广东省广州市增城区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页广东省广州市增城区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（

）A. B. C. D.3.在函数y=图象上的点是().A.(2,4) B.(-2,-4) C.(1,6) D.(6,6)4.如图，⊙O直径CD为10，弦AB⊥CD，垂足为M，AB=8，则CM的长为（）A.2

B.3

C.4

D.5

5.小明与同学做“抛掷图钉试验”,获得数据如下:抛掷次数n1003005007008009001000钉尖着地的频数m36111190266312351390钉尖着地的频率根据以上数据,当抛掷图钉1500次时,估计“钉尖着地”的次数为().A.540 B.555 C.570 D.5856.关于x的方程根的情况为（

）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.无实数根 D.只有一个实数根7.设A(-2,),B(1,),C(2,)是反比例函数y=-图象上的三点,则,,的大小关系为().A.>> B.>> C.>> D.>>8.某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后,在同一时刻的太阳光线下,利用标杆测量树的高度.移动标杆向树靠近,让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点E,如图,已知标杆CD=m,测得CE=m,BC=m,则树高AB为().

A.m B.m C.m D.m9.如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（）

A. B. C. D.10.如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（

）

A.玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为

B.直线的解析式为

C.点到杯口的距离为

D.点到点的距离为二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知，，，则的度数为

．12.已知，是一元二次方程的两个根，则

．13.如图，在中，点，分别在，上，，若，则

．

14.若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解

．

15.在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是

．

16.如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：①

②当时，③

④则所有正确结论的序号是

．

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

用求根公式解方程x2-6x+5=0.18.(本小题4分)如图，若，．求证：．

19.(本小题6分)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于原点O对称的；(2)写出，，三个点的坐标．20.(本小题6分)在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格：托盘与点之间的距离/托盘中砝码的总质量/(1)根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式；(2)根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量．21.(本小题8分)

第十五届全国运动会在粤港澳三地举行．甲和乙申请足球A、篮球B、排球C和乒乓球D四项赛事中的某一项做志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同．(1)写出“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率；(2)求甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者的概率．22.(本小题10分)

2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？(2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．23.(本小题10分)如图所示，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点．

(1)证明是的切线；(2)，为上一点，到弦的最大距离为8．①尺规作图作出此时的点，保留作图痕迹；②求的长．24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标；(3)过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．25.(本小题12分)如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，．

(1)求的长；(2)连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中．①求的取值范围；②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】②③

17.【答案】解：a=1，b=-6，c=5．

b2-4ac=36-20=16＞0．

∴，

即x1=5，x2=1．

18.【答案】证明：，，，，．

19.【答案】【小题1】解：如图所示，即为所求；【小题2】解：由（1）得，，，．

20.【答案】【小题1】解：根据表格，的值恒定，则选择反比例函数表示与的关系，设反比例函数为，将，代入，可得，故反比例函数为．【小题2】解：对于反比例函数为，当时，，故当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为．

21.【答案】【小题1】解：所有可能情况有4种，其中“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的可能情况有1种，“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率；【小题2】解：画树状图如图：共有种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者的结果有种，（甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者）；答：甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者的概率是．

22.【答案】【小题1】解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，由题意得，，解得，答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；【小题2】解：由题意得，，∵，，∴当，即时，W最大，最大值为4500．

23.【答案】【小题1】证明：连接，，∵为的直径，∴．又∵，是等腰三角形，∴，∴是的中位线，∴．又∵，∴，∵为半径，∴是的切线．【小题2】解：①如图，做的垂直平分线与相交于点，点即为所求．②如图，的垂直平分线与相交于点，连接，∵，∴．设的半径为r，在中，，即解得，∴．∵是的中位线，∴．∵为的直径，∴．又∵，是等腰三角形，∴，∴．在中，，∴．

24.【答案】【小题1】解：将代入，∴，解得，∴函数的解析式为；【小题2】解：过点P作x轴的垂线交直线于点M，当时，，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴，∵，∴当时，的值最大为8，此时点P的坐标为；【小题3】解：由折叠可知，，∵在y轴上，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，，∴，解得或，∴点的坐标为或．

25.【答案】【小题1】解：四边形是正方形，，，