2026年应用统计试题及答案

2026年应用统计试题及答案1.（单选）某市公交集团想了解早晚高峰时段乘客等待时间的分布，随机抽取了120个站点，记录早高峰7:00—9:00的等车时间（单位：分钟），样本均值8.7，样本标准差3.2。若假设总体服从正态分布，则总体均值μ的95%置信区间为A.(8.12,9.48)B.(8.23,9.17)C.(8.31,9.09)D.(8.41,8.99)答案：C解析：n=120>30，总体方差未知，用t分布。自由度df=119，t0.025≈1.98。标准误SE=3.2/√120≈0.292。区间：8.7±1.98×0.292≈(8.31,9.09)。2.（单选）在建立Logistic回归预测客户是否流失时，若某连续型自变量X的系数估计为0.82，其稳健标准误为0.15，则该变量在5%水平下的显著性结论与对应的OddsRatio分别为A.不显著；2.27B.显著；2.27C.显著；1.82D.不显著；1.82答案：B解析：z=0.82/0.15≈5.47>1.96，显著；OR=e^0.82≈2.27。3.（单选）某电商对促销效果做A/B测试，控制组10000人，转化220人；实验组10000人，转化260人。若用正态近似法检验两总体转化率是否相等，则检验统计量z的绝对值最接近A.1.64B.1.96C.2.15D.2.58答案：C解析：p̂1=0.022，p̂2=0.026，合并p̂=0.024。SE=√[0.024×0.976×(1/10000+1/10000)]≈0.00194。z=(0.026−0.022)/0.00194≈2.15。4.（单选）对某时间序列{Xt}建立ARIMA(1,1,1)模型，估计得φ1=0.58，θ1=−0.36，若已知Xt−1=102.3，Xt=104.1，εt−1=1.2，则εt的估计值为A.0.74B.0.88C.1.02D.1.16答案：A解析：差分后wt=Xt−Xt−1=1.8。模型wt=φ1wt−1+εt+θ1εt−1，令wt−1=Xt−1−Xt−2未知，但εt=wt−φ1wt−1−θ1εt−1。用wt−1的估计值wt−1≈εt−1+φ1wt−2+θ1εt−2，递推近似取wt−1≈1.2，则εt≈1.8−0.58×1.2−(−0.36)×1.2≈0.74。5.（单选）在多重线性回归中，若某自变量VIF=8.5，则其对应的容忍度（Tolerance）为A.0.118B.0.125C.0.135D.0.885答案：A解析：Tolerance=1/VIF=1/8.5≈0.118。6.（单选）设X~Exp(λ)，Y~Exp(μ)独立，则P(X<Y)=A.λ/(λ+μ)B.μ/(λ+μ)C.λμ/(λ+μ)²D.1−e^{−λμ}答案：A解析：P(X<Y)=∫0∞λe^{−λx}e^{−μx}dx=λ/(λ+μ)。7.（单选）对同一总体采用不放回简单随机抽样，样本量n=50，总体量N=500，则样本均值的方差与放回抽样相比的修正因子为A.0.90B.0.95C.0.98D.1.00答案：A解析：有限总体修正fpc=(N−n)/(N−1)≈450/499≈0.90。8.（单选）某研究用Bootstrap2000次重抽样估计中位数的标准误，原始样本中位数为12.4，2000个Bootstrap中位数的标准差为1.36，则其95%Bootstrap百分位置信区间最接近于A.(10.1,14.9)B.(10.3,14.7)C.(10.5,14.5)D.(10.7,14.3)答案：B解析：百分位区间取2.5%与97.5%分位，对称近似12.4±1.96×1.36≈(9.7,15.1)，但Bootstrap分布略偏，实际模拟得(10.3,14.7)。9.（单选）若随机变量X的矩母函数MX(t)=(1−βt)^{−α}，t<1/β，则E(X²)=A.αβB.αβ²C.α(α+1)β²D.α²β²答案：C解析：Gamma(α,β)的MGF，E(X)=αβ，Var(X)=αβ²，故E(X²)=Var+(E)²=αβ²+α²β²=α(α+1)β²。10.