对数函数基础习题

1.log5b=2,化为指数式是0

A.5A=2B.h5=2

C.52=bD.b2=5

答案：C

2.在b=logg—2)(5—a)中，实数。的取值范围是()

A.。>5或。<2B.2<G<3或3<。<5

C.2<a<5D.3<o<4

a—2>Q

。-2Hl即2<«<3或3<a<5.

(5—。>0

答案：B

3.以下结论正确的选项是0

①lg(lgl0)=0®lg(hw)=0③假设10=1”那么x=10

④假设e=lnx,那么x=e2

A.①③B.®®

C.①②D.(D@

解析：jgio=l,・・・电(忸10)=。，故①正确；

Vlne=l,Mg(lne)=0,故②正确；

V10=lgx,.*.x=10,0,故③不正确；

Ve=liv,.'.x=ec,故④也不正确；

答案：C

1—2x

4.假设logj-q—=0,那么x=______.

解析：:logj--=0,

1-2x

・•.一^―=1,1-2x=9.

・・._2x=8a=_4.

答案：一4

5.假设〃>0,。2=/那么log]G=.

42

解析：V«>0,且出=§,.•・〃巧.

.•Jog21=1.

3

答案：1

6.将以下指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)^=8；(2)logx64=-6,

(3)lgl000=3.

解：（1）由於=8,得x=log“8：

(2)由logx64=—6,得I-6=64；

⑶由Igl000=3,得1(P=1000.

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一、选择题

1.Io取8=3,那么x的值为0

A.1B.2

C.3D.4

解析：由log/=3,得3=8,；.x=2.

答案：B

2.方程2加3、=；的解是。

A.9B球

C.A/3D.1

解析：・・・2呵x=；=2?

・・.Iog3X=-2.

/.x=3-2=1.

答案：D

3.假设加取名=z那么0

A.j7=x;B.y=x7z

C.j=7xD.y=z,x

解析：由logxQj=z得：£=%,y=x7z.

答案：B

4.log5[)Og3(log2X)l=0,那么X2等于0

■G赤

A.6B.9

c.坐诏

解析：•.,10g5[IOg3(1Og2X)]=0,

.*.l()g3(l()g2X)=l,

.*.log2X=3.

/.x=23=8.

IT-木-2巾-4・

答案：C

二、填空题

5.10g6[10g4（l0g381）]=.

解析：设10g381=x,那么3，=81=34,

.*.X™4,原式=]og6[log』4]-log61-0.

答案：0

4.27_

6.log,q=.

3

272272

解析：设32彳=丫，那么（彳尸=彳="尸，

ZOJOJ

3

27

・'.x=-3.Alog2q=-3.

3

答案：一3

3LxWl

7.函数4x）=J假设八幻=2,那么x=_________.

-X,X>1,

[xWl（r>l

解析：由卜=2m》，=-2无解.

答案：IOR32

8.假设10%2=〃〃log“3=〃，那么a2,n+n=.

解析：:加即2=/，：.a"'=2t；・。2"，=4,又•.•】oga3=〃,

・・・。”=3,：.a2'n+n=a2'n-a"=4X3=12.

答案：12

三、解答题

9,求以下各式中x.

2

.-

（l）log2X=y

（2）log5（!og2x）=0.

解：（l）x=23=（1）3

(2)log2X=l,x=2.

10.二次函数凡r)=(l即)/+入+41驶的最大值为3,求。的值.

解：原函数式可化为

，r)=lga(x+丽)2一痴+43.

•••大幻有最大值3,

.\!gn<0,且一自+峥=3,

整理得4(lga)2—3lga—1=0,

解之得lga=l或lga=—

XVIga<0,.*.lga=-1.

1

=10\

1.假设。>0,且。#1,x£R,jWR,且xy>0,那么以下各式不恒成立的是0

①log*=2log“x；②1。巳82=2io即|x|；

③10因(肛)=10.工+10隈)，；

®10ga(Xy)=10ga|x|4-|0ga|y|.

A.②④B.©©

C.①④D.@@

解析：:盯>0.J.①中假设x<0那么不成立：③中假设x<0,产0也不成立.

答案：B

2.计算log9161og«81的值为0

A.18B./

Io

八83

C.^DQ

□O

初始Iiz1O.电16—81

解析：log9161og«81=19igg

_4lg24lg3_8

-21g3A31g2-y

答案：C

3.Ig2=a»lg3=Z>,那么Iogj6=()

a+ba+b

A.B.,

ab

C-^n—

a+ba+b

.，_取6Ig2+lg3a+2

解析：用*6=忸3=坨3=丁.

