导数压轴满分进阶教师

第一课：导数问题中分类讨论核心思想的探讨

综述

函数的单调性是函数最重要的性质（没有之一），对深入研究函数的图像、比较函数值

的大小、解不等式、求极值、最值（取值范围）、判断函数零点个数、证明不等式起着至关

重要的作用，是函数导数综合问题的基石，因此，函数单调性的考查是高考函数导数题的重点,

文科题目有时候会不含参数，宜接求导，解不等式即可得单调性，但是理科题目为了增加问题

的复杂性、抽象性，往往会在函数的表达式中添加一个甚至多个参数，大家都知道要用导数这个

“利器”来解决函数的单调性问题，但是很多时候求导后并不能得到一个“完美可解”的不等式

来轻易判断极值点，这时候就需要我们对参数进行讨论了。

本质上是对含参方程与不等式解的讨论，以便确定导函数图像与X轴的位置关系。

解题步骤

第一步：确定函数的定义域（特别注意定义域是否是一个连续的区间）；

第二步：求导函数；

第三步：找出“主导”函数（通常我们把导函数中决定符号的部分构造为新函数，称作“主

导”函数，一般用力（X）表示）；

第四步：判断“主导”函数是否存在零点？若存在，有几个？零点与定义域或者指定区间的

位置关系能判断吗？若定义域内有多个零点，零点之间的大小关系能判断吗？这几个问题就

是引起讨论的主要因素；

第五步：画出导函数草图，并利用导函数正负性与原函数增减性的关系确定原函数的单调性；第

六步：在此基础上解决极值、最值、零点、恒成立、求参数范围、证不等式等其他问题。

小贴士：在做函数导数综合题时，我们首先应该认真读题，形成一个总体的印象，考虑清楚以

下问题：题目给出了几个函数？题目给出的函数是由哪些基本初等函数怎样复合而成的？函数

表达式中含有参数吗？参数的位置在哪里？题干对自变量和参数有范围限制吗？函数过哪

些特殊点？（指数函数主要考虑指数为0，对数函数主要考虑真数为0），能大致想象出函数

的图像吗？平时要反复训练这样看问题的思路，对一些常见的复杂函数的导函数能有大致的预

判，考场上可以快速确定大致的求解方向，缓解题目陌生带来的紧张感和恐惧感。

常见类型

本节我们聚焦第四步，根据“主导”函数的形式，我们通常可以分为以下几类

类型一：〃主导”函数为一次函数型

【例题1](2013•福建理17节选)已知函数求函数/(x)的极值.

对话与解答:题目指向十分明确，就是求极值问题，根据处理函数问题时“定义城优先”的

原则，先判断定义域，定义域为(0,+8),求导得/''(幻=1一2="一",x>0.

XX

我们先给出高考的标准答案：

(D当a40时,尸次)>0恒成立，函数为(0.+8)上的增函数，函数〃劝无极值:

⑵当a>0时,[t]f\x)=0,解得x=a.又当x£(0,a)时，f\x)<0,当xe(a,+8)时，

/,(A)>0.从而/(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-a\x\a,无极大值.

综上，当“40时，函数/(x)无极值；当a>0时，函数/⑴在x=a处取得极小值

«-«In«,无极大值.

作为一个简单的例子，大家很容易判断出应该以0为界来讨论，可是我们要思考一下为

什么呢?把其中的原理搞清楚了，面对复杂的情况，我们的原则是不变的，把目光聚焦到式

子二，再结合定义域就知道分母工>0,那么整个式子的正负就只由工-〃决定了，这里

X

我们就设〃，x>0(我们把决定导函数符号的函数构造为新函数，称作“主导”

函数)，为了找到八幻的单调递增区间，我们本来应该是去求解工-。>0这个不等式，得到

工>〃这个解，但是我们不知道。与其定义域(0,+oo)的关系呀，所以我们不能下结论/(外在(4

+8)上单调递增，那为了能得出定义域上的单调性，我们就只能分情况了，若.40那么

我们可以知道/(X)在(0.+8)上单调递墙若4>0,当xe(0,a)时,//(A)<0,/V)=—<0,

X

当xe(a,+00)时，h(x)>0J3=0,用图像来理解就是研究h(x)=%-a在(0,+oo)上

X

的图像的什么部分在X轴上方，什么部分在X轴下方，也就是为了准确画出/小)的图像我

们知道h(x)=x-a的图像是斜率为1的向右上方倾斜的直线，但是随着a的变化，川后与x

轴的交点A(a,0)在移动.这影响了(0,+oo)上力(幻的图像与x轴的位置关系.可以画出如下三

种情况，其中红色直线就是a=0时的“分界情况”.总之，本题是由于h(x)=0的解x=a与

所研究的定义域的边界的关系不确定而引起的讨论.