（单选）在贝叶斯估计中，若样本X1,…,Xn~N(μ,1)，先验μ~N(0,1)，则后验均值为A.nX̄/(n+1)B.X̄C.(nX̄+1)/(n+1)D.0答案：A解析：共轭正态，后验均值=(n/σ²)/(n/σ²+1/τ²)X̄=n/(n+1)X̄。11.（单选）对高维数据p=2000，n=100，采用Lasso回归，若调优参数λ增大，则A.训练RSS单调减，非零系数个数单调增B.训练RSS单调增，非零系数个数单调减C.训练RSS单调减，非零系数个数单调减D.训练RSS单调增，非零系数个数单调增答案：B解析：λ增大，惩罚加重，系数被压缩至零，模型变简单，训练RSS上升，非零个数下降。12.（单选）设X1,…,Xni.i.d.来自U(0,θ)，记X(n)=maxXi，则E[X(n)]=A.θB.nθ/(n+1)C.θ/nD.θ/(n+1)答案：B解析：次序统计量密度f(x)=nx^{n−1}/θ^n，0<x<θ，积分得E=nθ/(n+1)。13.（单选）对某计数数据建立Poisson回归，若发现残差偏离且过度离散，下一步合理做法是A.直接改用负二项回归B.增加二次项C.采用Robust标准误D.删除异常点答案：A解析：Poisson的均值方差相等，过度离散用负二项更合理。14.（单选）在随机森林中，关于Out-of-Bag误差的描述正确的是A.需额外划分验证集计算B.随树数增加而单调增C.是对测试误差的无偏估计D.仅适用于分类问题答案：C解析：OOB无需额外数据，随树数增加趋于稳定，是测试误差的无偏估计，可用于回归与分类。15.（单选）若X~N(0,1)，Y~N(0,1)独立，则Z=X/Y服从A.标准正态B.自由度1的t分布C.柯西分布D.卡方分布答案：C解析：两独立标准正态之比为柯西。16.（单选）对某数据集采用K-means聚类，若K=3，初始中心随机，算法收敛后目标函数值（组内平方和）为384.7，若再运行一次随机初值得到412.5，则A.第一次结果更优，因其目标值小B.第二次结果更优，因其目标值大C.两次结果一样，因K相同D.无法比较，因初值随机答案：A解析：K-means目标越小，组内越紧密，第一次更优。17.（单选）若在线性回归y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)中，设计矩阵X列满秩，则β的OLS估计量β̂的协方差矩阵为A.σ²(X'X)^{−1}B.σ²X'XC.σ²ID.(X'X)^{−1}答案：A解析：经典公式Cov(β̂)=σ²(X'X)^{−1}。18.（单选）对同一数据分别建立单变量线性回归y~x1与多元回归y~x1+x2，若x1与x2高度相关，则A.两模型中x1的估计系数一定同号B.多元模型x1系数标准误更大C.多元模型x1系数标准误更小D.单变量模型R²一定更高答案：B解析：多重共线使标准误膨胀。19.（单选）设X1,…,Xn为来自f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0的样本，则θ的极大似然估计为A.−n/∑lnXiB.n/∑lnXiC.∑lnXi/nD.1/X̄答案：B解析：对数似然l(θ)=nlnθ+(θ−1)∑lnXi，令导数为零得θ̂=−n/∑lnXi，注意lnXi<0。20.（单选）若某统计量T为参数θ的充分统计量，则A.T必为完备统计量B.似然函数可分解为g(T,θ)h(x)C.T的分布不依赖θD.T是θ的无偏估计答案：B解析：因子分解定理。21.（填空）在控制图应用中，若过程标准差σ=2，样本量n=4，则X̄图的上控制限UCL=μ0+____×σ/√n。（保留两位小数）答案：3.00解析：3σ控制限，系数3。22.（填空）对某二分类问题，采用Logistic回归，若截距项估计为−1.25，则当所有自变量取0时，事件发生的概率为____。（保留三位小数）答案：0.222解析：p=1/(1+e^{1.25})≈0.222。23.（填空）若随机变量X的密度f(x)=2x,0<x<1，则其累积分布函数F(x)=____，0<x<1。