平面向量的应用

第六章平面向量及其应用

6.余弦定理、正弦定理A.百B,2

(I)余弦定理：C.2&D-3

cT=tr+c2-2bccosA,【答案】B

b2=<^+a2-2cacosB»【详解】山余弦定理得，

c2=cf+b2-2zz/>cosC.a2=b2+c2-2J)ccofiA=>4=h2+12-6/?，即“

推论：〃一劭+3=0，

b2+c2-a2用〃攵，乂〃，

cosA=--------------;=298=4<c/?=2-

2bc

故选：B

c2+a2-h2

cosHD=--------------;

2ca【变式L2］在A"。中，cosC=-］，BC=1，

「a2b2-c2

cosC=----+----------.

2ahAB=4yf2»则4C=。

(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角

A.21B.5

5

形.

C.—D.6

(3)正弦定理：—=2/e(R为外接圆半4

sinAsin8sinC

【答案】B

径).

【详解】解：在."C中，由余弦定理得

(4)面积公式：S=—absinC=—acsinB=—bcsinA.

222

AB1=AC1+8C2-2ACBCcosC，

余弦定理

代入数据得(4右J_AC2+i-2“(-1)AC，因为

例1.已知AABC中，角A员C的对边分别是“，反c，且

AC>0解得AC=5，

〃=b=瓜,人=30°»贝II。=。

故选：B

A.&B,2及

【变式1-3】已知dABC中，a?=H®c，则角A

C.a或2&D.2或右

等于。

【答案】C

A.30。B-60°

【详解】在dylBC中，〃=&，b=6人=30°，

C・120。D.］50。

由余弦定理得力+d-2bccosA,

【答案】

2=6+c2-2>/6(?x冬即/-3&c+4=0,A

【详解】由，MC中，/=02+/一瓜可得

解得c=&或c=2&，

述b'+c2-a2G

COSA=--------------=，

2hc2

故选：C

由「As(0,n)，故A=—，

【变式1-1】设44BC的内角A、B、C的对边分别是a、/)、c・6

(7=2,c=2\/3,/1=—»且b<c，则&=。故选：A

6

【变式1-4】在中，内角A、4、C的对边长分别为所以cos。二忙=11妥=一走，

lac2V32

a、b、c，已知3c°s/=g,且/十二纺，则6=()

costcXB€(0,180°).

A.4B.3

所以B=I50°・

C.2D.1

故选：B

【答案】A

【变式1-7】在©"C中，角人民。的对边分别为久心一

【详解】3cos=q,即为3aos="cosC,

cosCc若b=c=2ci，则cos3等于。

即有3c.6+。2-/=a./+丁一。2,A.1B.1

2bclab84

即有东-/=1〃，C.1D.1

232

又w-c^ib,则劝=>!■〃，【答案】B

2

【详解】解:因为〃=c=〃，所以

解得b=4.

1222

na+c-tra-+4a-4aI

cosB----------=-------------=—•

故诜：A.2ac船x2a4

【变式1-5］在AABC中，若故选：B

A3=G-L8C=百+1,4C=«，则8的度数为。

【变式1»】在中，(a+b+c)^a+b-c)=3abt

A.3()B.45

则边c所对的角等于()

C.60D.120

A.45°B.60°

【答案】C

C.30°D.150°

【详豺】因为人〃=百\,BC~j3I1,AC-76•

【答案】B

所以由余弦定理得

【详解】因为

„AB2+BC2-AC2(X/3-1)2+(X/3+I)2-(X/6)21

COSH=-----------------------------=-------------f=-----------7=--------=一

2AB・BC2x(x/3-l)x(x/3+l)2(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2=cr+Z?2-c~+lab=3ab

9

因为0。<5<180°，

所以一dlabcosC=ab即

所以8=60。，

cosC--.所以。一60

2

故选：C

故选：B

【变式1-6］在A4BC中，角人从C的对边分别为《久厂

例2.已知的内角AB,C的对边分别是“、反c，

若建=l,b=币,c=6，则B等于()

则“a2/-0?<0”是“^ABC是钝角三角形”的()

A.30°B.150°

A.充分不必要条件

C.30°或150。D.60°或120°

B.必要不充分条件

【答案】B

C,充要条件

【详解】解：因为。=1,〃=近1=6，

D.既不充分也不必要条件由题意，/仅整数值，故c的大小可取5成7・

【答案】A故答案为：5（填7也对，答案不唯•）.

【详解】/而"<0,由余弦定理得:【变式24】在jABC中，若加cos8=c，则该三角形一

8G上6江

<0，定是（）

2ab

A.等腰三角形B.直角三角形

即c为钝角，放充分性成立，

C.等边三角形D.不能确定

若钝角三角形中B为钝角，则c为锐角,

【答案】A

cosC>0，即有a2拓2-1、0,故必要性不成立.

【详解】因为2«cosB=c'

故选:A.

