2025 年大学数学（高等数学）上学期期末测试卷

2025年大学数学（高等数学）上学期期末测试卷

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题4分，每题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处（）A.有定义B.极限存在C.连续D.以上都不对2.设函数$y=f(u)$，$u=g(x)$都可导，则复合函数$y=f(g(x))$的导数为（）A.$f^\prime(g(x))$B.$f^\prime(u)g^\prime(x)$C.$f^\prime(g(x))g^\prime(x)$D.$f^\prime(u)$3.已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$，则在$(a,b)$内（）A.至少存在一个零点B.至多存在一个零点C.没有零点D.有且仅有一个零点4.曲线$y=x^3-3x^2+1$的拐点是（）A.$(0,1)$B.$(1,-1)$C.$(2,-3)$D.$(3,1)$5.设$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$，则$F^\prime(x)$等于（）A.$f(x)$B.$f(x)-f(a)$C.$f(x)+f(a)$D.06.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，则$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}$等于（）A.0B.1C.2D.47.函数$f(x)=\ln(1+x^2)$的单调递增区间是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.不存在8.设向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于（）A.$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$B.$x_1y_2+x_2y_1$C.$x_1z_2+x_2z_1$D.$y_1z_2+y_2z_1$9.已知函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$等于（）A.$f(0)$B.$f^\prime(0)$C.0D.不存在10.曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程是（）A.$y=x+1$B.$y=-x+1$C.$y=x-1$D.$y=-x-1$二、填空题（总共5题，每题4分）1.函数$y=\sqrt{x+1}$的定义域是______。2.已知$f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\2x,x>0\end{cases}$，则$f(0)=$______。3.若函数$f(x)$在$x=a$处可导，则$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=$______。4.设函数$f(x)$的一个原函数是$F(x)$，则$\intf(x)dx=$______。5.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,1,0)$，则$\vec{a}\times\vec{b}=$______。三、判断题（总共5题，每题3分，正确的打“√”，错误的打“×”)1.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增，则$f^\prime(x)>0$在$(a,b)$内恒成立。（）2.函数$y=\frac{1}{x}$在其定义域内是连续的。（）3.若$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒为零。（）4.两个向量的数量积是一个向量。（）5.函数$y=\sinx$的导数是$y^\prime=\cosx$。（）四、简答题（总共3题，每题10分）1.求函数$f(x)=x^3-3x^2-９x+5$的单调区间和极值。2.计算定积分$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx$。3.已知向量$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec{b}=(0,1,1)$，求向量$\vec{c}$，使得$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$。五、证明题（总共1题，10分）证明：若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f^\prime(\xi)=0$。答案：一、选择题1.D2.C3.A4.B5.A6.B7.A8.A9.B10.A二、填空题1.$[-1,+\infty)$2.13.$f^\prime(a)$4.$F(x)+C$5.$(-3,6,-1)$三、判断题1.×2.×3.×4.×5.√四、简答题1.解：$f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=3$或$x=-1$。当$x<-1$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$-1<x<3$时，$f^\prime(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x>3$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增。所以极大值为$f(-1)=10$，极小值为$f(3)=-22$。2.解：$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$。3.解：因为$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，所以$\vec{c}=-\vec{a}-\vec{b}=-(1,1,0)-(0,1,1)=(-1,-2,-1)$。五、证明题证明：由罗尔定理可知，因为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a