）：“家庭购物小管家”：请你参与一次家庭购物（或模拟），记录下一种商品的单价（两位数的元）和购买数量（一位数），用竖式计算出总价。例如：一箱牛奶52元，买3箱，共需多少元？将你的记录和计算过程制成一张精美的“购物计算单”。探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：“数字谜题设计师”：请你设计一道两位数乘一位数的笔算题，要求：（1）计算过程中必须有一次进位。（2）得数要小于100。然后，将你的题目交换给另一位选做的同学完成，并互相批改、点评。你还可以尝试解释，为什么你设计的题目一定会进位？七、本节知识清单及拓展★1.核心概念：笔算乘法中的“进位”：当用一位数去乘两位数的某一位时，乘得的积表示多少个该数位的计数单位。如果数量达到或超过10个该单位，就需要将其转换为更高一级的计数单位，这个过程称为“进位”。例如，个位乘得24，表示24个“一”，其中20个“一”可转换为2个“十”，需进到十位。★2.关键技能：两位数乘一位数（不连续进位）笔算算法程序：这是一个四步程序化操作：①数位对齐：将两位数与一位数上下对齐，通常两位数在上；②从个位乘起：用一位数依次去乘两位数的个位、十位；③处理本位积：乘到哪一位，就把积的个位写在那一位的下面；④处理进位：若本位积满几十，就向前一位进几，并在计算前一位时务必加上这个进位数。▲3.易错点警示：忘记加进位数：这是最高频错误。算理不清和思维定势（只乘不加）是主因。突破策略：在竖式中将进位数字清晰标记；计算前一位时，心中或口头复述“先乘后加”的指令，如“二三得六，六加二得八”。★4.算理直观化工具：小棒或方块模型：用2捆（每捆10根）和8根单根小棒表示28，摆出3份。将3份单根小棒合起来（24根），其中的20根捆成2捆（即进位2个十），与原有的6捆放在一起。此操作直观对应竖式中“个位写4，向十位进2”的过程。★5.数学思想方法：迁移与建模：利用已经掌握的不进位笔算方法（旧知）作为起点，尝试解决新问题（进位），这是学习的正向迁移。通过操作、比较、归纳，将“进位”这一特定规则抽象并固化到原有的笔算程序中，形成新的、更一般的计算模型，体现了数学建模思想。▲6.辅助策略：估算的价值：在笔算前先进行估算（如28×3≈30×3=90），可以对笔算结果的合理性做出快速预判。若笔算结果（如64）与估算值（90）相差甚远，则提示计算过程可能存在错误（如忘记进位），估算在此发挥了重要的元认知监控作用。★7.书写格式规范：竖式中，通常将进位数字写成小一号的数字，标注在需要加入的那一列数字的右下角或上方（如十位的右下角）。这是一种约定俗成的“记忆符号”，其目的是防止遗忘，本身不参与当前数位的乘法，只参与随后的加法。▲8.与后续知识的联系：本节课的“满十进一”思想是后续学习多位数乘一位数（连续进位）、两位数乘两位数乃至小数乘法的基础。理解“哪一位满几十就向前一位进几”的通用规则，是构建完整乘法运算体系的核心。八、教学反思(一)目标达成度评估本节课预设的知识与技能目标达成度较高。通过课堂观察和随堂练习反馈，约85%的学生能独立、规范地完成不连续进位的笔算。学生在解释“为什么进位”、“进位数字表示什么”时，能用“几个十”来表述，表明算理理解基本到位。能力目标中，计算技能得到初步形成，但在“估算验算”习惯的自觉应用上，仅部分学生能在教师提醒下进行，需在后续课程中持续强化。情感与思维目标在小组操作和探究环节表现突出，学生表现出较强的兴趣和协作意愿，迁移与建模的思想在教师的引导下得以初步体验。(二)核心环节有效性分析“任务二：操作明理”与“任务三：规范建模”两个环节的衔接是突破重难点的关键。从实际效果看，学具操作确实有效弥合了认知跨度，让抽象的“进2”变成了可视的“捆2捆”。但在巡视中，我发现个别小组在操作后，未能主动、清晰地将操作动作与竖式符号关联起来，停留在“好玩”层面。这提示我，在操作活动前，应出示更明确的“操作记录”对照表，或要求学生边操作边在草稿纸上记录对应的竖式步骤，强化两者之间的对应性思考。另外，“任务四：对比辨析”中，对错