我们说过,第四步主要就是为了回答“'主导’函数是否存在零点？若存在、有几个?零点

与定义域或者指定区间的位置关系能判断吗？零点之间的大小关系能判断吗?”这四个问

题,当力时，我们来回答一下这四个问题，便可以清楚的找出分界点了.

①'主导'函数是否存在零点？

答：存在.

②若存在，有几个？

答：一个.

③零点与定义域或者指定区间的位置关系能判断吗？

答：因为零点为x=“，定义域为(0,+8),其关系不固定，需要根据〃的取值讨论.当a40

时，a(0,4-QO)；当a>()时，aG(0,+co).

④若定义域内有多个零点，零点之间的大小关系能判断吗？

答:因为只存在一个零点，所以该问题在此种情况下不需要考虑.

以上便是思考问题的全部流程，每一步骤都可能产生出分界点，并且是逐层递进的，我

我们找出分界点后，把参数分成若干个小区间，直到在每一个区间上，这四个问题的答案都是

确定的，那么我们就可以结合/?")草图顺利获得团外>0和g)<0在定义域内的解集，也

就是找到了/(A)的单调递增区间和单调递减区间了.

当然，在“主导”函数为一次函数时，参数还可能为一次项的系数，如下题：

【例题2】(2017•全国II,理21节选)已知函数/(x)=ar-a-Inx,且/(x)20.求a.

对话与解答:首先考虑定义域，定义域为(0,+8),然后稍作变形得/*)=。。-1)-Inx,

通过将含参数部分合并在一起，让参数得系数为0,可得过定点(1,0),大致可以做出

草图，可以更快实现问题的转化、更顺利的降低试题难度，求导可知r(x)=a-L=竺二L

xx

对于3)=6-1,通过将参数的系数令为。可以观察出其过定点则当时，/'(幻<0,

即/。)在(0,+oo)上单调递部所以当的>I时，/(X。)</(1)=0,矛盾.

当。>0时，因为当0<x<时/。)<0、当x>时/口)>0,所以/(X)=,又因

—"川

aamina

为/(1)=a-«-In1=0,所I^L1=1,解得a=1.

这里为什么讨论分界点还是0呢？我们说过，讨论的目的是能准确刻画“主导”函数在所

研究的区间内图像哪一部分在x轴上方，哪一部分在x轴下方.观察本题的“主导”函数加工)

=依-1,恒过点斜率可变，当。=()时，情况比较笥单，直接说明；当〃工0时，

h(x)=fa--1的图像与％轴交点勺!。)的横坐标」与定义域的边界0的关系还是由。决定的，

aa

据此可以找到分界点了.当然这里有点特殊的是。=0时的情况，最后发现可以和a<0在一

起说明.

如果严格遵循标准步骤,当心)=以-1时，我们又来回答一下那四个关键问题，便可

以清楚的找出分界点了.

①'主导’函数是否存在零点？

答：当〃=()时不存在；当awO时存在.

②若存在，有几个？

答：一个.

③零点与定义域或者指定区间的位置关系能判断吗？

答：因为零点为》三二定义域为(0,+OO)，其关系不固定，需要根据〃的取值讨论.当4<0

a

时，」w(0.+ao)：当a>0时,_।e(0.+oo).

④若定义域内有多个零点，零点之间的大小关系能判断吗？

答:因为只存在一个零点，所以该问题在此种情况下不需要考虑.

一次函数还可能一次项系数和常数项都含有参数，但原理是一样的，当“主导”函数为

一次时，因为一次函数和二轴只有一个交点，所以讨论起来也并不复杂，考试中“主导”函数

为一次时，基本都是出题人怕导数题得分太低，故意送分，但是通过这种简单情形，却告诉我们

一个重要道理，分类讨论的目的是为「在回答四个关键问题的基础上刻画清楚导函数在定义域内的

图像和X轴的关系，所以“主导”函数图像和A-轴交点的横坐标（即“主导”函数的零点）

至关重要.

【配套练习1]（2015•全国n•文21节选）已知函数/Xx）=cx+a（l—x）.

⑴讨论/（x）的单调性；

注：“主导”函数/心）=1-如

类型二：“主导"函数为“准一次”函数型

什么是准一次型函数呢？例如〃（工）=--〃，它的图像与一次函数的图像非常像，只是

直线变成了曲线，但是关键的两个特征并未改变，一是在定义域内单调性比较明确，要么递增,

要么递减；二是和x轴最多只有一个交点，也就是说它的图像不会在入轴“上窜下跳”，

比如〃。）="一3和g（x）=x-3的图像对比如下：

是不是“典型特征”完全一样呀，其实若换元一下，令/=e则力(幻=凶)=1一3就成

了一次函数了，且，与x对应.类似的，〃(x)=Inx-。这种也可以归为“准一次”函数

型.据此，有很多求导后“主导”函数为“准一次”函数的情况，其讨论方法类似一次函数，找

出其图像与x轴交点的横坐标与定义域的关系，直接讨论即可.比如以下例题：

【例题3】(2012•全国新课标•文21节选)设/0)=〃-火-2.

