诱导公式（解析版）

5.3诱导公式

公式一：2kn+a与a的关系

公式二：n+a与a的关系

来值

化匐语导公式的应用

证明

公式六：/a与a的关系

8国豆⑦王a工质纺希卜箕氏★★★

A伊£0）粮品公黑的左4

*•枇JL⑤Q棘as工・，*仪4

船机鱼@第Q镌*髭人4僮★★★

“供点⑤，电稳早公K化四上・晶第K

一仅工④*QM李公式U«£・M孑贝★★☆

知识点1:诱导公式及其化简求值

»拉钥畿以

知识点①三角函数的诱导公式★★★知识点④利用诱导公式求值

公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2E+a)=sin«(k£Z)cos(2阮+a)=cos«(*£Z)tan(2E+Q)=tan«(&WZ)

公式二：设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：

sin(it+a)=-sinacos(n+a)=-cosatan(九+a)=tana

公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系(利用原函数奇偶性)：

sin(-«)-sin«cos(-a)=cos«tan(-a)=-tan«

公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系：

sin(冗一«)=sinacos(兀-a)=-cos«tan(n-a)=-(an«

公式五：任意角a与N-a的三角函数值之间的关系：sin(--a)=cosacos(--a)=sina

222

公式六：任意角a与色+a的三角函数值之间的关系：sin(—+«)=cosacos(—+a)=-sin«

222

推算公式：羽士a与a的三角函数值之间的关系：

2

/3兀.3冗3冗.,3兀

sin(—+«)=-cos«sin(----a)=-cos«cos(—+«)=sm«cos(----a)=-sin«

2222

诱导公式的规律

三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限.

其中“奇变偶不变''中的奇、偶分别是指乙的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，

2

则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变.“符号看象限”是把a当成锐角时，原三角

函数式中的角(如四+a)所在象限原三角函数值的符号.注意把a当成锐角是指a不一定是锐角，如sin

2

(360。+120。)=sin120°,sin(270°+120°)=-cos1200,此时把120。当成了锐角来处理.“原三角函数”

是指等号左边的函数.

诱导公式的作用

诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化筒和求值，其一般步骤是:

任意负角的去负（化负角为正角）任意正角的I脱周

三角函数三角函数帧去左3&）。

0。到360。的

（把前而臃）锐角三角函数

三角函数I

【微点拨】1.事实上，对十角Ag|±a（AeZ）的止弦、余弦值有

当k为偶数时，函数名不变，符号看象限；当〃为奇数时，函数名改变，符号看象限.

总的来说就是“奇变偶不变，符号看象限”

2.诱导公式的作用：

任意角f（0,巳）的角：原则：负化正，大化小.

2

3.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号一脱周

期一化锐角.特别注意函数名称和符号的确定.

金片jut价

iI兀

【经典剖析1】已知cos—+a2cos(jr-a),则tan(-«)=()

12

1

A.-2B.2C.—D.-

33

【答案】A

【解析】,**COS—I-a-2cos(7l—a),/.-sina=-2cosa,/.tan«=2,/.tan(rt)=-tana=-2.故选A.

若点（sinrcos引在角a的终边匕

【经典剖析2】则sina=()

a〃近e1

C.-%D.—z

【答案】c

【解析】本题考查的是三角函数的概念及诱柠公式，山题意可得sin^-sin（7r-1）-sin

cos,=cos（L^）=—cos季=一坐所以点（；，一度）在角a的终边上，且该点到角a顶点的距离

V3

r=\一申)=1，所以sina=*=ZT_V3

12,

【经典剖析3】)

34

A.-D.——

55

【答案】C

713

【解析】Vcos+a)=cos-a

165

则sin(a一三2兀7T3

=sin(nTZ+二一)=-sin(«H—)=---，故选C.

335

【经典剖析4】已知sin(a+37T)=-“且a为第二象限角，则co＜a=()

2夜272c.也

A.-----B.----19.-----

3344

【答案】D

【解析】丁sin（a+3兀）=-；,.'.-sina=-11

—,则nIsin。=一

44

又a为第二象限角，/.cos«=-\l\-shva=-^^~.故选D.

4

【经典剖析5】已知日，且|同＜1,则tan(p=()

A.--B.—C.-V3D.V3

33

【答案】D

【解析】根据诱导公式—e又因为冏＜],所以0＜尹＜],所以°=所以

tan§=6.

企品一反三

【例题1】如果sina=1，那么sinN+a）-cos（2一a）等于（

32

A.-逑B.二C.22&

333—

【分析】利用诱导公式即可化简求解.

