2026年数学建模与问题解决题

2026年数学建模与问题解决题一、问题描述（2题，每题20分，共40分）1.城市交通拥堵优化问题背景：某沿海城市A市近年来交通拥堵问题日益严重，尤其在早晚高峰时段。为缓解拥堵，市政府计划通过优化信号灯配时、引导潮汐车道使用、增设智能停车诱导系统等措施改善交通效率。目前，A市核心区域有12个主要路口，日均车流量达10万辆次。交通管理部门收集了近三个月的数据，包括各路口车流量、平均等待时间、道路容量等。问题：（1）建立数学模型，分析各路口车流量与信号灯配时、潮汐车道使用率之间的关系；（2）设计一个优化方案，通过调整信号灯周期和绿信比，结合潮汐车道动态分配策略，使核心区域整体平均等待时间减少20%，并确保高峰时段（7:00-9:00，17:00-19:00）车流量通过率达90%以上；（3）若增设智能停车诱导系统，如何通过数学模型预测其对拥堵改善的效果，并给出具体建议。2.农业水资源优化配置问题背景：某干旱地区B省位于黄土高原，农业用水占总用水量的65%。近年来，由于气候变化和人口增长，水资源短缺问题加剧。B省现有灌溉渠道50条，覆盖耕地面积80万公顷，但渠道老化导致水资源浪费严重。政府计划通过改造老旧渠道、推广精准灌溉技术、建立区域水资源调度模型等措施提升用水效率。问题：（1）收集典型年份的气象数据（降水量、蒸发量）和农业用水需求数据，建立水资源供需平衡模型；（2）设计一个优化配置方案，通过线性规划模型确定各灌区（按作物类型分区）的灌溉量分配，使粮食作物（小麦、玉米）总产量最大化，同时保证生态用水和工业用水需求；（3）若引入雨水收集系统，如何通过数学模型评估其对农业水资源配置的补充作用，并提出改进建议。二、模型假设与建立（2题，每题15分，共30分）1.电子商务平台推荐算法优化问题背景：某电商平台C通过用户购买历史和浏览行为收集数据，采用协同过滤算法进行商品推荐。但目前算法存在冷启动问题（新用户推荐效果差）和多样性不足（推荐商品同质化）的缺陷。平台计划通过改进用户画像构建、引入图神经网络等方法提升推荐效果。问题：（1）列出模型假设，如用户行为独立性、商品相似度计算方式等；（2）建立基于矩阵分解的推荐模型，并推导用户评分预测公式；（3）设计改进方案，如何通过聚类算法解决冷启动问题，并给出数学表达。2.能源消耗碳排放预测问题背景：某工业城市D正在推进“双碳”目标，重点行业包括钢铁、化工、电力。政府通过收集2010-2025年行业能源消耗和碳排放数据，希望建立预测模型，为减排政策提供依据。问题：（1）假设条件包括能源利用效率恒定、碳排放系数不变等，请列出所有假设并说明合理性；（2）建立ARIMA模型预测2026-2030年各行业碳排放量，并解释模型参数选择依据；（3）若引入碳交易机制，如何通过数学模型评估其对减排效果的促进作用。三、模型求解与分析（3题，每题15分，共45分）1.物流配送路径优化问题背景：某第三方物流公司E在A市运营100个配送站点，每日承接3000个订单。为降低成本，需优化配送车辆路径。现有数据包括站点坐标、订单量、配送时效要求等。问题：（1）用数学语言描述VRP（车辆路径问题）模型，包括决策变量和目标函数；（2）若限制每辆车载重为5吨，采用遗传算法求解最优路径，需设计哪些关键算子（选择、交叉、变异）；（3）分析时效要求对路径优化的影响，给出具体解决方案。2.疫情传播动态建模问题背景：某边境城市F出现流感疫情，政府需预测传播趋势并制定防控措施。收集了过去两周的感染人数、人口流动数据等。问题：（1）建立SIR模型（易感-感染-康复），推导方程组并解释参数含义；（2）若发现感染者中30%为跨境流动人员，如何通过数学模型评估跨境传播风险；（3）给出基于模型结果的社会隔离建议，并量化效果预期。3.金融投资组合优化问题背景：某投资机构G管理200亿资金，计划配置到4只股票（白酒、科技、医药、消费）中。历史数据包括各股票收益率、波动率及相关性。问题：（1）用二次规划模型建立投资组合优化目标，最小化方差并设定预期收益下限；（2）若引入交易成本（固定费用0.1%，比例费用0.05%），如何调整模型；（3）分析相关性对投资组合风险的影响，给出具体配置建议。四、模型评价与改进（1题，20分）新能源发电站选址问题背景：某山区H省计划建设光伏和风电混合发电站，需在5000平方公里范围内选择最优地点。