⑴求f(x)的单调区间；

对话与解答：我们先给出高考标准答案，看起来总是很突兀的样子，是吧？

定义域为R,

若。W0,则/'(x)>0,所以/(x)的单调递增区间为(-以+8)；

若〃>(),则当xe(-co,Ina)时，f'(x)<0,当x£(hia,+cc),f'(x)>0,

所以/U)的单调递减区间为(-oc,In〃)；单调递增区间为(Ina,+oo).

为什么以0为分界点在讨论呢？我们仍然想画出做工)=^-〃的草图，随a的变化，相

当于把，的图像上下移动：显然只有向下移动时，即。>0时，其图像才会与x轴有交点，

才会有部分图像处于X轴下方，对应于不等式a<0才有解，否则，。大于0是恒成

立的.总之，我们还是为了准确刻画〃(x)="-a的图像，尤其是它与x轴的关系.

【配套练习2](201。全国新课标•文21改编)设心-I.

⑴讨论f(x)在区间(0,+<对上的单调性：

注：“主导"函数心)=e、-a,定义域有限制.

可能有些同学就要问了，老师，你讲的这些东西很普通呀，很简答的答案，被你讲复杂

了，我在考试时遇到“主导”函数为一次或者“准”一次时，根本不用经过i系列思考，像标准

答案一样，我直接就可以凭“题感”判断出分界点，不用花更大的力气去找分界点呀，我也没

在这方面失误过，可为什么我们要花如此大力气去讲“主导”函数为最简单这种情况呢，是为了把

分类的原理说清楚，我们为了得到原函数/（X）的单调性，核心就是在处理/口）

和0的关系.

更多的题目，主导函数往往不是一次，而是二次或则超越函数型的，但是原理是一样,

而且我们知道一个标准的二次型不等式加+/以+。>（）（〃>（））在4>0时可以通过改写（直接

分解因式或者使用吊根公式'变犷乃a（A-x1）（.v-A-2）>0,由不等式部分的知识我们知道

）2>0=17为或।”一,斫以二次型本质上还是两个一次型合成的,

x-x>0x-x<0

只是同时考虑两个一次型而已.

例如，我们求f-4x+3<0,其对应的二次函数图像在x部下您的不部分「如手用1

中红色区域相应的大的范围，但也可以转化为（x-i）a-3）<o=c-"或者门，

jx-3>0jx-3<0

显然无解.，如下图2,红色和绿色部分没有公共区域：而的解集为x>l

fx-3>U|x-3<0

和x<3的公共部分，如下图3中的紫色部分.

所以当我们的主导函数为a5+hx+c形式时，我们首先要考虑它是几次，也就是a是

否能为0呢，。=0时，回到第一种题类型了，。工0时，为了刻画清楚二次函数的图像，我

们首先需要知道的是开口方向，。>0时开口向上，开口向下；再进一步，我们就需要

知道它的图像和x轴是否有交点了，也就是考虑它的判别式△与（）的关系了，如果A>0,

那么这个二次式一定可以分解成两个一次式相乘，首先观察能否分解因式，不太容易观察出

来的话，有一个代数判断标准就是△是否可以开方成一个有理数或整式，再以后的讨论，基

本乂回到了类型一了，只是需要多一步判断两根之间的关系.如此反复而已，这种类型是高考

出现最多的情况，因为In求导之后是分式，与其他部分通分后极易出现分子为二次式的情

况，卜.面我们呈现一些高考真题，来手把手教大家操作的流程.

图1图2

类型三:〃主导“函数为二欠函数型

【例题4】(2007•山东•理21节选)设函数fa)=x2+/?ln(x+1),其业方>1.