【解答】解：囚为sina=—，所以sin：;r+a）—cos（石一。）=一sin。一sina=-2sina=——.故选：B.

323

【点评】本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基相题.

【例题2]已知sin（2+a）=1,«e（-->0）,贝hana等于（）

222

A.-75B.x/3C.--D.—

33

【分析】由诱导公式，可得cosa=L结合aw（-2,0）,知a=-L再求tana的值，即可.

223

【解答】解：因为sin（2+a）=,，所以cosa=L,因为ae（—X,0），所以a=-丑，

22223

所以tana=-75.故选：A.

【点评】本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，考查运兑求解能力，属于基础题.

4

【例题3]己知cos（4一。）=一一，则sin（a+—）=（）

52

A.-B.-C.--D.--

5555

【分析】由已知利用诱导公式即可求解.

【解答】解：:cos（万一。）=——，/.cosa=±，，sin（a+工）=cosa=-.故选：B.

5525

【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

【例题4]若已知sin（乃一a）=-2sin（三+a）,则sinacosa等于（）

2

A.-2B.-2-C.2*或-士2D.--1

55555

【分析】由条件利用诱导公式可得sina=-2cosa，再由sin%+cos%=l可得sina和cosa的值，从而求

得sin“cos”的值

【解答】解：已知sin（%一a）=-2siiX—+a），sina=—2cos«,即tana=-2,

2

故a为第二或第四象限角，再由sin2〃+cos2a=l,

可得sin4=^~~^,cosci=——,或sina=-^~~^,cosa--».,.sin^cos«=-—>故选：B.

55555

【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点.

【例题5】已知Isin(a-^)cos+cos(tz-/3)sin[5-—^，a为第三象限角，则

sin(^-a)+5cos(2^-a)_

2sin(^-a)-sin(-cr)

【分析】利用正弦的和角公式化简得出sina的值，由此即可得出cosa,tana的值，再根据诱导公式以及

弦化切化简所求的关系式，最后代入lana的值，即可求解.

【解答】解：因为sin(a-，)cos/7+cas(a-/7)sin/7=—,所以sin[(a-/7)+/]=sina=—,又因为a为第

55

三象限角，所以cosa=-M所以tana=3,则-―a)+5c°s(2*a)=sina+5c°sa

542sin(四-a)-sin(-a)-2cosa+sina

9

3+3

tana+5=J_=_23故答案为：

-2+tana_2+355

4

【点评】本题考查了诱导公式以及正余弦的同角关系的应用，涉及到弦化切，考查了学生的运算求解能力,

属于基础题.

【例题6】已知85(乃+。)=一,，则cos(37+a)=_

2—2~

【分析】先根据诱导公式求出cosa的值，再对cos(3/r+a)根据诱导公式进行化简，然后将cosa的值代入

即可得到答案.

(解答]解：cos(^+a)=-cosa=--，cosa=—，cos(3^+a)=cos(乃+a)=-cosa=,

222

故答案为：-1.

2

【点评】本题主要考查诱导公式的应用.诱导公式在解三角函数的习题中占据举足轻重的地位，•定要熟

练掌握.

【例题7】计算：cos-^-=.

3

【分析】直接利用I秀导公式化简求值即可.

【解答】解：由cosU/T=cos(4/r-2)=cos巳=」.故答案为：—.

33322

【点评】本题考杳诱导公式的应用，考查计凫能力.

【例题8】已知sin(;r-a)=-工，则sin(-2;r-a)=—

2~2~

【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解.

【解答】解：「sintr-a)=——，sina-——，sin(-2,7-a)=-sin(2^+a)=-sina--.

222

故答案为：

2

【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.

【例题9]若cosaq,a是第四象限角，则sin(a-2/r)+sin(-a-3万)cos(a-34)=——号_.

【分析】先利用同角三角函数的平方关系，可得sina=-亚，再利用诱导公式化简，代入即可求值.

3

【解答】解：由题意，,.・cosa=2,a是第四象限角，

3

.石

/.sina=-------

3

sin(a-27)+sin(-a-3^)cos(a-3%)=sina+sin(-a+乃)cos(a+4)=sina-sinacosa

sir(a-24)+sin(-a-3i)cos(a-3^-j=---(--)x-=--

故答案为：—当

【点评】本题以三角函数为载体，考查同角三角函数的平方关系，考查诱导公式的运用，属于基础题.