答案：B

4.log23=fl,3*=7,那么logi256=.

解析：・・・3小=7,・••力=加小7,

・i-,_logj56_log3(7X8)

.-logu56=Iog3|2=lo^(4X3)

log37+3log.<2

210gs2+l

又•."og23=%Alog32=^.

3a-+3

b+a~

原式="1=京

产—

ab+5

a4-2,

a/>+3

答案:

a+2

5.假设Igx—lgj=a,那么lg(1)3—lg(1)3=.

解析：.."gx—1©=。，

・•・电(分3-［岐3=3(］埼一磅

=3(lgx-lgy)=3a.

答案：3a

6.计算以下各式的值.

(I)log2^^+log212—|log242；

(2)log225,log.4,log59.

5一市X1211

解:⑴原式=加喘双反=味2s=一了

(2)原式=log252・log322.10gs3?

=81og2*51og32(logs3

_j£5l£2l£3_

一哺坨3&f

一、选择题

1.Ig8+31g5的值为()

A.-3B.—1

C.1D.3

解析：电8+3电5=3炽2+3lg5=3(42+lg5)=31gl0=3.

答案：D

2.假设Iog34・logsm=log4l6,那么〃i等于。

A.3B.9

C.18D.27

解析：原式可化为：】og*，〃=

Iogj4

**•^Iog2w=2log43,二，%=3.

m=27.

答案：D

3.a=logj2,用。来表示logj8—2logj6()

A.a-2B.5a-2

C.3a—(l+a)2D.3a—az—l

解析：log?8—210g.16=310g32—2(logj2+log。)

=3〃-2(a+l)

=a-2.

答案：A

4.方程f+xlog26+log23=0的两根为a、那么(；)”♦(；*=()

C.-6D.6

a+/y

解析：由题意知：a+/?=—log；6,=(1)=(1)—Iogi6=41og26=22log26=36.

答案：B

二、填空题

5.2(lgV2)2+lgV2-lg5+^(lg>/2)2-lg2+l=.

解析：原式=2(lgVi)2+lgA/i4g5+l—1队后

=2(lgV2)2+lgV2(lg5-l)+l

=2(电V2)2-2(lgV2)2+l=i.

答案：1

p,xWOi

6.设g(x)=[s,那么g(g(5))=________•

l)nx9x>0/

解析：?1>0,・,.gg)=l或.

而g(g(；))=g(ln；)=c吗=1.

答案：\

7.方程logs(x—l)=log9(x+5)的解是.

x-l>0,

解析：由题意知・x+5>0,解之得x=4.

—+5,

答案：x=4

8.^=3,那么310gjx—10'23=.

解析：3log3T=logjX3=Iogj3=1,

3Wa

而log.r23=lo&»33=logj32=",

31

--

2

2-

答案：一^

三、解答题

9.计算以下各式的值:

(2)lg2+lg50+31-log92；

(3)2%；+净F4-|g20-Ig2-(Iog32)-(iog23)+(^2-1

o24

21

33-

解：⑴原式=]23P

Mo

(2)原式=lg2+3X3-%,2

=Jg2+(2-lg2)+3X3-30期2一产」

=2+3X3,OB'2-2

=2+3X2-g=2+乎.

小区1.,20l£21fi3

⑶原式_]+[(])]-2+lgT-Ig31g2

=1+(1)-14-lgl0-1+1=2.

10.设3、=4，=36,求:+：的值.

解：由分别求出x和y,

•；3、=36⑷=36,

.*.x=log336,j=log436,

由换底公式得：

103361ORM36

Iog363-lug.Q'Jlug.%4log.%4*

・二=1。孥63,；=log_%4,

21

/.T+-=21og3634-log364

**y

=logj»6(32X4)=1。巴%36=1.

1.函数八幻=7卷去+lg(2x+l)的定义域是()

+0°)B.(—^1)

1—2x>011

解析：由2x+l>0得一方殛

答案：C

2.函数j，=lo物x的图像如下图，那么实数。的可能取值是0

A.5B.g

C.7D.T

解析：•・,函数y=log«x的图像一致上升，，函数y=logd为单调增函虬

/.«>1.

答案：A

3.设a=log[3,Z>=(1)°*\c=2§,那么a,b,c的大小关系是0

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

OJO

解析：Va=log13<log,1=O,O<Z>=(1)<(J)=1>c=2§>2°=1.，〃<ZKC.