考虑因素包括日照时长、风力资源、土地成本、电网接入难度等。问题：（1）评价层次分析法（AHP）在该问题中的适用性，并列出判断矩阵构建步骤；（2）若采用多目标遗传算法求解，需设计哪些评价指标（如经济性、环保性）；（3）提出模型改进方案，如何通过机器学习预判选址后的发电量波动性。答案与解析一、问题描述答案1.城市交通拥堵优化问题（1）模型：-车流量与信号灯配时关系：用排队论M/M/c模型描述各路口车流，设λ为车流量，μ为通行能力（与绿信比正相关），N为排队车辆数。信号周期T=Gr+Sr（G为绿灯时长，r为黄灯+全红时间），优化目标为min(E[等待时间])；-潮汐车道使用率：用二元变量x_i=1（使用）或0（不使用）表示第i车道状态，建立0-1规划模型：max∑(a_ix_i-b_ix_i^2)（a_i为车流量弹性系数，b_i为拥堵惩罚系数）（2）优化方案：-信号灯：核心路口采用自适应配时（如SCATS系统），周期范围60-120秒，绿信比动态调整（高峰期左转绿灯延长至45秒）；-潮汐车道：早高峰北向主路优先（x_1=1），晚高峰反向（x_1=0，x_2=1）；-效果验证：通过仿真模拟验证等待时间下降22%，通过率提升至92%。（3）智能停车：建立泊位占用率预测模型（BP神经网络），若某区域未来30分钟内占用率<60%，则诱导货车绕行，减少核心路口货车流量。2.农业水资源优化配置问题（1）模型：-供需平衡：设Q_i为第i灌区需水量，W_i为供给量，建立约束Q_i≤W_i≤S_i（S_i为最大供给能力）；-气象数据拟合：用线性回归预测未来三年降水量（如R(t)=0.8t+120），蒸发量用指数函数模拟（E(t)=2^(0.1t+1)）。（2）优化方案：-线性规划模型：maxZ=150x_1+200x_2（x_1为小麦灌溉量，x_2为玉米灌溉量）s.t.x_1+x_2≤600万m³（总水量），x_1≥0.6总粮食需求（生态约束）…-结果：小麦灌溉量450万m³，玉米300万m³，总产量提升12%。（3）雨水系统：用水文模型（HSPF模型）模拟收集效果，若年收集量达15%灌溉需求，则建议在坡度＞15%区域推广。二、模型假设与建立答案1.电子商务推荐算法优化问题（1）假设：-用户行为独立性：用户评分不受他人影响；-商品相似度计算：基于余弦相似度（向量夹角＜0.3为相似）；-新用户评分用全平台平均分初始化。（2）矩阵分解公式：r_ui≈μ+u_i^Tθ_i+θ_j^Tv_j（μ为全局平均评分，θ_i为用户隐向量，θ_j为商品隐向量）（3）冷启动方案：用聚类算法将新用户分为5类，为每类分配不同初始评分向量。2.能源消耗碳排放预测问题（1）假设：-能源结构稳定：化石能源占比不变；-碳排放系数为常数（如钢铁行业0.58吨CO2/吨钢）；-需求弹性为负（如电力需求随价格弹性-0.3）。（2）ARIMA模型：Δ^2C_t=0.45ΔC_(t-1)+0.25ΔC_(t-2)+ε_t（C_t为碳排放量）（3）碳交易机制：建立Lagrangian约束优化模型，目标函数包含减排成本与交易费用。三、模型求解与分析答案1.物流配送路径优化问题（1）VRP模型：-决策变量：x_ij=1（车辆i服务站点j）或0；-目标函数：min∑(d_ijc_ij)（d_ij为距离，c_ij为车辆i服务j的权重）（2）遗传算法算子：-选择：轮盘赌法；-交叉：两点交叉，保留精英个体；（3）时效方案：对紧急订单分配优先车辆，动态调整剩余订单路径。2.疫情传播动态建模问题（1）SIR模型方程：dS/dt=-βSI/(N)，dI/dt=βSI/(N)-γI，dR/dt=γI（β为传染率，γ为恢复率）（2）跨境风险：用网络扩散模型（SEIR网络），计算边境口岸感染扩散概率；（3）隔离建议：基于R_0=2.1，建议封锁半径500米，隔离期14天。3.金融投资组合优化问题（1）二次规划模型：min0.5w^TΣw-lw^Tμ（Σ为协方差矩阵，μ为预期收益向量）s.t.∑w_i=1，w_i≥0.1（最低配置比例）；（2）交易成本调整：加入惩罚项∑|w_i|C_i（C_i为第i项交易成本系数）；（3）配置建议：科技股（30%）+医药（25%）+白酒（20%），波动率下降18%。四、模型评价与改进答案新能源发电站选址问题（1）AHP适用性：-