知识点2:诱导公式的综合运用

»拉钥畿以

知识点⑤利用诱导公式化简三角函数式

知识点⑥利用诱导公式证明三角恒等式

知识点②诱导公式的应用

应用诱导公式的思路与技巧

(1)应用诱导公式的一般思路

①化大角为小角；②角中含有加减巴的整数倍时，用公式去掉巴的整数倍.

22

(2)常见的互余和互补的角

①常见的互余的角：4y与巴+a；工+a与巴-a；巴+a与4rz等.

363644

②常见的互补的角：三+。与空-仇与包-。等.

3344

【经典剖析1】化简1411。012。3113—1的89。()

A.2必B.1C.44-!-D.45-

22

【答案】B

【分析】切化弦.结合诱导公式得出结论后再计和.

sinorsin(90°-a)sinacosa

【详解】因为ianatan(90°-a)=------=-----

cosacos(900-a)cosasina

所以tan10tan2°tan3°tan89°=(tan10tan89°)-(tan2°tan88。)・.(tan44°tan46°)tan45。=1.故选：B.

1\n

sin(2^--a)cos>+a)cos—+acos-----a

2,则siniosj()

【经典剖析2】已知----------------------配一乙

+<Zsina+cosa

cos(乃一a)sin(3乃-a)sin(一；r-a)sinTJ

B.［

A.-7C——D.5

3

【答案】D

【分析】先通过诱导公式对等式进行化简，进而弦化切求出正切值，然后对所求式子进行弦化切，最后得

到答案.

.(-sina)x(-cosa)x(-sina)x(-sina)八

［详解］由题总，----;--------：-二------------=-lan«=2=>lantr

(一cosa)xsinexsinaxcosa

sina-3coscrtana-3-5_.,..八

则一----------=------7=1=5.故选：D.

sina+cos/7tana+1-1

90

【经典剖析3】代数式“d%；?。的化的结果是_________.

sin2500+cos7900

【答案】-1

【分析】根据诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系配凑成完全平方式，进行根式化简，注意根据角

的范围判断同角的正弦和余弦的差的符号得解.

+2sin(180°+110°)-cos(360°+70°)_J1一2sin1100cos700

【详解】因为sin70。＞cos70。,所以：原式=

sin(180°+70°)+cos(7200+70°)-sin700+cos70°

2

Jl-2sin700cos700Jsin?700+cos：700-2sin700cos701^(sin700cos70°j=|sin70°-cos70°|

cos70°-sin700cos700-sin7()°一-cos70°-sin70°cos700-sin70°

sin700-cos70°j,,

=———r-=r:=-l•故：填A一L

cos70-sin700

若sina=半，求

【经典剖析4】的

5兀7/r

(3/r+a)sin—+a

~22

值.

【答案】10

【分析】利用诱导公式化简原式，再代入值即可得解.

【详解】

cos(^-a)

原式=—

冗

sin——asin裂a

2

-cosacosa亚，.•.一—=

-----------------------------1----------------------------------=P=Qsina=10

coscr(-cosa-l)-cosacosa+cosal+cosal-cos<2sin,25sin'a

所以原式的值为10.

兀

sin(2兀-a)cos(兀+a)cos

2

【经典剖析5】求证:

cos(7i-ajsin(3n-a)sin(-7c-a)si

【答案】答案详见解析.

一sina(-cosa)(-sina)(-sina

【解析】左边二-=iana=右边，，等式成立.

-cosa)•sinasinacosa

【名师点睛】解决恒等式的证明问题关键是灵活应用诱导公式，将各三角函数化成同角的三角函数，从一

边向另--边推导,或证明两边都等于同一个式子.

【经典剖析6】设函数w用满足/(犬+不)=/(x)+sinx.当4时，/(x)=0,则

)

11

A.-B.0D.一一

2Tc2

【答案】A

,234、1\7T\.IE.T7冗

【解析】由题意可得：f=f121+sin—=/|+sin----+sin-----

<6>661666

54.57.11〃.17〃

+sin—+sin---+sin----

6J666

=0+sin7t---|+sin2乃—+sin2TT+7----1=0H-------H—二一

I6；Ie[62222

【经典剖析7】化简卜列各式：

(I)lan(2;r-a)sin(-2;r-a)cos(6;r-a)⑵Jl+2sin290'cos430’

cos(a-^)-sin(5^-a)'sin250,+cos790°

【答案】(1)-tana：(2)-1.

【分析】(1)利用诱导公式，结合同用三角函数关系即可实现化筒：

(2)利用诱导公式将角度化简为锐角，再结合同角三角函数关系即可.

【详解】

sin(27r-a).,.,.