所以由余弦定理得2a.9士M=c，

【变式2」】已知A48C是钝角三角形，内角人8、C所2ac

对的边分别为《40,〃=3，/）=4,则最大边c的取值范所以a?+/—/=/，所以°2=5,

围是.（结果用区间表示）因为a>0/>0，所以〃=〃，

【答案】（5,7）所以.女为等腰三角形，

【详解】因为“既是钝角三角形，最大边为c,所以角故选：A

C为钝角，【变式2-41的三边长分别为/犯=7，BC=5,

在ABC中，由余弦定理可得：CA=6,则BABC的值为_____.

co$C='+"3=9+16—'2<0,可得0>5，【答案】19

2ab24

【详解】由题意可得:

乂因为cva+0=7，所以5<cv7，

AB2+BC2-CA249+25-3619

cosAABC-

所以最大边c的取值范围是：5<C<7-2ABBC2x7x5-35

故答案为：（5,7）.故BA・8C=|8AH8C|COSZ48C=7X5X—=19,

【变式2-2】设AABC的内角人反。的对边分别为

故答案为：19

a、b、c•已知a=6，b=2，要使为钝角三角形，则

【变式2-5】在中，NA=60°,A"=2，M在边BC

，的大小可取（取整数值，答案不唯一）.

上，且8W=2MC/W=2G，则AC=.

【答案】5（填7也对，答案不唯一）

【答案】2/

【详解】首先由a，b，c构成二角形有

【详解】在《ABM中，N3=60°,A8=2,4M=26'

4=a-b<c<a+b=S，

AM2=AB2+BM2-2A/?-/?>Wcos60，即

若，•为钝角所对边，有>42+3=4],c廊,

12=4+W2-2AW'

若a为钝角所对边,彳J36=ci~>b2+c~=4+c~,

解得BM=4，8财=-2（舍去），由8W=2MC可得

c<V32，

MC=2,:.BC=6，

由b<a，方不可能为钝角所对边，

故3=6+8。、248・8Ccos60=40-12=28，

综上，c的取值范围是（4,后卜（740,8）.

故AC=2",

【答案】45或135

—―u.一

32

【详解】由正弦定理得：

【答案】B

.„bainA2x/2sin300

sinB=-----=---------=——'sinAcosB,sinAsinB

a22【详解】因为f义「b

ab

a<b'.-,30<B<150♦.\8=45或135・

,,costfsinB

/"IkA-

【变式4」】在AABC中，A=60。，AC=2,bb

又万），

8C=J5，则角6大小为()tan=1»4€（0,

A.90B.60B=一.

4

C.45i).30°故选：B

【变式4M】在448C中，a=x/拓，4=120=»则角B的

【答案】A

大小为O

【详解】解：由正弦定理三=3,得

AB

sinsinA.30。B.45°

x/3_2

C.60°D.goo

sin600sinB

解得：sin5=1.又8e(0,;r),【答案】A

.•.8=90。，【详解】山正弦定理，_=_2_,

sinAsinB

故选A.

得.DbsinA岳母1，

【变式4-2］在△知。中，a&c•是AB,C所对的边，sinB=-----=-年-=—

a屈2

且口=>/3,b-y/b»13=45•则角A=()

又A>B，所以B=30°，

A.30°B.150°

故选：A.

C.30°或150。D.135°

【变式44］在a4BC中，a=8,8=60°,C=75。，则6=

【答案】A

()

【详解】a=G，b=瓜,8=45。，

A.4V2B.4>/3

由正弦定理可得」一=」一，则

n22

ABC.4"

smsin•T

.R5/3X—［

««sinB91，【答案】c

sinA=------=----1=^-=—

bV62

【详解】由:角形内角和：A=180°-60°-75o=45o

a<b,:.A<B,：.A=30.

根据正弦定理：一J=—,又

sinAsinB

故选:A.

o..x/2.一正

【变式在中，若卫上=笑则角为a-8,smA-——.sinB

43］AMC10,32一2

ab

n7T

64

故选；cBC23—AH2+AC1—2ABxACxcosA=7=BC=V7,

【变式4-6】在中，角A&C所对的边分别为该ABC的外接国的半径为「，

，若ZA=45,a=夜力=6，则/C=()则由正弦定理得：

A.60B.75

C.60或120D.15或75

2

【答案】D故答案为：2£.

3

【详解】因为在中，乙4=45,。=0,。=6，

例，在.・.他。中，角AB,C所对的边分别为

由正弦定理得，一=_2_，可得

sinAsin13a,b,c-若〃=4，b=y5cos(8+。)=一3,则角B的大

._bsinA\/3sin45x/3

sinB=------=----==——=——‘

a412小为()

又由0<5<180，所以5=60或4=120，

A.?B.-

63

当B=60时，可得

八2兀5兀

C.—D.—

C=18()一(4+8)=18()-(45+60)=75:36

【答案】A

当B=120时，可得

【详解】5cos(/3+C)=-5cos4=-3,所以

C=180-(A+B)=180-(45+120)=15，

3~I*

故选：D.cosA=二，乂4£(0,万)，所以5亩川=一，乂々=4,

35

【变式4-7】在a"。中，若A=60,“=G，则

5

b+C=()54?1

〃=一,所以下=-----，解得sinB=一,因为a>。，

sinB+sinC24Sin52

5

A.—B.2

2

Be(O,方)，所以B=~.