2

⑴判断段函数f(x)在定义域上的的单调性；

对话与解答:这个题目应该算是比较早的含有参数的讨论问题，但是经过十多年的发展，全国

卷仍然热衷于通过含参函数的分类讨论来指导考生如何研究复杂函数，具体到这个题目，根据

“定义域优先”原则，求出定义域为(-1,+8)，其实这种对数函数的定义域的限制既给我们带

来了好处，也给我们带来了麻烦，好处是往往分母就是真数部分，自然大于零，方便我们抽取

出“主导”函数;麻烦就是洽我们第三个步骤增加了讨论的可能性，试想，如果定

义域为零点和定义域的关系就很明显了.求导得广。)=2x+」_="士生心_(4.>_]),

X+1X+I

因为定义域为(T,+8),所以X+l>0,这一点由X+1是常用对数函数的真数也可以直接判

断，而且这是对数函数一个十分好的特点，求导并通分后：由于定义域的限制，分母常常是大

于零的，整个式子与0关系不确定的只有分子部分，所以我们常常令分子为我们要研究的

“主导”函数，令MX)=2/+2X+〃，可以看到，这个“主导”函数明显是一个二次函数，

之所以选择这个作为这一部分的第一个题目，是因为主导函数的参数位置和形式都比较简单,

这个二次函数的开口向上，对称轴为“-'=」，所以人(外在(-i「b上单调递减，在

2x222

(-1，+8)上单调递增，h(x)=〃(-1)=-1+人，因为〃>1，那么万⑸>0,所以整个

2min222min

“主导”函数Mr)的图像的大致轮廓我们就清楚了，如下图，整个定义域内的图像都在x轴

的上方,也即3)=2/+9+\>0在(-1,+00)上恒成立,所以r(x)>0；所以当时,

2

函数f(x)在定义域(-1,*0)上单调递增.

如果严格遵循标准步骤,当〃(幻=*+2x+/,时，我们又来回答一下那四个关键问题,

便可以清楚的找出分界点了.

①'主导’函数是否存在零点？

答：因为A=4-8人<0,所以没有零点.

因为没右零点，自然之后几个问题就没白意义了.画草图可得力㈤=犷+21+公>0恒成立.

【配套练习3】(2014•湖南•理22节选)已知常数a>0,函数/(.r)=In(l+ar)-

x+2

⑴讨论/(x)在区间(0,+00)上的单调性；

“主导”函数不含一次项.题干对参数已经有了范围限制.

大家会问了，这个例题并没有用到“把二次拆成两个一次''的理论呀，那是因为这个题

足够简单，先让大家感受一下二次函数在指定区间上的图像比较没有变化的情形，它的开口，对

称轴，判别式△与0的关系都是确定的，基本不需要讨论，就可以准确作出“主导”函数

的图像，出题人为了让问题足够简单，甚至给出了。>1这一比较强的限制范围，但原理还

2

是•样，把“主导”函数在定义域内的图像与x轴的关系找出来就人功告成了.接下来我们

看看稍微复杂一点的情况.

【例题5】(2011•辽宁•理21节选)己知函数/(x)=lnx-ad+(2-a)x.

⑴讨论/(.V)的单调性；

对话与解答:八幻的定义域为(0,+8),求导得/«)=!-2四+(2-a)(x>0),这里一般需

X

要对这个导函数通分，得/8)=2，"+(2—〃).v+1,分子就变成二次型了，我们仍然令

2

h(x)=-2«x+(2-a)x+1,这一题明显比刚才复杂一些了，二次项系数和一次项系数均含

有参数，我们借此讲清楚一个最普通的二次型应该怎么一步步确定它的图像，总结出“主

导”函数为二次型时更具体的操作步骤.这种复杂的式子我们的首要原则是判断它是否是

“真的”二次型,第一个关键步骤也就是按二次项系数是否为0分为两大类，在二次项系数

不为0时，观察能否分解因式，改写为两个一次型的乘积，因为这样我们就可以回到第一类

题型，按原来的思路比较容易讨论清楚定义域申3“丰导”函数和0的关系，可能基本功比

较厉害的同学能采用十字相乘法看出来1，从而将-2ad+(2-a)x+l分解为

X

-a1

(2x+1)(-«%-1).

这里我们提出处理二次型的第二个关健步骤：尝试对二次型因式分解,观察能力需要通

过多练题，多这种拆解形成敏感性，如果没观察出来也不要紧，因为我们分解不了因式就会

想要去求-2〃/+(2-a)x+1=0的两根这个时候就会自然而然的先去算一下判别式

△,因为标准一元二次式求根公式为几2=一"±£一4竺,其中△=〃4%,具体到本

2a

题，A=(2-a)2-4x(-2«)xI=a2+4t/+4=(«+2)2,我们发现△是可以开方成一个整式

的，其实凡是能凭眼睛观察出来分解因式的二次型都具有这种特点，即A20恒成立且可以

开方，所以观察不出来也不重要，当然能直接观察出来还是尽量直接分解因式，可以节省一

些运算时间，所以工=(。-2)-(a+2)_1_(。-2)+(a+2)._1_,所以

'-4aa，2-4a2

-2加+(2-a)x+1可分解为-2g-।口+1),但这里有一个小细节需要注意，就是我们

a2

在使用求根公式时，我们已经是在-2〃『+(2-a)x+I一定是一个二次式的情况下进行的，

所以一定是在-2。工0时进行的上述分解操作，总之第一步是考虑二次项系数是否为0,第

二步是考虑是否能分解为两个一次型相乘.

