2026年线性代数矩阵逆的公式应用考核试题及答案

2026年线性代数矩阵逆的公式应用考核试题及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026年线性代数矩阵逆的公式应用考核试题考核对象：高等院校理工科专业学生题型分值分布：-单选题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（3题，每题4分，共12分）-应用题（2题，每题9分，共18分）总分：100分一、单选题（每题2分，共20分）1.若矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于（）A.2B.4C.8D.162.下列哪个矩阵是可逆的？A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)3.若矩阵A可逆，且B为与A同阶的矩阵，则矩阵AB的逆矩阵为（）A.A^-1B^-1B.B^-1A^-1C.AB^-1D.A^-1B4.矩阵\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-1.5&0.5\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-1&2\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-1.5&0.5\end{pmatrix}\)5.若矩阵A的秩为2，且A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为（）A.0B.1C.2D.36.若矩阵A和B都可逆，则矩阵\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)的逆矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}A^-1&0\\0&B^-1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&A\\B&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&A^-1\\B^-1&0\end{pmatrix}\)7.若矩阵A的逆矩阵为A^-1=\(\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\)，则矩阵A的行列式|A|等于（）A.1B.-1C.2D.-28.若矩阵A和B的逆矩阵分别为A^-1和B^-1，则矩阵AB的逆矩阵为（）A.A^-1B^-1B.B^-1A^-1C.AB^-1D.A^-1B9.若矩阵A为n阶方阵，且|A|=5，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于（）A.5B.5^(n-1)C.5^nD.5^(n+1)10.若矩阵A为2阶方阵，且A^-1=\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，则矩阵A的行列式|A|等于（）A.a+dB.ad-bcC.a-bD.c+d二、填空题（每题2分，共20分）1.若矩阵A=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则A的伴随矩阵A为__________。2.若矩阵A可逆，且A^-1=\(\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\)，则|A|__________。3.若矩阵A=\(\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\)，则A的逆矩阵A^-1为__________。4.若矩阵A的秩为3，且A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为__________。5.若矩阵A和B都可逆，则矩阵\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)的行列式|AB|等于__________。6.若矩阵A的逆矩阵为A^-1=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则矩阵A的行列式|A|等于__________。7.若矩阵A=\(\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，则A的伴随矩阵A为__________。8.若矩阵A和B的逆矩阵分别为A^-1和B^-1，则矩阵AB的逆矩阵为__________。9.若矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于__________。10.若矩阵A为2阶方阵，且A^-1=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则矩阵A的行列式|A|等于__________。三、判断题（每题2分，共20分）1.若矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A也可逆。（）2.若矩阵A和B的逆矩阵分别为A^-1和B^-1，则矩阵AB的逆矩阵为A^-1B^-1。（）3.若矩阵A的秩为n-1，则矩阵A不可逆。（）4.若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|不为0。（）5.若矩阵A和B都可逆，则矩阵\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)也可逆。（）6.若矩阵A的逆矩阵为A^-1，则矩阵A的伴随矩阵A等于|A|A^-1。（）7.若矩阵A为2阶方阵，且A^-1=\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，则|A|=ad-bc。（）8.若矩阵A和B的逆矩阵分别为A^-1和B^-1，则矩阵BA的逆矩阵为B^-1A^-1。（）9.若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|也为0。（）10.若矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A也可逆，且|A|=|A|^(n-1)。（）四、简答题（每题4分，共12分）1.简述矩阵A可逆的充要条件。2.简述矩阵A的伴随矩阵A的性质。3.简述矩阵\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)的逆矩阵的计算方法。五、应用题（每题9分，共18分）1.已知矩阵A=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求矩阵A的逆矩阵A^-1，并验证结果。2.已知矩阵A=\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，求矩阵A的伴随矩阵A，并计算|A|。标准答案及解析---一、单选题1.B解析：伴随矩阵A的行列式|A|=|A|^(n-1)=2^(3-1)=4。2.B解析：矩阵可逆的条件是行列式不为0，B的行列式为9≠0，其他矩阵行列式为0或相等。3.B解析：矩阵乘法逆矩阵的性质，(AB)^-1=B^-1A^-1。4.A解析：逆矩阵公式A^-1=\(\frac{1}{|A|}\)adj(A)，计算得A^-1=\(\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)。5.C解析：伴随矩阵A的秩为n-1，n=2时秩为1。6.B解析：分块对角矩阵的逆矩阵为对角分块逆矩阵，即\(\begin{pmatrix}A^-1&0\\0&B^-1\end{pmatrix}\)。7.A解析：|A|=|A^-1|=1。8.A解析：矩阵乘法逆矩阵的性质，(AB)^-1=B^-1A^-1。9.B解析：伴随矩阵A的行列式|A|=|A|^(n-1)=5^(3-1)=5^2=25。10.B解析：|A|=ad-bc，由A^-1=\(\frac{1}{|A|}\)adj(A)得|A|=ad-bc。---二、填空题1.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)解析：伴随矩阵A为代数余子式矩阵的转置，即\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。2.1解析：|A|=|A^-1|=1。3.\(\begin{pmatrix}0.5&0\\0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)解析：对角矩阵逆矩阵为对角元素倒数，即\(\begin{pmatrix}0.5&0\\0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)。4.2解析：伴随矩阵A的秩为n-1，n=3时秩为2。5.|A||B|解析：分块对角矩阵行列式为对角块行列式乘积。6.-2解析：|A|=|A^-1|=1，由|A|=ad-bc=-2。7.\(\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)解析：伴随矩阵A为代数余子式矩阵的转置，即\(\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)。8.A^-1B^-1解析：矩阵乘法逆矩阵的性质，(AB)^-1=B^-1A^-1。9.9解析：伴随矩阵A的行列式|A|=|A|^(n-1)=3^(3-1)=9。10.-2解析：|A|=|A^-1|=1，由|A|=ad-bc=-2。---三、判断题1.√解析：可逆矩阵的伴随矩阵也可逆。2.√解析：矩阵乘法逆矩阵的性质，(AB)^-1=B^-1A^-1。3.×解析：秩为n-1时，矩阵可逆当且仅当行列式不为0。4.√解析：可逆矩阵的行列式不为0。5.√解析：分块对角矩阵可逆当且仅当对角块可逆。6.√解析：伴随矩阵A等于|A|A^-1。7.√解析：|A|=ad-bc，由A^-1=\(\frac{1}{|A|}\)adj(A)得|A|=ad-bc。8.√解析：矩阵乘法逆矩阵的性质，(BA)^-1=A^-1B^-1。9.√解析：伴随矩阵A的行列式|A|=|A|^(n-1)，|A|=0时|A|=0。10.√解析：伴随矩阵A的行列式|A|=|A|^(n-1)。---四、简答题1.矩阵A可逆的充要条件是：-行列式|A|≠0；-A的秩为n（满秩）；-A的行（列）向量组线性无关；-A可表示为初等矩阵的乘积。2.矩阵A的伴随矩阵A的性质：-|A|=|A|^(n-1)；-AA=(|A|I)；-A的秩为1或n（n>1时为1）；-A^-1=\(\frac{1}{|A|}\)A。3.矩阵\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}\)的逆矩阵计算方法：-逆矩阵为\(\begin{pmatrix}A^-1&0\\0&B^-1\end{pmatrix}\)；-需要A和B都可逆。---五、应用题1.已知矩阵A=\(\begin{pmatrix}1&2\\