课时跟踪检测（九） 圆周运动的两种模型和临界问题

课时跟踪检测（九）圆周运动的两种模型和临界问题A组—重基础·体现综合1．如图甲所示是杂技演员表演的“水流星”节目，在长为1.8m的细绳的两端，各系一个与水的总质量为m＝0.5kg的盛水容器，以绳的中点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图乙所示，若“水流星”通过最高点时的速率为3m/s，则下列说法正确的是(g＝10m/s2)()A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C．“水流星”通过最高点时，不受力的作用D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N解析：选B水流星在最高点的临界速度v＝eq\r(gR)＝3m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B。2．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为()A．v＝keq\r(Rg) B．v≤eq\r(kRg)C．v≤eq\r(2kRg) D．v≤eq\r(\f(Rg,k))解析：选B水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥meq\f(v2,R)，解得v≤eq\r(kRg)，故选项B正确。3．港珠澳大桥总长约55km，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的路海大桥，设计时速100km/h。如图所示，该路段是港珠澳大桥的一段半径r＝150m的圆弧形弯道，总质量m＝1800kg的汽车通过该圆弧形弯道时以速度v＝90km/h做匀速圆周运动(汽车可视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度)。已知路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽车所受重力的eq\f(3,4)，重力加速度g取10m/s2，则()A．汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力、牵引力和向心力B．汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4000NC．汽车过该弯道时的向心加速度大小为5m/s2D．汽车能安全通过该弯道的最大速度为15eq\r(5)m/s解析：选D汽车过该弯道时受到重力、牵引力、支持力和摩擦力作用，径向摩擦力提供做圆周运动的向心力，故A错误；汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为Ff＝meq\f(v2,r)＝7500N，故B错误；汽车过该弯道时的向心加速度大小为a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(25,6)m/s2，故C错误；汽车能安全通过该弯道的最大速度满足eq\f(3,4)mg＝meq\f(vm2,r)，解得vm＝15eq\r(5)m/s，故D正确。4．[多选]球A和球B可在光滑杆上无摩擦滑动，两球用一根细绳连接，如图所示，球A的质量是球B的两倍，当杆以角速度ω匀速转动时，两球刚好保持与杆无相对滑动，那么()A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力B．球A转动的半径是球B转动半径的一半C．当A球质量增大时，球A向外运动D．当ω增大时，球B向外运动解析：选BC因为杆光滑，两球的相互拉力提供向心力，所以FA＝FB，故选项A错误；由F＝mω2r，mA＝2mB，得rB＝2rA，故选项B正确；当A球质量增大时，球A向外运动，故选项C正确；当ω增大时，球B不动，故选项D错误。5．某特技演员曾飞车挑战世界最大环形车道。如图所示，环形车道竖直放置，半径为6m，若汽车在车道上以12m/s恒定的速率运动，特技演员与汽车的总质量为1000kg，重力加速度g取10m/s2，则()A．汽车通过最低点时，特技演员处于失重状态B．汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104NC．汽车在环形车道上的角速度为1rad/sD．若要挑战成功，汽车在最高点的速率不可能低于12m/s的恒定速率运动解析：选B汽车通过最低点时，加速度方向竖直向上，特技演员处于超重状态，故A错误；汽车在最高点，根据牛顿第二定律得，FN＋mg＝meq\f(v2,R)，解得FN＝meq\f(v2,R)－mg＝14000N，故B正确；汽车在环形车道上的角速度ω＝eq\f(v,R)＝eq\f(12,6)rad/s＝2rad/s，故C错误；要想通过最高点，临界情况是轨道对汽车的压力为零，根据牛顿第二定律得，mg＝meq\f(v′2,R)，解得v′＝eq\r(gR)＝eq\r(10×6)m/s＝2eq\r(15)m/s，即最小速度为2eq\r(15)m/s，故D错误。6．[多选]如图所示，竖直平面内固定一个圆环状的细管，一光滑小球(直径略小于管径)在管内做圆周运动，则()A．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小一定不等B．小球以大小不同的速度通过最高点时，管壁对小球的作用力大小可能相等C．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小一定不等D．小球以大小不同的速度通过最低点时，管壁对小球的作用力大小可能相等解析：选BC在最高点，若小球对内壁为压力，则mg－FN＝eq\f(mv2,r)，解得FN＝mg－eq\f(mv2,r)；若小球对外壁为压力，则mg＋FN′＝eq\f(mv′2,r)，解得FN′＝eq\f(mv′2,r)－mg，小球的速度大小不同，压力大小可能相同，故A错误，B正确；在最低点，根据牛顿第二定律可知FN－mg＝eq\f(mv2,r)，解得FN＝eq\f(mv2,r)＋mg，小球的速度大小不同，对管壁的作用力大小一定不同，故C正确，D错误。7．长为0.5m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10m/s2)：(1)杆做匀速圆周运动的转速为2r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5r/s。解析：小球在最高点的受力如图所示。(1)杆的转速为2r/s时，ω＝2π·n＝4πrad/s，由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2，故小球所受杆的作用力F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138N，即杆对小球有138N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为138N，方向竖直向上。(2)杆的转速为0.5r/s时，ω′＝2π·n′＝πrad/s，同理可得小球所受杆的作用力F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10N，力F′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，即杆对小球有10N的向上的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10N，方向竖直向下。答案：(1)138N，方向竖直向上(2)10N，方向竖直向下B组—重应用·体现创新8.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝eq\r(gR)，则物体将()A．沿球面下滑至M点B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动D．立即离开半圆球做平抛运动解析：选D设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝meq\f(v02,R)，把v0＝eq\r(gR)代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。9.(多选)如图所示，倾角θ＝30°的斜面体C固定在水平面上，置于斜面上的物块B通过细绳跨过光滑定滑轮(滑轮可视为质点)与小球A相连，连接物块B的细绳与斜面平行，滑轮左侧的细绳长度为L，物块B与斜面间的动摩擦因数μ＝eq\f(\r(3),3)。开始时A、B均处于静止状态，B、C间恰好没有摩擦力，现让A在水平面内做匀速圆周运动，物块B始终静止，则A的角速度可能为()A.eq\r(\f(2g,L)) B.eq\r(\f(3g,L))C.eq\r(\f(g,L)) D.eq\r(\f(2g,3L))解析：选ACD开始时A、B均处于静止状态，B、C间恰好没有摩擦力，则有mAg＝mBgsinθ，解得mB＝2mA。当A以最大角速度做圆周运动时，要保证B静止，此时绳子上的拉力FT＝mBgsinθ＋μmBgcosθ＝2mAg。设A以最大角速度做圆周运动时绳子与竖直方向的夹角为α，则cosα＝eq\f(mAg,FT)＝eq\f(1,2)，α＝60°，对A受力分析可知，物体A做圆周运动的半径R＝Lsinα＝eq\f(\r(3),2)L，向心力为Fn＝FTsinα＝eq\r(3)mAg，由向心力公式Fn＝mAω2R，代入数据解得ω＝eq\r(\f(2g,L))，故角速度小于等于eq\r(\f(2g,L))，A、C、D正确。10.如图所示，一辆厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8m，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的0.8。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数F＝4N。重力加速度g取10m/s2。(1)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，货车的最大速度vmax是多大？(2)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为F′＝5N，此时细线与竖直方向的夹角θ是多大？货车的速度v′有多大？解析：(1)设货车的总质量为M，转弯时恰好不发生侧滑时，货车有最大速度，有μMg＝eq\f(Mvmax2,R)，解得vmax＝8m/s。(