⑴a=0时，由于不是二次型，所以先单独讨论，此时h(x)=2x+1,在(0.+8)上h(x)>0,

即73>0,所以f(x)在(0,+00)上单调递增.

(2)。工0时，/心•)=-2a(x-2)(x+l),我们可以从两个角度来看它的图像与x轴的关系，

a2

角度一：整体看，这是一个二次函数，终于到了我们的第三步了，首先还是考虑开口方向，

内为它的规律比较简单，易于把握.本题中二次项系数为-2a,当-2a>0,即。<0时，开

口向上.两个零点分别为工=，工=-1」如果要画出它在。+00)上的图像，就要进入第

1a22

四步操作了,因为x=-)鱼(0,小)，只需判断零点xJ是否在区间(0,4<c)内，因为。<0,

221a~

所以「任(0,+oo)；当-2a<0,即。>0时，开口向下，e(0,+oo).在本题中，在第三步中以

aa

0为界把参数分开之后，第四步中根与定义域的关系也同时确定了，不需要进一步再细分参

数的区间了，稍微减小了一下工作量，后面的例题6中我为会看到两个分类标准不能统一的情

况.所以答案如下：

①〃>0时，h(x)的图像如下图1,当0<x<L时，h(x)>0,即f\x)>0；当时，

aa

〃(尤)<0,即f\x)<0.所以f(x)在(0」)上单调递增,在(J,+8)上单调递减.

aa

②a>0时，〃(x)的图像如下图2,当x>0时,h(x)>Q,即/'(x)>0.所以/⑶在(0,+a>)

上单调递增.

图2s<0)

最后我们发现a=()和〃>0的情况是一样的，可以合并在一起说明，以上抽丝剥茧展示

的过程可能看起来冗长，但是我们是为了说明最开始就提出的那个重要道理：尽量清晰的刻

画“主导”函数在定义域内的图像和x轴的关系.

我们再来思考一下这个“主导”函数/心・)=-2a(x-!_)(%+L，它明显是两个一次型的

a2

乘积，那么它与一次型时讨论的思路有什么联系呢？这就引出了我们第二个看问题的方法，

我们重要的目的还是研究清楚-L(x+1>>0和-2心」)0+1)£0在定义域内的解

a2a2

集，因为-2g」)(")>0="+13+1)>00'一.”>°或「奴+1<°,显然

--I\

a2I2x+1>0l2x+1v0

‘一""+1<°在定义域内无解，而‘一""+的解集为-必+1>0的解集与2x+l>0的解集

{2x+1<012x+I>0

的交集，2工+1>0在。+8)上显然恒成立，对应于下图中黑色直线在定义域(0,+8)内全部

位于.V轴上方，下图中红色直线表示y=-ax+I,这条直线过定点(0,1),与x轴交点4'。)，

a

研究)，=-依+1在定义域内和x轴的位置关系就又问到类型一了，下图蓝色区域对应的x的

取值范围(心即为在空。时的解集，同理可以考虑的情况•

a[2x4-1>0

现在我们就能用这种视角把二次问题转化为同时考虑两个一次问题了，这种方法看起来

并没有比视角一直接考察二次函数的图像简单，那是因为二次函数图像本身可以画出来，而且

并不复杂，那我们为什么还要介绍这第二种思路呢，一方面是让大家理解讨论的本质以及题

目是怎么加大难度的，更透彻的去看讨论问题产生的根源；另一方面，提供解决“准”二

次问题的思考方法,例如2016•全国I•理21的“主导”函数为/?(x)=(x-i)(rv+2«),利

用这种降维处理思想，看作一次型X-1和“准”一次型廿+2。的乘积，就可以分开研究啦，

这是全国卷最近几年经常考的类型，不再是普通的二次型了，不能轻易画出的图像了，

但是思路仍然是有效的，从这个角度来看问题，就变得不难了，具体我们会在类型四详细演

示.

【配套练习4】(2017•全国HI•文21节选)已知函数fa)=lnx+or2+(2a+1*.

⑴讨论/(A)的单调性；

“主导”困数可分解因式

通过［例题5］我们总结•下二次型讨论的顺序，当“主导”函数为h(x)=ax2+bx+c

的形式时，我们应按以下步骤进行.

(1)d=0?

①若。=0,则“主导”函数为一次型，参见前文类型一的处理方式，得单调性；

②若〃w0,则“主导”函数为二次型，接着进行以下步骤；

⑵是否能分解因式？

①能分解因式(△一定大于等于零)，分解因式得到两个零点x，&；下接步骤三.