C.3D.2X/36

故选：A.

【答案】B

【变式5」】在二人8c中，内角ABC所对的边分别为

【详解】因为，_=_2_=_J,所以

sinAsinBsinCa,b,c»若“=6，$巾4=名2，COS8=3，则8=()

b+ca816

----------=-----;

sinfi+sinCsinA

A.8B.6

a_V3

因为A=60M=G，所以而7一耳一•C.5D.3

y

【答案】C

故选:B.

【详解】在4ABe中，0<3<九，

【变式4-8】已知4BC中，AB=3，AC=2，

,cosB=^~»sinB=-cos：B=，

ZA=60°»则AABC的外接圆面积为.1616

由正弦定理得/>=也2=5，

【答案】办sin4

3

故选：C.

【详解】解：根据题意，由余弦定理可得

【变式拼2】己知在备AB。中，tanA=l，costf=-»A.邪B.2

C.瓜D.3

BC=10,贝=.

【答案】C

【答案】14

【详解】设.ABC的边长为〃，

【详解】•；在..ABC中，tan4=l，cos8=g，

则#峭3,f2

在AfiCQiLBC=2'ZBCD=\20•ZBDC=45-

・•・3sin…=匹/+正3述，

由正弦定理得当=-生

252510

sinZBCDsinZfiDC

即」2_=_2_

：BD=R-

sin120sin45"i'

故选：c.

故答案为：14

【变式5-5】在乙A8C中，。是边8C上的一点，

【变式5.3］在中，a=4,b=3.

ZC=40°>NCAD=60°，BD=AC，则/。8八=()

3

))十

cos(A-BcosB-sin(A-8sin(AC)=g,则角8A.15°B.30°

的大小为。C.45°D.60°

71

A.-B.【答案】B

67

7T51

C.—

3~6

【答案】

A【详解】

【详解】由如图所示在.4X7中，ZC-40-ZC4Z)-60•

3所以，由正弦定理知

cos(/\-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=,得NADC=80

3AD:AC=sin40:sin80♦

cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=cosA=,故

设AD=Asin40‘4C=>sin80,A>0,

sinA-Vb-^77=-

所以8O=AC=ksin80,

5

5设ZDBA=a，

4o17r

又正弦定理得.二=/二,解得sin»==.故月=一

3sin826在Z\A8。中，由正弦定理得：

5

傻=—BD,即包竺_=疝80,解得

—c5"sinasin(80-a)sinasin(80-a)

或B=—

6

a=30•

又因为。=4力=2,所以〃>>，故A>8,则区=工.

故选：氏

26

故选：A.例6在「.48。中，角A8,C所对的边分别为4〃,(?，已知

【变式5”】已知「/Be是面积为G的等边三角形，点a=2.b=LeosC=—>则•ABC的面积为。

3

/)在线段AC的延长线上，若N4/)C=45，则B/)=O

2V21

Au①

A・------B.7,S/SABC=:ac$inA=Jx8x7x=28-

33

c.41D.2&故选：D

【答案】A【变式64］已知分别为二ABC内角A8.C的

【详解】因为，所以

cosC=gCe(O,^).对边，sinC=—,c=4,B=—>则…ABC的面积为。

54

sinC=>/l-cos2C=~~，所以A.1B.2

C.1或7D.2或14

I八.「1.2x/22y/2

Sc=—«/>smC=-x2x1x------=--------

2233

【答案】C

故选:A.

【详解】由二£_=可得”=逑，

【变式6」】AA8C的内角人反。的对边分别是aec，若sinCsinB2

因为sinC=±，所以cosC=-2或3，

人=工力=2，且,"C的面积为W,则。=()

555

62

,,sin4=sin(B+C)-sin—cosC+cos—sinC=-

A.1B.24410

C.3D.4逑，

10

【答案】C

Swc=—Z>rsinA='x4xx=1，

22210

【详解】因为SiliC=—»所以，x2cxsin生=3，解

2262或°k-4I.5x/27>/2_

“XSAKr=_bcsinA=-x4x-----x-------=7•

得板22210

故选：C.

故选：C

【变式6-4】在.ABC中，角ABC的对边分别为

【变式6-2］在^ABC中，内角A8,C的对边分别为

aj),c»若cosA=』，B=—>且乙ABC的外接圆面积为a、b,c-c=4,sinC=2sinA,sinli=,则“=

4

54

---------，S&XBC=-------------------♦

25i»则^ABC的面积为。

【答案】2,715•

A.24B.25

【详解】试题分析：由正弦定理，一=，_得也=

C.27D.28sinAsinCsinC

【答案】D因为sinC=2sinA

【洋豺】埼如八处的外接圆半径/?=5.lllcosA=!可得