对数及对数函数的图像与性质(学生版)

对数与对数函数的图像与性质

第一课时对数及其运算

【知识要点】

1.对数的定义：

如果/二N[〃>(),。声1]，那么〃叫做以。为底N的对数，记作

2.指数式与对数式的关系：d=Nu>log“N='存N>0].两个式子表示的纵b、N三个

数之间的关系是一样的，并且可以互化.

3.对数运算公式：如果。>0,awl,M>0,N>0,那么

(1)logj=0；log,a=l；Q喻N=N；log“d'=〃；

M

[21logfl(MTV)=logflM+logaN〔3〕log“w=log“M-log,N

(4〕log4M,x=nlogaA/£氏)⑸=~~bgaM

(6)换底公式log〃=g^2(4>0"/wl/>0,c〉0,c，l)

log,。

n

换底公式推论：〔1〕logttc=—!—；〔2〕logMZ?logfcc-log,.«=l；〔3〕log,,Z?=—log„Z?

Iogfaam

【典题精讲】

题型一对数的化简'求值

八Nolog,N=〃

I••

log/,N

log“N=——

2,注意对数恒等式/限*=N,对数换底公式l°g，"及等式

Il

n

logamb=-.logab,logab=--

m“心”在解题中的灵活应用.

【例1】⑴假设3=2,那么x=0=4,求x=

21

(2)设3“=4〃=36,那么一+；=；

ab

2

(3)计算：lg52+Qlg8—lg51g20+(lg2)2

JJ

【变式1】3“=2,那么Iog38-21og36用表示是(：〕

A.。-2B.5。-2C.3。-(1+af3a-a2

【变式2】假设lgx-lgy=。,则怆($3_怆(曰)3二〔〕

3

A.3aB.—aC.3a-2D.a

2

【变式3】〔1〕计算|g25+lg(-lg]=.

(2)计算：lg25+lg2-lg5+lg20=.

Ig8+lgl25-lg2-lg5

【例2】求值igVioigo.i

【变式I】惶百+怆同的值是〔〕

A.2B.lC/。D.1。。

【变式2】4"=2,吆工=4那么犬=

【变式3】设2"=5"=〃?，且:+:=2,那么"尸_________.

【变式4】(1)假设log2[log3(hg4X)]=0,那么工=

(2)假设log,.-2=。，贝3=

（3）假设log“2=叫log“3=g/e=

jax_

[变式5]lgx+lgy=21g（2x-3y）,求:7的值.

题型二对数换底公式的应用

【例2】设x,y,zw/T,且3、=4、'=6。

,、…111

（1）求证：-----=—；

zx2y

⑵比拟3x,4y,6z的大小。

【变式6】log,9=兄18"=5,求log36450

【课堂练习】

1.假设32、+9=10・3',那么/+1的值为〔〕

A.IB.2C.5D.1或5

2.如果方程lg2x+(lg7+lg5)lgx+：g7Jg5=0的两根为如仇那么30的值是〔〕

1

A.lg7-lg5B.lg35C.35D.—

3.(2：3&5)。+(当,lOo"8；________________

964

4.lg25+lg2.1g5O=；log(&f(3+2&)=.

，若则

5.logM32=logs--log36log6x=2,x=

假设logn2=a,则10gl23=

VJ

6.已知。>Z?>1,且log”Z?+log5。=—则log0-log,,。的值为.

。，

7.求值或化简:

⑴>Og2^+,Og212-^1°g242-1?

14--lg9-lg240

⑵236+L

1—4lg27+lg—

JJ

8.假设xk）g34=l,求2、+2：的值。

2rI2-x

第二课时对数函数的图像与性质

【知识要点】

I.对数函数的概念：

一般地，函数），=log“且awl）叫做对数函数，其中K是自变量，函数的定义域是（0,+m）.

2.对数函数的图象与性质：

函数名称对数函数

定义函数）'=log”>0且〃。1）叫做对数函数

a>\

X=1x=1

yy=I%x

0J(1,0)J0X1

图象

定义域（。,+8）

值域R

过定点图象过定点（1,0）,即当工=1时，y=0.

奇偶性非奇非偶

单调性在（0,48）上是增函数在（0,+8）上是减函数

。变化对图

在第一象限内，〃越大图象越靠低；在第四象限内，。越大图象越靠高.

象的影响

3.反函数

指数函数），="与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.