②不能分解因式，计算判别式△

i、AW0,画二次函数草图，结合开口方向，判断其在定义域上正负，得单调性；

ii、A>0,解出参数的范围：

⑶在△>()的情况下，根据二次项系数与0的关系，判断开后方向，分为〃>0和。<0两

种情况；

⑷判断两个零点为，占与定义域的关系，主要是利用导函数的草图，先画出对称轴，计

算端点处函数值，结合图像去判断，如果不能直接判断，就需要用求根公式得到两个零点

x„x2,用作差法判断和必和定义域的关系，据此可以把参数在上层范围内划分成很多小区间;

⑸若有两个零点在定义域内，比较当参数在指定小区间时，两个零点两，曲的大小关系,

可能会产生更小的参数细分区间.

以上比较完成后，我们便能准确刻画二次函数在其定义域内的图像，找到X轴上方的部

分对应的X的范围，即为参数在该小区间时，f(x)的单调递增区间；找到工轴下方的部分

对应的X的范围，即为参数在该小区间时，的单调递减区间.

—一般一个题U不会在以上的所有环节都需要讨论，比如【例题5］，在第一分了4=0

与。工0；在第二步分解因式后不涉及对参数的讨论；第三步根据开口方向分为了。>0和

。<0两层；第四步在判断两根与定义域的关系时并没有产生更多的层级：因为最多只有一

个零点在定义域内，不涉及第五步.

需要特别说明的是，我们在第二步单独提出了一定要形成优先去分廨因式这种思路，以

便快速得到两个零点，是因为这一步通常被很多同学忽视，尤其是面对多处含有参数的二次

式时，手足无措，脊背发凉.这个时候分解因式这个无招胜有招的技巧可能会让你“柳暗花

明”、“豁然开朗'，高考中的大部分题目也是能分解因式的，“迫不得已”再尝试求根公式.

我们总结了这么多环节是为了应付最复杂的情况的，大家不要被这些步骤吓到，一般具

体题目只会在其中两到三个环节进行讨论.即使每i环节都要讨论，只要严格按照这个步骤做

下去，一定可以做到“不重不漏”的清晰规范的讨论清楚的.

下面我们再讲解一道更复杂一些、讨论层次更多的例题，参数出现的位置千变万化，但

思考问题的思路不变.通过该题希望大家认真领会我们总结的讨论“二次型”的流程，这种题

型必须做到熟练掌握，万无一失.

【例题6](2015•山东理21改编)设函数/(x)=ln(x+l)+a(x2-x),其中〃6口

⑴讨论函数/(%)的单调性：

对话与解至/⑴的定义域为(f+oo),r(x)=_L+2ax-a(记得一定要通分哦，分式

x+1

2ar+ax+I-a

不好处理)=--------------，令h(x)=2ax2+ax+1xe(-1,+oo),这个式子的二次项

x+I

系数、一次项系数以及常数项都含有参数，很多同学直接花了，怀疑自己是不是求导或则通分

计算错误，在心理的对弈上，已经被出题人的下马威成功拿下了.如果不按步骤来，基木无从

下手，所以请大家回顾一下我们的基本思维顺序.我们详细操作一次，看看会遇到哪些细节问

题以及有什么处理上的小技巧呢.

第一步：a=0?具体到本题，二次项系数为加，是可能等于零的.讨论如下：

(1)当a=0时•/伞)=1>0，此时尸(%)>0，函数f⑶在(-1,+oo)上单调递增:

第二步：。工0时能分解因式吗？简单观察并实验了一下，发现不能分解因式；那么计

算本题中A=4(9a-8i,由AMO,得号(此时是在a工0的大前提下讨论)，这时

9

图像也比较简单，开口可以确定，讨论如下：

(2)当0<aW3寸，0，的)-0，f\x)20,函数f⑶在(T,+oo)上单调递增；

9

Q

由4>0,得a<0或a>_.

9

第三步：根据开口方向，。>0时，开口向上，。<0时，开口向下(此时是在。<0或a〉'

9

这个前提下讨论)，所以我们把剩余的参数取值范围又分为了两个区间(-8,0)和(8f8),

9

我们先研究时的情况，此时开口向上，A>0.

9

第四步：我们应该先看看这个条件下能做出精确到哪•程度的草图呢，开口，判别式,

对称轴，端点处和特殊点处的函数值应该是我们画二次函数草图时需要考虑的四个重要

要素，此时开口向上；A>0,有两个零点：注意到对称轴为x=-L>-\,

4

那么不需要计算，我们就可以判断两个零点为，占均在(-1，”)内，版以时刻保持画草

图的好习惯可以适当减少我们的计算量和讨论量,能定，生判断时，不要盲FI去定量求解，

—rA—a—d(9/-8)-a+-8)

可令玉二-------------,x,=-------------.

