导数与图像课件

I.利用导数判断函数的单调件的方法：

如果函数），=/（处在x的某个开区间内，总有r@）＞（）,那么/。）在这个区间上是增函数；如果

函数y=/*）在X的某个开区间内，总有r（x）＜。，那么人幻在这个区间上是减函数.

2.利用导数研究函数的极值：

函数y=/（x）,设/是定义域内任一点，如果对与附近的所有点x,都有/⑴＜/（%）,那么称

函数/0）在点与处取极大值，记作为大=/（%）.并把凡称为函数〃工）的一个极大值点.

如果在与附近都有八幻＞f（A0）,那么称函数/（X）在点七处取极小值，记作y极小=/（天）.并把

称为函数/3）的一个极小值点.

极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.

3.求函数.y-/（x）的极值的方法；

第1步求导数f\x）;

第2步求方程/。）=0的所有实数根；

第3步考察在每个根与附近，从左到右，导函数r（x）的符号如何变化.如果广（幻的符号由正

变负，那么/（,%）是极大值；如果由负变正，那么/（/）是极小值.如果在r（x）=o的根

X=X0的左右侧，/'（X）的符号不变，那么/（见）不是极值.

4.函数/（%）的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值.

求函数最大（小）值的方法：

第1步求/“）在指定区间内所有使ra）=o的点；

第2步计算函数八用在区间内使广（幻=。的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，

最小的为最小值.

司典例分析

题型一：原函数与导函数的图象

【例I】函数/（X）的导函数图象如以下图所示，那么函数/"）在图示区间上〔〕

A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点

C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点

【例2】函数/*）的定义域为开区间（a"）,导函数/'"）在（a,力内的图象如下图，那么函数/5）

在开区间S"）内有极小值点〔〕

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例3】假设函数/（x）=/+A+c的图象的顶点在第四象限，那么函数r0）的图象不过第几象限?

【例4】假设函数/。）=/+氏+c的图象的顶点在第四象限，那么函数/'⑴的图象可能为〔〕

【例5】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶

路程.s看作时间/的函数，其图象可能是〔〕

【例6】设广⑶是函数的导函数，），=/（.1）的图象如以下图所示，那么），=/（x）的图象可能是

（〕

【例7】函数/（、）的导函数的图象如右图所示，那么函数/（力的图象最有可能的是〔〕

【例8】函数二矿⑴的图象如右图所示［其中八x）是函数/（幻的导函数〕，下面四个图象中

的图象大致是〔〕

【例9】尸（幻是“外的导函数，尸（幻的图象如下图，那么/（x）的图象只可能是〔）

【例10】如果函数），=〃x）的图象如图，那么导函数），=（（外的图象可能是〔〕

【例II】设是函数f（x）的导函数,将y=f（x）和y=f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中,不

可能正确的选项是〔〕

【例12］如下图是函数的导函数），=r（x）图象，那么以下哪一个判断可能是正确的（〕

A.在区间（-2,0）内y=/（x）为增函数

R.在区间(0,3)内y=/(x)为减函数

C.在区间(4,+oo)内)，=/(x)为增函数

D.当x=2时y=f(由有极小值

【例13】如果函数)，=/(幻的导函数的图象如下图，给出以下判断:

{3,-；)内单调递增;

①函数)：=/0)在区间

②函数y=fM在区间［-1,3)内单调递减；③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;

④当％=2时，函数y=/(x)有极小值；⑤当x=-;时，函数)，=/(x)有极大值；

那么上述判断中正确的选项是___________.

【例14】函数/")=丁-/+3的图象大致是(：〕

【例15】函数的图像如以下图所示，那么其函数解析式可能是〔〕

A.f(x)=x2+ln|.v|B./(x)=x2-ln|jc|

C./(.r)=x+ln|x|D./(x)=x-ln|x|

【例16】函数/(X)=(X2-2KW的图象大致是〔〕

【例17］如图，一个正五角星薄片〔其对称轴与水面垂直〕匀速地升出水面，记，时刻五角星露出

水面局部的图形面积为S(/)(S(O)=O),那么导函数)，=5«)的图像大致为(〕

【例18】函数)，=2'-/的图像大致是〔〕

【例19】函数/(x)的导函数外幻的图象如下图，那么函数/。)的图象最有可能的是〔〕

【例20】R上可导函数/(x)的图象如下图，那么不等式“2_2X-3)/'(工)>0的解集为：〕

A.(F,-2)U(1,+8)B.(-oo,-2)J(l,2)

c.y,-1)U(-1,0)U(2,+8)D.yi)U(3,+8)