答案：x²解析：积分∫0x2tdt=x²。24.（填空）对某时间序列建立ARIMA(0,1,1)模型，估计MA(1)系数为−0.42，则该模型的可逆性条件满足吗？答：____（填“满足”或“不满足”）答案：满足解析：|θ|<1。25.（填空）在贝叶斯假设检验中，若先验odds为1:2，贝叶斯因子BF10=4.5，则后验odds为____。（保留两位小数）答案：2.25解析：后验odds=先验odds×BF=0.5×4.5=2.25。26.（填空）若X~Bin(20,0.3)，则P(X=5)=____。（保留四位小数）答案：0.1789解析：C(20,5)0.3^50.7^15≈0.1789。27.（填空）在线性回归中，若决定系数R²=0.64，则调整R²与R²的大小关系为____（填“>”、“=”或“<”）答案：<解析：调整R²≤R²。28.（填空）对某总体做不放回抽样，N=1000，n=100，样本比例p̂=0.18，则其标准误为____。（保留四位小数）答案：0.0128解析：SE=√[p(1−p)/n×(N−n)/(N−1)]=√[0.18×0.82/100×900/999]≈0.0128。29.（填空）若Kolmogorov-Smirnov检验统计量D=0.21，样本量n=80，则在0.05水平下临界值约为1.36/√n=____。（保留三位小数）答案：0.152解析：1.36/√80≈0.152，0.21>0.152，拒绝。30.（填空）在PCA中，若协方差矩阵的特征值为6.2,1.5,0.3，则第一主成分的方差贡献率为____%。（保留一位小数）答案：77.5解析：6.2/(6.2+1.5+0.3)=6.2/8=77.5%。31.（计算与证明）设X1,…,Xn独立同分布，服从位置参数为μ的拉普拉斯分布，密度f(x;μ)=1/2e^{−|x−μ|}。(1)求μ的极大似然估计μ̂；(2)证明μ̂为样本中位数；(3)讨论μ̂的渐近分布。答案与解析：(1)似然函数L(μ)=∏1/2e^{−|xi−μ|}，对数似然l(μ)=−nln2−∑|xi−μ|。最小化∑|xi−μ|，得μ̂=median(Xi)。(2)对任意μ，目标函数∑|xi−μ|在μ取样本中位数时达到最小，故μ̂=median。(3)由次序统计量理论，median渐近正态，√n(μ̂−μ)→N(0,1/[4f(μ)²])，而f(μ)=1/2，故渐近方差=1。32.（综合建模）某共享单车企业收集2025年7月连续31天的数据，变量包括：y：日订单量（万单）x1：平均气温（℃）x2：降雨毫米x3：周末dummy（1=周末/假日）x4：地铁故障次数x5：当日新增注册（千人）已建立Poisson回归，结果如下（部分）：EstimateSEzvalue(Intercept)2.1040.0826.3x10.0310.0047.75x2−0.0210.003−7.0x30.1850.0257.4x4−0.0820.018−4.56x50.0090.0019.0Dispersionparameter:1.0(1)解释x1系数的实际含义；(2)若明日预测：x1=30℃，x2=0，x3=1，x4=0，x5=5，计算期望订单量；(3)发现残差偏离且离散参数=3.7，应如何改进模型并给出新模型公式；(4)简述检验过度离散的方法与步骤。答案与解析：(1)控制其他变量，气温每升高1℃，订单量对数期望增加0.031，即订单量乘以e^{0.031}≈1.031，增加3.1%。(2)η=2.104+0.031×30−0+0.185×1−0+0.009×5=2.104+0.93+0.185+0.045=3.264，期望订单量e^{3.264}≈26.2万单。(3)离散参数3.7>1，过度离散，改用负二项回归：log(μ)=β0+β1x1+…+β5x5，散度参数k待估。(4)步骤：a.拟合Poisson模型，得残差偏差D，df=残差自由度；b.计算D/df，若>>1，提示过度离散；c.做Z=√D−df近似或Lagrange乘子检验，p值小则拒绝等离散假设；d.采用负二项或稳健标准误。33.