4a-4a

第五步：我们需要判断两个零点再，闷的大小关系，好在我们知道劝于一个标准的二次

型，当△>()时，标准根中一定有-0+-4"C一定是大于根一正一4ac的,所以XI，M的

大小只与分母2。的正负有关，即当。>0时，应>用；当〃<0时，应<再，具体到本题，

当时，x+>x,此时，所有不确定的因素都确定

924a'4a

下来了，可以得出如下形式的答案：

01

(3)当。时，A>0，注意到〃(―1)=2〃—，对称轴为尤=-，所

94

以/心)=0在(-1,+8)内有两根x=F-49a_8)，工=-a+^9a-8)，且_j<x<x,

14424a12

所以当xe(T,再)和(占，+°°)时，人(x)>05/,U)>0»函数f(x)在(T,M)和(如+8)上单调

递增；当XC(X|"2)时2(工)<0，/'")<()，函数/(X)在区,石)上单调递减；

再研究a<0的情况，此时开口向下，A>0,

第四步：因为/?(-1)=2〃-〃+I-。=I,对称轴为仍然做一下〃")的草图,

4

如下图可以看到只有较大的根才位于定义域内.因为。<(),一定有

-I的大小问题了，所以第四五步也可以一起进行，为了方便大家理解最i般的情况，我们

叙述的尽量详细，我们分为了两步,这种划分并不是绝对的.最终可讨论如下：

(4)当。<0时，A>0，注意到力(-1)=24-〃+1-。=1，对称轴为4=」>-1，所以

4

%(x)=0在(-1,4-co)内仅有一根x=―――—,所以当xG(-1,X,)时，A(x)>0，

24a

f\x)>0'函数)(力在(-1,均)上单调递增；当。€(电,”)时,/7(A)<0«f\x)<0，函数/⑴

在(、2,叼)上单调递减：

当然，最后我们发现(1)、(2)的情况可以合并说明.参数在(-8,0)、「0,，1、(\+8)

(9」9

这三个区间上时，函数/(%)具有完全不同的单调情况，这三个区间相互之间没有交集，三

个区间并集正好等于题干限制的参数的范围(本题。eR)这就是做到了所谓的“不重不漏”、

“层次清晰”.

【配套练习5】(2016-天津-理20节选)设函数f(x)=Q-1)3-a.入xwR,其中〃⑦三R.

⑴求f(x)的单调区间；

“主导”函数不可分解因式

其实我们计算时还会遇到很多难点，比如定义域也含有参数的情况，讨论起来可能在第

四步判断h(x)的零点与定义域的关系时又会增加难度，但只要我们思路清晰，一心想着我

们正真的目的是通过“四步法”画出/7(A)在定义域上的准确图像，那么就占据了主动权，

而不会被题目牵着鼻子走，不会在讨论的迷阵中“晕头转向”、无法自“拔”.例如：

【例题7】(2013•广东•文21改编)已矢口函数/(x)=x3一而2+X伏VO).

(II)讨论/(x)在恨-A］上的单调性;

定义域和函数含有同样的参数，

对话与解答:f(x)的定义域为R,/口)=3/-2履+l(A<0),其开口向上，对称轴xJ,

3

且过点(0』).."<0,2<9<0<-4,明显不可分解因式，计算得△=4公_12.

3

(1)当A=4k2-12=4(4+忑)伏一法)40时，即一途£女<0(注意大前提是k<0)时，

f\x)>0,在［TU］上单调递增；

(2)A=4，12=4(Z+我/-我>0,即女<—忑时，令广。)=31—2心―1=0,解得：

卜一右下,x?=k+M2-3,接下来最重要的是判断这两根在伙「阿内吗？由之前对开

33

口方向和乂寸称轴的分析，加上端点处的函数值f\k)=公+1>0,特殊点处函数值A(0)=1>0,

所以画一下尸⑴的草图，如F，可以判断两根均在卜,0］上，当然我们也可以代数计算，明

显x<x,又k-小-3-k=2k《、3,且々〈-第时，4k2>1-30-2k>〃2_3，

33

结合广㈤的草图可知，/(X)在三“言二，-』上单调递增，在

I和I」_____

D3』|L3』

「k-/f^-k+k2-F3^-

I—1-----,—2------I上单调递减，

[33Ij

【配套练习6](2012•广东•理21)设,集合4={工£a1＞。},

B={xe/2X2-3(1+耽+64＞()},D=AnB.

⑴求集合D(用区间表示)；

(II)求函数/Cr)=2?-3(1+a)/+6处在D内的极值点.

定义域和函数含有同样的参数

相信经过这些例题的讲解和配套练习的训练，对于“主导”函数h(x)=渥+hx+c的形

式的处理办法大家已经能熟练掌握了，请在解题实践中通过训练反复应用该方法并提高计算

速度和精确度，争取在考场上又快有准的解决这一类问题.接下来，我们还要来讨论一下近两

年在二次型基础上新出现的变化形式一一“准二次”型的处理办法.

类型四："主导"函数为"准二次”函数型

让我们先来看一道例题，了解一下什么是“准二次”型.

