八年级数学上册（人教版）专题13 等腰三角形中的分类讨论模型（原卷版）

专题13等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）例1．（2023·辽宁盘锦·八年级校考月考）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（）A．26或28 B．26 C．28 D．例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（

）A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对例3．（2023春·四川达州·八年级校考期中）等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（

）A． B． C．或 D．或例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为．例5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个例6．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．9个例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是．例8．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______．例9．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．(1)用含的代数式表示线段的长；(2)连结，当时，求的值；(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．

课后专项训练1．（2023·四川成都·七年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（

）A． B．或 C． D．或2.（2023·浙江·八年级课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（

）

A． B． C． D．3．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有(

)A．0个 B．2个 C．4个 D．8个5．（2023·山东日照·八年级统考期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（

）A．6个B．7个C．8个D．9个8．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或49．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为．10．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是．11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为．12．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个．13．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．14．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，度．

15．（2023·江西抚州·七年级校考开学考试）一个等腰三角形相邻两个内角的度数比是2∶5，这个等腰三角形的顶角是度．16．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．

17．（2023春·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰为“倍角三角形”，则的顶角度数为．18．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，已知在中，．过三角形顶点的一条直线将分割为两个等腰三角形．求的度数．

19．（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在中，，，点为上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求的度数．

20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形．

21．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动；同时点Q以的速度从点D出发向点A运动，P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为．(1)用含t的代数式表示；(2)当点P在线段上运动时，且是等腰三角形时，求t的值；(3)用含t的代数式表示的面积．

22．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）（1）操作