【例21］己知函数/(力=/+加+c,其导数广⑴的图象如下图，

那么函数的极小值是〔〕

A.a+h+cB.8〃+4/?+cC.3a+2bD.c

题型二：函数的单调性

【例22】函数y=4A*2H—的单调增区间为〔〕A.(0,+8)B.—,+colC.(―—I)

1D.—03,--

xk2J2J

【例23】以下函数中，在区间(1,+8)上为增函数的是〔〕A.y=-2'+lB.y=—

\-x

C.y=-(x-i)2D.y=log,U-l)

2

［例24］函数/")=xlnx(x>0］的单调递增区间是.

【例25】三次函数)，=/(幻=加-1在(~00,+8)内是减函数，那么〔〕

A.ci-1B.〃=2C.D./7<0

【例26]函数/(x)=x23-1)的单调递减区间是________.

【例27】函数〃x)=V-3V+1是减函数的区间为(：〕

A.(2,+oo)B.(-00,2)C.(9，0)D.(0,2)

【例28】函数产xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数〔〕

【例29】假设片以与)，=-2在(()，+8)上都是减函数，对函数)，=江+区的单调性描述正确的选

x

项是(：〕

A.在(―，+oo)上是增函数B.在(0,+8)上是增函数

C.在(F,+00)上是减函数D.在(-oo,0)上是增函数，在(0,+00)上是减函数

【例30】函数/(x)=or'+(〃-l)f+48俏-3口+〃的图象关于原点中心对称，那么“力〔〕

A.在[TB，46]上为增函数

B.在[YG,47rl上为减函数

C.在卜G,+8)上为增函数，在(-CO,-46]上为减函数

D.在(-co,-4行|上为增函数，在[46+8)上为减函数

【例31】假设/(x)=a?+/zx2+cx+d(〃>0)在R上是增函数，那么〔〕

A.〃一包。20B.b2-4ac^：0

C.从一3。。20D.b2-3ac^0

【例32】假设/*)=-gf+〃ln(x+2)在(-1,+⑹上是减函数，那么〃的取值范围是〔)

A.[-1,+oo)B.(-1,+00)C.(―0C»-1]D.(—00,—1)

【例33】函数/(%)=£(〕

X—1

A.在(。,2)上单调递减R.在(-oo.0)和(2,+8)上单调递增

C.在(0,2)上单调递增D.在(-co,0)和(2,+8)上单调递减

【例34】假设函数/("=一二，那么/(x)C〕

A.在(-00,+8)单调增加B.在(70,+8)单调减少

C.在(-1,1)单调减少，在(-00,-1)与(1,+8)上单调增加

D.在单调增加，在(-00,-1)与(1,+8)上单调减少

【例35】函数/(工)=3^+/+我一5,假设/(x)的单调递减区间是(-3,1),那么。的值是.

【例36】函数/*)」月+丁+依-5,假设/(X)在|1,+8)上是单调增函数，那么。的取值范围是.

3

【例37])，=：^+加+S+2)x+3是R上的单调增函数，那么方的取值范围是(：〕

A.或人>2B.bW-l或bN2

C.-\<b<2D.-lWbW2

【例38】假设函数/叱2后+2在2⑹上是增函数,那么实数k的取值范围是(〕

A.[―2,+8)B.[2,+8)C.(—8,-2]D.(-oo,2]

【例39]^)=2x--+-,^)=A(x)+lnx,且g⑺在。,+oo)上是增函数,那么此时实数k的取值

范围是______.

【例40】假设函数〃.*)=.，—M+］在(0,2)内单调递减，那么实数〃的取值范围是〔〕

A.ae3B.a=3C.aW3D.0<a<3

115041］假设函数/(x)=V一依2+］的单调递区间为(0,2),那么实数〃的取值范围是〔〕

A.。力3B.A=3C.aW3D.0<<7<3

【例42】函数/。)=4》+0^一：丁在区间卜［,］］上是增函数，那么实数〃的取值范围为.