【例题8】(2016•全国I•理21改编)已知函数/(x)=(x-2)"+a(x-1)2,。eR.

(I)讨论/(x)的单调性;

对话与解答/(丫)的定义域为(—,­)，/(r)=(r-1)炉+2〃(一1)=(—1)("+2〃).

算到这里，我们感觉到了熟悉，但也感觉到了陌生，就像一个“最熟悉的陌生题”.熟悉在

于主导函数仍然是两个部分相乘;陌生在于相乘的两部分，一个是一次式，另一个是含有"的

超越式，很多同学没有经验的话，会误以为做不下去了，但是经过我们类型一和类型二基础的

训练，我们知道“准一次”和一次式基本等同，很好找零点，再结合类型三中我们介绍过

的“把二次拆成两个一次”的思想方法，实际上处理f(x)=(x-1)(e，+2幻＞0。'x-l＞0

储+2。＞0

或者।x-l<0这两个不等式组的解集的并集，由xT=O解得x=l,由e'+2a=0解工的

J+2。<0

范围时，先移项得"=-2〃，接下来就要两边同时取对数了，那就对右侧的-2。提出了限制，

由此引起了讨论.

⑴当时，"+2a>0恒成立，fx-l<()无解，'x-l>()的解集为(1,+8),同

+2a<0je'+2a>0

理可得/a)=a-i)e+2〃)<o的解集为(-00』),所以/⑶在(-8/)上单调递减，在(i,+8)

上单调递增；

⑵当〃<0时，由/+2〃=()解得x=ln(-2a),画出x-1和e'+2a在同一坐标系中的草

图，可以看出3点横坐标见=ln(-2a)与A点横坐标4=1的位置关系并不固定，还得再次

讨论.

①当】n(-2a)>l,即〃<="时，图像如下，可以看出其图像与二次函数图像十分相似，

2

只不过极值点右侧变化速率较快，这是由它的导数决定的。结合图像及不等式解的原理可知，

当xe(l.ln(-2a))时，f'(x)<0»当xe(-8,-1)或xe(]n(-2a),+oo)时，f'(x)>0,所以f(x)

在(l,ln(-2a))上单调递减，在(-8,-1)和(ln(-2a),+co)上单调递增；

②当ln(-2r/)<1,即“之-"时，图像如下，结合图像及不等式解的原理可知，当

2

x€(ln(-2fl),l)时，f'(x)<0,当x€(-oo,ln(-2a))或x€(1,+oo)时»f\x)>0,所以/'(x)在

(In(-20,1)上单调递减，在(-os,ln(-20)和(1,+8)上单调递增；

2

个“准一次”式的函数的图像跟二次函数图像卜分相似，可直接类比二次函数，找出零点后画

草图即可。

[例题9](2017•全国I•理21节选)设函数/@)=〃/、3一2)全一%.

⑴讨论/(x)的单调性；

对话与解答:f(x)的定义域为(-8,+8),/(6=2〃*、+伍_2)"-1,这里需要将炉看作一

个整体，分解因式得/(M=(ae'-1)(2出+1),再看作两个“准一次”相乘，利用降维处理

思想，处理两个“准一次”式子与0的关系即可，甚至可以用换元法，令"=々>0),则

f\x)=h(t)=2at2+(a-2)：-\=(0-1)⑵+1),接下来就等价于讨论〃⑺在(0,+oo)上大于0

和小于。的解集的问题了，显然力+1大于0,最终归结为对@-1这个一次型的讨论了，所

以本题是可以通过换元或者将/看作一个整体进行因式分解而化归为常规的二次型的问题.

边变形，边观察是否有部分因式的符号是固定的，逐层简化，直至退到一次型为止.答案如

下：

⑴若a<0，则f\x)<0,所以f(x)在(TO,+oo)上单调递减.

(2)若。>0,则由/。)=0得x=-Ina.当xe(-oo,-In〃)时，尸。)v0；当xe(-ln4,+<»)

时，/,(x)>0,所以/(心在(-oo,-lna)上单调递减，在(-Ina,+03)上单调递增.

【例题10](2017•山东•理20节选)己知/(x)=*(cosx-sinx+2."2)-a(x2+2cosx).

其中e=2.71828…是自然对数的底数，awR.

⑴)讨论/(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

对话与解答：/'(x)=er(cosx-sinx+2x-2)+<?r(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=

2(x-sinx)(^-a),很多同学看到包含三角函数的导数题就发怵，其实没必要，高考题H一

般都是经过巧妙设计的，导函数一般都在我们可研究的范围内，得先鼓起勇气算一算，该抵

消的抵消，该提公因式的提公因式，结果你看，也没多复杂嘛，也是两部分相乘，常数2

可以不管，不影响整个式子的正负，这个尸⑴在例8的基础上，乂