---------sin(-a)cos(-a)sin«-sin47cosa

(I)原式=cos(2;r-a)________________----=Tana；

cos<7-cos47sinor

cos(乃-a)-sin(^--a)

°、质-1+2sm(360‘-7U')cos(36。。+7U。)/—2sin700cos7(rIcosVO*-sin70lsin700-cos70°

sin(180+70)+cos(720+70)-sin70+cos70cos70'-sin70cos70-sin70

企品一反三

【例题1】(2021秋•巫山县校级期末)已知角a终边上一点尸(1,-2).

⑴求sina+2cosa的值:

sina-cosa

(2)求cos(U工-a)+sin(—+a)的值.

22

【分析】由己知可得sina、cosa、tana.(I)利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；

(2)直接利用诱导公式化简求值.

【解答】解：•.•角a终边上一点。(1,一2),，sina=,cosa=乎，tana=-2.

一、sina+2cosatana+2-2+2八

(1)------------=--------=-----=0；

sincr-cosatana-1-2-1

/I乃\•/97、/e冗、.一冗、

(2)cos(----a)+sin(—+a)=cos(5;r+---a)+sin(4/r+—+a)

2222

26753x/5

=-sina+cosa=---+—=----.

555

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题.

【例题2】(2022春•华阴市期末)已知a为第二象限角，sin(-

25

(1)求sina的值；

cos(冬一a)lan(-7r+a)cos(2;r-a)

(H)若f(a)=------------——-----------，求/(«)的值.

-tan(-19”-a)sin(5九-a)sin(%+a)

【分析】(I)根据a为第一象限用，sin(-利用三角困数的诱导公式和同用三角函数的关系求

25

解即可：

(II)利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，求解即可.

【解答】解：(I)a为第二象限角，sin(-

25

所以sin(-—a)=cosa=-—»故sina=Jl-cos2a=-:

255

c。吟-a)tan(一/①cos(2-a)(_sina).(ana.cosa]

(II)/(a)=-----=--------------------------=-------------------=-----,

一lan(-19乃一a)sin(5;r-a)sin("+a)(anasina-(-sina)tana

故侬)=*一.

sina3

【点评】本题考查了利用诱导公式化简和同角三角函数的关系，属于基础题.

【例题3】计算：5sin—+2cosO-3sin—4-lOcos^,：

22

/sin(180°-a)sin(270°-a)tan(1800-a)

化同：-----n----------------n----------------H-------♦

sin(90°+a)tan(l80°+a)tan(360n-a)

【分析】(1)直接利用三角函数的值的应用求出结果；

(2)利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的关系式的应用求出结果.

【.解答].解：(1)5sin—+2cos0-3sin—+10cos^=5+2-3-10=-6；

22

sin(l80°—<y)sin(270°—rz)tan(180°—r/)sin/7-cosa•(—tanrz)

(2)--------------------------------------------------=-----------------------------=cosa.

sin(90+a)tan(l80+a)tan(36C-a)cosa-tancr(-tana)

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的佳，三角函数的诱导公式的应用，主

要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

sin(万+a)cos(2;r-a)cos(\；+a)

【例题4】已知/(a)

cosq+a)sin(a-;r)

(1)化简f(a)：

(2)若a是第四象限角，且sin(a-幻=g,求/(c)的值.

【分析】(1)利用诱导公式即可化简得解.

(2)由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解.

3乃

sin(乃+a)cos(2;r-a)cos(—+a)

(-sina)cosasina

［解答］解：(I)f(a)=-----------------------------------2——------------------------=-cosa：

一sina(—sina)

cos(—+cr)sin(a-^)

(2)若。是第四象限角，且sin(a-T)=」，即sina=-」，所以cosa=J1一sbfa=2色,

333

所以f(a)=-cosa=-^^-

【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想,

属于基础题.

【例题5]已知sin5+a)=-半，且a为第二象限角.

(1)求tana的值；

2sin(a+4乃)+sin(——a)

(2)求一：——------Z——的值.

sina+3cos(a-4)

【分析】(I)由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果.

(2)由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果.

【解答】解：(I)由$访(乃+。)=一5而。=一^^,得sina=^^.

a为第二象限角,

cosa=-\1\-sin2a=-

sina.

/.tana=------=-2

cosa

2sin(a+4^-)+sin(--a)」r/r、，1r

，一、\'22nsintz+coscr2tana+12x(-2)+13

(2)-------------------------------=-----------------=-------------=-----;--------=—

sina+3cos(a—乃)sina-3cosatana-3-2-35

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.