【例43】假设函数/(幻=4工+加-，在区间(70,-2)与(2,+8)上都是减函数，那么实数4的取值

范围为.

【例44】函数)，=4/+」的单调增区间为〔〕

x

A.(0,+co)B.{-,+81C.(―co,—1)D.—oo,—

U)I2)

【例45】对于R上可导的函数f(x),假设满足(.1-1)尸")20,那么必有(：〕

A./(0)+/(2)<2/(1)B./(0)+/(2)W2/⑴

C./(0)+7(2)22/(1)D./(0)+/(2)>2/(1)

【例46】函数“X)是偶函数，在(0,+8)上导数;(工)>0恒成立，那么以下不等式成立的是〔〕

A./(-3)</(-1)<J(2)B./(-1)</(2)</(-3)

C./(2)<f(-3)<f(-l)D./(2)</(-1)</(-3)

【例47］/")是定义在(()，+◎上的非负可导函数，且满足4")+/(x)W0,对任意正数4,方，

假设。<〃，那么必有(〕

A.aj\a)bf(b)B.bf(b)Waf(a)C.af(b)bf(a)D.hf'(a)cif(b)

【例48】设/(x)、g(x)是R上的可导函数，:⑺、g")分别是〃力、g(x)的导函数,且

/r(x)^(x)+f(x)g*(x)<0,那么当avxvb时,有〔〕

A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B./(x)g(a)>/(a)g(x)

C.f(x)^(b)>f(b)g(x)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

【例49】函数"x)=ln(x+l)-也在)，2)上单调递增,那么实数〃的取值范围是.

【例50】函数〃x)=-X、江_x-1在(F,+8)上是单调函数，那么实数。的取值范围是(：〕

A.(-00,便，+8)B.［-收6］

C.(-00,-©U(G,+8)D.(->/3,V3)

【例51】假设函数/(x)=d+/+如+i是R上的单调函数，那么实数的取值范围是(：〕

A.(-,+co)B.(-oo,-)C.［-,+00)D.(-co,-］

3333

【例52】对任意实数R有/(-幻=-/(幻，g(r)=g(x),且x>。时，f\x)>0,g\x)>0,那么xvO

时〔〕

A.f\x)>0,g\x)>0B.f(x)>0,g'(x)v。

C.f(x)<0,g'(x)>0D.f(x)<0,g'(x)v。

【例53】函数/(x)=lnx-gar?-2x("。)存在单调递减区间，求〃的取值范围.

【例54】设函数其中判断函数/*)在定义域上的单调性.

［例55］函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(ci,beR).

假设函数/⑴在区间(T,1)上下单调，求〃的取值范围.

【例56】函数)，=〃『--+.5在区间(—，+00)上单调递增，求〃的取值范围.

【例57】函数r(x)=2o¥--,je(0,2],假设/(x)在xw(O,I]上是增函数，求。的取值范围.

x7

【例58】设〃为实数，函数/卜)=9-♦+S—1卜在(-oo,0)和(1,+oc)都是增函数，求。的取值范

围.

【例59】函数八刈=竿心的图象在点M(-l,/(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.

x~+b

⑴求函数y=/(x)的解析式；⑵求函数)，=/*)的单调区间.

【例60】函数f(x)=21nx-x.

⑴写出函数的定义域，并求其单调区间；

⑵曲线y=/(x)在点(%,/(/))处的切线是y-6-2,求A的值.

【例61】函数f(x)=lnd一犯，(〃wR,e为自然对数的底数〕.

e

⑴求函数/(外的递增区间；

⑵当«=1时，过点P(0,/)(reR)作曲线y=/(x)的两条切线，设两切点为

6(%,/'($)),用(勺，/(々))(凡工”2)，求证：%+9=。.

【例62】函数/(X)=-x2+ax+1-InJC.

⑴当a=3时，求函数“力的单调递增区间；

⑵假设在区间(0,£|上是臧函数，求实数。的取值范围.

【例63】函数/(力=处.

⑴判断函数/(x)的单调性；

⑵假设),=4(力+-的图像总在直线y=〃的上方，求实数。的取值范围；

⑶假设函数/")与亦)=如-三十|的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，

求实数”的值.

【例64】