2025 年大学数学（概率论与数理统计）期中测试卷

2025年大学数学（概率论与数理统计）期中测试卷

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填在括号内）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知P(X=1)=P(X=2)，则λ的值为（）A.1B.2C.3D.42.设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有（）A.F(-a)=1-∫₀ᵃf(x)dxB.F(-a)=1/2-∫₀ᵃf(x)dxC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-13.已知随机变量X和Y相互独立，且它们的分布函数分别为Fₓ(x)和Fᵧ(y)，则Z=max(X,Y)的分布函数为（）A.Fₓ(z)Fᵧ(z)B.Fₓ(z)+Fᵧ(z)-Fₓ(z)Fᵧ(z)C.1-(1-Fₓ(z))(1-Fᵧ(z))D.min(Fₓ(z),Fᵧ(z))4.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则X的边缘概率密度fₓ(x)为（）A.∫₋∞⁺∞f(x,y)dyB.∫₋∞⁺∞f(x,y)dxC.∫₀⁺∞f(x,y)dyD.∫₀⁺∞f(x,y)dx5.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则随着σ的增大，概率P(|X-μ|<σ)（）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定6.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，样本均值为X̅，样本方差为S²，则下列结论正确的是（）A.(n-1)S²/σ²服从自由度为n-1的χ²分布B.n(X̅-μ)/S服从自由度为n-1的t分布C.(X̅-μ)/(S/√n)服从标准正态分布N(0,1)D.X̅与S²相互独立7.设总体X的均值为μ，方差为σ²，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，样本均值为X̅，则μ的无偏估计量是（）A.X̅B.(X₁+X₂)/2C.X₁D.(X₁-X₂)/28.设A,B为两个随机事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（）A.若A,B互斥，则A,B一定相互独立B.若A,B相互独立，则A,B一定互斥C.若A,B互斥，则P(A|B)=0D.若A,B相互独立，则P(A|B)=P(A)9.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X=a)=（）A.F(a)B.F(a⁺)-F(a)C.F(a)-F(a⁻)D.010.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则θ的矩估计量为（）A.2X̅B.X̅C.max(X₁,X₂,…,Xₙ)D.min(X₁,X₂,…,Xₙ)二、多项选择题（总共5题，每题4分，每题至少有两个正确答案，请将正确答案填在括号内）1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则下列说法正确的是（）A.正态曲线关于直线x=μ对称B.当σ固定时，μ越大，曲线越“瘦高”C.当μ固定时，σ越大，曲线越“矮胖”D.P(X<μ)=0.52.设随机变量X的概率密度为f(x)，则（）A.∫₋∞⁺∞f(x)dx=1B.f(x)≥0C.P(a<X<b)=∫ₐᵇf(x)dxD.f(x)是连续函数3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则（）A.F(-∞,y)=0B.F(x,-∞)=0C.F(+∞,+∞)=1D.F(x,y)是关于x和y的不减函数4.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，样本均值为X̅，样本方差为S²，则下列统计量服从标准正态分布的是（）A.(X̅-μ)/(σ/√n)B.(n-1)S²/σ²C.(X₁-μ)/(σ/√n)D.(X̅-μ)/(S/√n)5.设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A∪B)=0.6，则（）A.P(AB)=0.1B.A与B互斥C.A与B相互独立D.P(A|B)=1/3三、判断题（总共10题，每题2分，请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”）1.若随机变量X的分布函数F(x)连续，则X一定是连续型随机变量。（）2.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P(X>s+t|X>s)=P(X>t)。（）3.若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)=fₓ(x)fᵧ(y)，则X与Y相互独立。（）4.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则样本均值X̅与样本方差S²相互独立。（）5.若随机变量X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。（）6.设随机变量X的概率密度为f(x)，则E(X²)=∫₋∞⁺∞x²f(x)dx。（）7.设总体X服从均匀分布U(0,1)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则样本均值X̅的方差为1/n²。（）8.若随机事件A与B互斥，则P(A|B)=0。（）9.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(|X-μ|<2σ)>0.95。（）10.若总体X的均值为μ，方差为σ²，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则样本方差S²是σ²的无偏估计量。（）四、简答题（总共3题，每题10分，请简要回答下列问题）1.简述正态分布的性质。2.说明矩估计法的基本思想。3.简述随机变量独立性的定义及判断方法。五、计算题（总共2题，每题15分，请写出详细的计算过程）1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={6xy,0<x<1,0<y<1-x;0,其他}，求：（1）X的边缘概率密度fₓ(x)；（2）P(X+Y<1)。2.设总体X服从正态分布N(μ,4)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，样本均值为X̅。（1）已知n=16，求P(|X̅-μ|<1)；（2）要使P(|X̅-μ|<1)≥0.95，问样本容量n至少应取多大？答案：一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.A7.A8.CD9.C10.A二、多项选择题1.ACD2.ABC3.ABCD4.AC5.AD三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.×四、简答题1.正态分布的性质：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）当σ固定时，μ越大，曲线越向右平移，当μ固定时，σ越大，曲线越“矮胖”；（3）P(|X-μ|<σ)≈0.6826，P(|X-μ|<2σ)≈0.9544，P(|X-μ|<3σ)≈0.9974等。2.矩估计法的基本思想：用样本矩来估计总体矩。设总体X的分布函数中含有未知参数θ₁,θ₂,…,θₖ，首先求出总体的k阶原点矩E(Xᵏ)，它是θ₁,θ₂,…,θₖ的函数。然后用样本的k阶原点矩Aₖ=(1/n)∑ᵢ₌₁ⁿXᵢᵏ来代替总体的k阶原点矩E(Xᵏ)，得到关于θ₁,θ₂,…,θₖ的方程组，解方程组得到未知参数的矩估计量。3.随机变量独立性的定义：设X和Y是两个随机变量，若对于任意实数x,y，有P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)，则称随机变量X与Y相互独立。判断方法：（1）若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)=fₓ(x)fᵧ(y)，则X与Y相互独立；（2）若随机变量X与Y的取值范围互不影响，也可判断它们相互独立。五、计算题1.（1）当0<x<1时，fₓ(x)=∫₀¹⁻ˣ6xydy=3x(1-x)²；当x≤0或x≥1时，fₓ(x)=0。所以fₓ(x)={3x(1-x)²,0<x<1;0,其他}。（2）P(X+Y<1)=∫₀¹dx∫₀¹⁻ˣ6xydy=1/4。2.（1）因为X̅~N(μ,4/16)，即X̅~N(μ,1/4)，则(X̅-μ)/(1/2)~N(0,1)。P(|X̅-μ|<1)=P(-1<X̅-μ<1)=P