（实验设计）某软件公司欲评估新推荐算法对用户停留时长（分钟）的影响。现有活跃用户池100万人，计划随机抽取1%用户进行实验，其中一半使用新算法（实验组），一半使用旧算法（控制组）。(1)写出零假设与备择假设；(2)若预期实验组平均提升1.2分钟，合并标准差为6分钟，要求在α=0.05，power=0.8下，样本量是否足够？(3)若实际提升仅0.8分钟，power将如何变化？(4)简述多重检验问题及控制方法。答案与解析：(1)H0:μE−μC≤0，H1:μE−μC>0（单侧）。(2)n=10000×0.5=5000每组。效应d=1.2/6=0.2，单侧Zα=1.645，Zβ=0.84，需n=(Zα+Zβ)²×2/d²≈(2.485)²×2/0.04≈309，远小于5000，足够。(3)效应降至0.8，d=0.133，所需n≈(2.485)²×2/0.0178≈693，仍小于5000，但power曲线下降，实际power≈Φ(√(5000×0.133²/2)−1.645)≈Φ(3.32−1.645)=0.995，仍高。(4)若同时测试K指标，假阳率上升。可用Bonferroni校正、FDR控制（Benjamini-Hochberg）。34.（时间序列）某零售链2018—2025年周销售数据呈现明显季节峰（第52周为圣诞）。建立SARIMA模型，经差分与季节差分后，acf与pacf显示：在lag=1处pacf截尾，acf拖尾；在seasonallag=52处acf单峰后截尾。(1)写出候选SARIMA阶数；(2)若拟合SARIMA(1,0,0)(0,1,1)₅₂，给出模型方程；(3)解释(1−ΘL⁵²)项的经济含义；(4)如何进行滚动预测并评估精度。答案与解析：(1)SARIMA(1,0,0)(0,1,1)₅₂或(1,0,0)(1,1,1)₅₂。(2)(1−φL)(1−L⁵²)Yt=(1−ΘL⁵²)εt。(3)消除年度季节效应，捕捉圣诞冲击的短期记忆。(4)采用滚动窗口，逐周更新参数，计算MAPE与RMSE，做Diebold-Mariano检验比较基准。35.（高维统计）设X为n×p矩阵，行中心化，p>>n，考虑岭回归β̂=(X'X+λI)^{−1}X'y。(1)证明β̂可表示为X'SVD的函数；(2)若λ→∞，β̂的极限为何？(3)简述选择λ的GCV原理；(4)比较岭回归与Lasso在变量选择上的差异。答案与解析：(1)设X=UDV'，则β̂=V(D²+λI)^{−1}DU'y。(2)λ→∞，(D²+λI)^{−1}≈1/λI，β̂→0。(3)GCV=RSS/(n−df)²，df=∑dii²/(dii²+λ)，选λ使GCV最小。(4)岭回归收缩但系数不全零，Lasso可做稀疏选择。36.（案例分析）某市疾控中心研究PM2.5对呼吸系统门诊量影响，收集2019—2025年日数据，变量：y：门诊量（人）pm：PM2.5（μg/m³）temp：气温rh：相对湿度time：时间趋势dow：星期dummy发现pm效应存在滞后，采用分布滞后模型DLNM。(1)写出DLNM基本方程；(2)解释“交叉基”含义；(3)如何可视化累积效应；(4)若发现效应在lag0—3天显著，如何计算累计超额门诊量；(5)简述处理过度离散与零膨胀的策略。答案与解析：(1)logE(yt)=α+∑lag=0Lβlagf(pm_{t−lag})+其他协变量。(2)交叉基同时描述暴露-滞后-反应面，用基函数张成二维空间。(3)绘制三维或等高线图，或给出lag-wise与cumulative曲线。(4)取pm增加10μg/m³，计算∑lag=0³(e^{βlag×10}−1)×基准门诊量。(5)负二项或零膨胀Poisson/负二项，用Vuong检验选模。37.（编程实现）用R语言完成以下任务：数据框df含y（连续）、x1-x5。要求：a.标准化自变量；b.用glmnet做弹性网回归，α=0.5，λ由十折CV选择；c.输出非零系数及其估计；d.计算训练集RMSE。给出完整代码。答案：```rlibrary(glmnet)X<scale(df[,paste0("x",1:5)])