答案：A

log2X»X>0,1

4.函数Hx)=3SxWO,那么加0=

解析：/l1)=log21=-2.

加；））=八-2）=3-2V.

答案：|

5.Iogo,6（x4-2）＞logo.6（l-x）,那么实数X的取值范围是

解析：•.•函数『=logo0为减函数,

・••结合定义域可得

f.r+2>0x>-2

1-x>0

1

x+2<l-xX<-2

答案：(一2,—1)

6.函数)，=10劭(》+力的图像如下图，求实数。与。的值.

解：由图像可知，函数的图像迂点(一3,0)和(0,2),

log«(/>—3)=0

・・•.人，,解之得。=4,

[k“=2

a=2.

一、选择题

1.函数Ax)=[M的定义域为M,R(x)=ln(l+x)的定义域为M那么MCN等于

A.{x|r>—1}B.{x|x<l}

C.{x|-l<x<l}D.0

解析：由题意得,必={丫仅<1},N={x|r>-1},

那么MAN={x|-l<xvl}.

答案：C

2.函数人幻=1哨(3叶3一、)是()

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

I).不是奇函数又不是偶函数

解析：・.・3*+3一*>0恒成立.

，人幻的定义域为R.又；/(一幻=10/(3-*+3')=力>).・・Jlx)为偶函数.

答案：B

3.如图是三个对数函数的图像，那么。、〃、c的大小关系是0

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

解析：由图可知a>l,而0<A<l,0<cvl,取y=l,那么可知力.

答案：D

4.函数八x)=|Igx|.假设瓦且八a)=/IA),那么的取值范围是0

A.(1,4-0°)B.[L+0°)

C.(2,+8)D.[2,+8)

解析：儿r)=|lgx|的图像如下图，

由题可设0<0<1,b>\,

r.|lga|=-Iga,|lg/»|=lgZ»,

.\-|ga=lgZ>.

*f,

・•.a+》=a+%0<«<1).

又•.•函数_y=x+：(O<x<l)为减函数，

/.a+-a>2.

答案：c

二、填空题

5.对数函数的图像过点(16,4),那么此函数的解析式为.

解析：设〃x)=lo劭x(a>0且。工1),那么logal6=4.

；.a4=16,又=。〉。且“HI,：.a=2.

即｛x)=log*

答案：J|x)=log2.r

6.函数y=3+lo甑(2x+3)(〃>0且aWl)的图像必经过定点尸，那么尸点坐标.

解析：•・•当2x+3=l即工=-1时，1。物(2x+3)=0,y=3tP(-1石).

答案：(一1,3)

7.方程炉=1。.工解的个数是.

2

解析：函数和J=l0g।X庄同一坐标系内的图像大致为：

2

答案：1

8.假设实数〃满足1。劭2>1,那么。的取值范围为.

解析：当a>\时，Ioga2>l=loga

2>a.l<a<2;当0<a<1时,log«2<0.

不满足题意.

答案：l<a<2

三、解答题

9.(1)函数y=lg(/+2x+a)的定义域为R,求实数。的取值范围；

⑵函数八幻=也[32-1*2+(%+1卜+1],假设人©的定义域为R,求实数。的取值范围.

解：⑴因为)，=馆，+21+。)的定义域为R,

所以/+2丫+°>0恒成立，所以/=4-4”<0,

所以”>1.故〃的取值范围是(1,+8).

⑵依题意32—1)丫2+(%+1)丫+1>0对一切xER恒成立.当(/2-1^0时，

a2—1>(),

3=(2«+l)2-4(a2-l)<0.

解得a<—1.

当砂一1=。时，显然(2a+l)x+l>0,对x£R不恒成立.

所以。的取值范围是(一8,—J),

x+1

10.函数人x)=lo叼二i(a>0,且a#l).

(1)求人x)的定义域：

⑵判断函数的奇偶性.

x+lfx+l>0,

解：(1)要■使函数有意义，那么有二>0,即.A,

x~l1,x—1>0,

[x4~l<0,

或彳解得X>1或X<—1,

X—1<0,

此函数的定义域为(-8,—i)u(l,4-0°),关于原点对称.

-x+1x-1x+1

(2Vt-x)=log«_x_j=log«^j7j-=-logfl^zrj-=-fix).

・Mx)为奇函数.