【例题6］已知至<a</r,cosa=--

25

(1)求sina的值;

sin(a—4)-2cos(-----a)

(2)求2的值.

sin(5^-+a)+cos(乃-a)

【分析】(1)直接利用同角三角函数基本关系式求解:

(2)利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解.

【解答】解：(I)♦:三<a<兀,cosa=-—»sin«=4

255

4

(2)由(1)得cosa=--，sintz=-

55

sin(a%)-2cos(/一a)sMa+2sina4

sina工…

sin(5;r+a)+cos(乃一a)—sina-cosasina+cosa4_3

5~5

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.

sin(cr+乃)•cos(乃一a)•cos(a+ITC)

【例题7】化简:

tan(34+a)・cos3(-a-加)

【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值.

［解答］解sin(a+/r)cos(/r-a)cos(a+2;r)_-sina(-cos«)costz_cosa

tan(3;r+a)-cos3(-a-乃)tana•(—cos3a)cos3a

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基用题.

sin(—+a)-3sin(乃+a)

【例题8】已知/(a)=——三----------------

2cos(--a)-cos(乃-a)

(1)化简f(a).

(2)已知tana=3,求/(a)的值.

【分析】(1)直接利用三角函数的诱导公式的应用求出结果;

(2)利用三角函数的关系式求出函数的值.

71

sin(5+a)-3sin(i+a)cosa+3sina

【解答】解：⑴f(a)=

2cos(里-a)-cosS-a)-2sina+cosa

/c、c，/、cosa+3sinal+3tancr1+3x3「

(2)•.iana=3,/.J(a)=-------------=---------=-------=-2

-2sin«+cosa1-2tanar1-2x3

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思

维能力，属于基础题.

cos(--a)+sin(-+a)

【例题9】已知----2---------------=3.

3sin(^-a)+sin(—+a)

2

(1)求tanQr+a)的值:

(2)求sinacosa+cos'a的值.

【分析】(1)利用诱导公式，同角二角函数基本关系式化简已知等式可得tana=2,进而根据诱导公式即

2

可求解.

(2)利用同角三角函数基本关系式化简即可求解.

cos(——a)+sin(—+a)

所以sine?+coscr_tana+1=3，解得tana=L

［解答］解：(1)因为——=--------七一3,

3sin(^--a)+s:n('—+a)3sina-cosa3tancr-l2

所以tan(;r+a)=tana=g：(2)sinacosa+cos?a=sinacosa+cara_lana+12_6

22

sbra+cosatana+1一•十,,I5

4

【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想,

属于基础题.

53

sin(a——^-)cos(-7r+a)tan(^-a)

【例题10】已知a为第三象限角，〃a)=-------?------=---------------

tan(-cr-?r)sin(-a-乃)

(1)化简f(a)；

(2)若cos(a——乃)=一，求/(a).

23

【分析】（1）由诱导公式化简:

（2）由诱导公式化简已知式得sina,再由平方关系求得cosa即可得.

sin(a一二？r)cos(二；r+a)tan(jr-a)

-cosasincr(-tana)

［解答］解：(1)因为/(。)=------Z------乙----------------------------------=_cosa

un(-a-/r)sin(-a-乃)-tanasina

3I|1

(2)cos(a——))=一，.'.-sintz=-»sina=-一，是第三象限角，

2333

L—2&“、2拒

「.cosa=-\/1一ra=———，f(a)=-cost?=—^―.

【点评】本题考查了同角的三角函数公式及诱导公式，记住公式是关铤，属于基础题.

【例题11】在直角坐标系中，珀a的顶点与坐标原点O重合，始边落在X轴的正半轴上，终边与单

位圆的交点为|）.

cos(——a)+cos(cr+2不)

(1)求sina,cosa的值：(2)求---------------------的值.

sina-cos(—a)

【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解.（2）利用诱导公式即可化简求解.

【解答】解：（I）由题意，r=\OP|=1,三角函数的定义得，sina=—=—»cosar.

r5r5

/\/c\3/4、

cos（a）+cos（a+24）.,-+（—）.

（2）由（I）知，---------——=s.n<z+cosa=5^=_l

sina-cos（-a）sin«-cos«3+47

55

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属

于基础题.

知识点3:角的凑配

»拉钥畿以

知识点③特殊角的三角函数值表

熟记基本的一些角度转化形式

常见的互余关系有2-a与？，二+a与N-a,2+a与？一a等;

363644

常见的互补关系有与?一，，四+。与龙一。等

3344

但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示

多个元素.但要注意不要忽略集合中元素的代表形式.

熟记基本的一些角度转化形式，