【典题精讲】

题型一对数型函数过定点

【例函数y=k）g2（x+l）—2的图像恒过点

（2）函数/a）=log,（x+b）（a>。且awl）的图像过两点（一1,0）和（0,1）,那么

a=,b=.

【变式1】函数y=log,（x-l）-l的图像恒过点.

题型二对数型函数的图像

【例2］。>力，函数人工）=。一4）（大一人）的图象如下图，那么函数g（x）=IogXi+力的图象可能为（）

［变式］］危）=42,g（x）=logM（4>0,a#l）,假设.«4>g（—4）v0,那么），=y（x）,y=g（x）在同一坐标系

内的图象大致是（）

【变式2］Cl：y=\ogaX,C2：j=logbX,C3：y=\ogcx的图象如图⑴所示.那么在图（2）中函数）=心y

=//\y=c"的图象依次为图中的曲线.

题型三对数型函数的定义域及值域

【例3】函数f（X）=斤而+1g;6的定义域为〔〕

x-3

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2.3)U(3.4]D.(-1.3)U(3.6]

【变式1】函数y=Jlog；(4x-3)的定义域为〔〕

3333

A.('7，+°°)B.(-oo,—)C.(—JID.(—J)

4444

x

[例4]/(x)=log4(4-l).

⑴求/3)的定义域；(2)讨论/(九)的单调性；(3)求在区间2]上的值域.

【变式2】函数/(x)=bg,——的值域为()

-r+1

A.[I,+oo)B.(OJJC.(一8,I]D.(-00,I)

【变式3】函数y=1。82(f+1)-咋2%的值域是()

A.[0,4-oc)B.(—8,+co)C.[1,+co)D.(—co,—1JU[1,+s)

【变式4】函数/。)=|唾3]|在区间[4向上的值域为[0,1],那么〃一。的最小值为.

【变式5】/U)=log3x4-2(xs[l,9]),那么函数y=7(x)2+/，)的最大值是()

A.13B.16C.18D.22

题型四对数型函数的单调性应用

【例5】比拟以下各组数中两个值的大小：

(1)log23.4,log28.5；⑵log031.8,log032.7；〔3〕logfl5.1,loga5.9(a>0,a1).

a=log,冗、b=log।7T,C=TC”、

【变式1]设-2那么〔〕

^a>b>c^b>a>cca>c>b口c>b>a

【例6】设0<xv.v<l,那么以下结论中错误的选项是()

22

①2'<2、②(-)r<(一尸③log，<log、2©log,x>log,y

3322

A.B.®@C.D.②④

【变式2】[1[。二2-3,/?=log2i,c=logl^,那么兄儿。大小关系是〔填序号〕①a>〃>c；②

3,3

a>c>b\®c>a>b\®c>b>a.

2

【例7】设/(x)=lg(—+。)是奇函数，那么使/(幻<0的x的取值范围是()

1-X

A.(-1.0)B,(0,1)C.(-00,0)D.(-00,O)U(1,-Foo)

2

【例8】函数f(x)=logf(x-2A--3)的单调递增区间是__________.

2

y=log1(x2-4x+3)

【变式3】函数3的单调递增区间为()

A.(3,+c©)B.(―cc,1)C,(—a),I)U(3,+co)D.(0,+co)

题型五求参数的取值范围

/⑺=是(…⑹

【例9】Uog〃x，xNl上的增函数，那么〃的取值范围是

A收)B(1,3)[r3]

。S3cD

logjx,x>0,

2假设关于x的方程/«=k有两个不等的实根，那么实数k的

(2\x<0,

取值范围是()

A.(0,+oc)B.(-ooJ)C.(l,+oo)D.(0,1]

【变式2】函数/(x)=l0gt,(办-3)在[1,3]上单调递增，那么〃的取值范围是()

A.(1,+8)B.(0,1)C.(0,-)D.(3,+co)

3

【变式3]/")=log-QV+3。)在区间2+8)上是减函数，那么实数。的取值范围是，：)

2

A.(-00,4JB.(一8,4)C.(-4,4]D.[一4,4]

【课堂练习】

1.假设函数），-2一"|冬6的图象不经过第一象限，那么相的取值范围是〔〕

A.m<-2B.tn>-2C.m<-\D.m>-1

y

2.如图为指数函数(l)y=a\(2)y=b\(3)y=c',(4)y=dx,那么凡〃,c,d与1的大小关系为〔〕

\.a<h<\<c<dW.h<a<\<d<c

C.\<a<b<