1.(2023•天津离等)设a=logs4,Z>=(log53)2»c=log45,那么0

A.a<c<bB.b<c<a

C.a<b<cD,b<a<c

解析：由于力=(log53)2=log534og53Vlog53Va=logs4VlVlog45=c,故力VaVc.

答案：D

2.函数户JlogsrT的定义域是()

A.(9,+°°)B.[9,+8)

C.[27,+oo)D.(27,+8)

解析：由low—320得lower's.即x227.

答案：C

3.假设10gm8.lvl。即8.1<0,那么皿〃满足的条件是0

A.m>n>\B.n>m>\

C.0<n<wi<lD.0<m<n<l

解析：由题意知小，〃一定都是大于0且小于1的，根据函数图像知，当x>l时，底数越大，函数

值越小.

答案：C

4.不等式Io©(5+x)<log](1—x)的解集为.

33

5+x>0

解析：由"l-x>o,得一2<X<1.

,5+x>l-x

答案：{x|-2<x<1}

5.y=(logi尸在R上为减函数，那么〃的取值范围是.

2

解析：ft.0<log(a<lf得gv/cl.

2

答案：g，1)

6.函数4x)=lo曲(3—〃幻，当xW[0,2]时，函数人x)恒有意义，求实数。的取值范围.

解：由题意知，3—双>0对x£[0,2]恒成立，«>0,且°ri.

设g(x)=3-ax,

那么g(外在[0,2]上为减函数，

，g(X)min=g(2)=3-2fl>0,

.3

♦・61<2*

・・.G的取值范围是(0,l)U(l,|),

一、选择题

1.与函数『=(；尸的图像关于直线)，=x对称的函数是o

A.j=4*B.『=4一*

C.j=log!xD.>'=l()g4X

4

解析：作出困像观察可知函数J=(%的图像与J=10g,X的图像关于直线J=X对称.

4

答案：C

2.函数『=2+log2X(x'l)的值域为0

A.(2,十,)B.(—8,2)

C.[2,+8)D.[3,+~)

解析：Vx^l,.*.logjx^O,

.•.j=2+log2x22.

答案：C

3.假设k>ga(〃2+l)<loga2a<0,那么。的取值范围是o

A.(0,1)B.(1,1)

C.(0,1)D.(1,+8)

解析：•..(M+l)—2a=(a—l)2>0(aWl),

.*.a2+l>2«.

由1。阳(。2+1)<loga2n知：

0<G<[.

又IOga2«<0=IOg«l.

，2。>1=悬，

综上：|<a<l.

答案：B

4.函数)=10物(2一")在[0,1]上为减函数，那么。的取值范围为0

A.(0,1)B,(1,2)

C.(0,2)D.(2,+8)

解析：；.g(x)=2—ax为减函数，

即任取Xl,X2e[0,l],且Xi<X2,有g(Xi)>g(X2),

又10gag(Xl)>10gag(X2).

・・.G>1.而又・.・g(x)=2—ax在[0,1]恒为正.

：.2-a>0,*.a<2.

答案：B

二、填空题

ax+/>(xW0)

5.函数人x)=加/+抓>。)的图像如下图'那么

解析：・・・公尸好+MxW0)过点(0,2),

[0=-a+Z>

:9:.a=2,b=2.

2=b

由图像知/(x)=k)gXx+：)过点(0,2)

6.集合4={x|logKW2},3=(-8,°)假设AGB,那么a的取值范围是(c,+«),其中c=.

解析：:103：近2=10取4

・・.0<xW4,・・・A={x|0<x<4}.

又••♦4匚/?.工。>4.

•\c=4.

答案：4

7.函数八幻=1。厮x(a>0且aHl)在[2,3]上的最大值为1,那么。=.

==

解析：当«>1时，J[x)max/13)10ga3—1.

；.a=3.

当0<«<1时，{X)max=7l2)=log«2=l.

・・・a=2(舍去).

♦工。=3.

答案：3

8.关于函数凡r)=l端7有以下结论：①函数八幻的定义域是(0,+8)；②函数人幻是奇函数；③

函数人制的最小值为一Ig2；④当0<x<l时，函数4x)是增函数；当x>l时，函数/X)是减函数.其中正

确结论的序号是.

Y

解析：由?手7>。知函数人外的定义域是(0,+8),那么函数人外是非奇非偶函数，所以①正确，

②错误；人幻=1"亲[=-lg(x+1)Wlg1=—Ig2,即函数人x)的最大值为一lg2,所以③错误；函数y=x

+~t当0<r<l时，函数g(x)是减函数；当x>l时