（人教版2026新教材）数学八上期末分题型复习（含解析）

期末常考点题型分类专题(基础题+中档题+拨高题)人教版八上 【★考点1】轴对称图形的识别 2【★考点2】科学记数法表示绝对值小于1的数 4【★考点3】幂的运算 5【★考点4】分式有意义的条件 6【★考点5】最简分式与约分 7【★考点6】完全平方公式的运算 9【★考点7】等腰三角形的定义 【★★考点8】添加条件判定三角形全等 【★★考点10】因式分解的定义 【★★考点11】多项式乘多项式的运算 【★★考点12】因式分解的简单应用 【★★考点13】幂的乘方的逆用 20【★★考点14】线段垂直平分线的性质 21【★★考点15】角平分线的尺规作图 2【★★★考点16】分式方程增根、无解问题 25【★★★考点17】平方差公式的几何意义 26【★★★考点18】格点图中构造等腰三角形 28【★★★考点19】全等三角形的性质与ASA/AAS、HL综合应用 【★★★考点20】分式加减的实际应用(方案辨析) 【★考点21】三角形的三边关系 【★考点22】单项式除以单项式的运算 【★考点23】三角形外角的定义及性质 【★考点24】零指数与负指数幂 【★考点25】等边对等角的简单应用 40【★★考点26】成轴对称图形的特征及相关计算 42【★★考点27】求完全平方式中的字母系数 43【★★考点28】因式分解 45【★★考点29】分式化简求值(不含参数) 【★★考点30】角平分线的性质定理 48【★★考点31】线段垂直平分线的性质应用 【★★★考点32】分式的规律性问题 【★★★考点33】三线合一证明等边三角形的性质(含辅助线) 【★★★考点34】用SAS证明三角形全等(含动点背景) 【★★★考点35】最短路径问题(轴对称应用) 【★★考点36】整式的乘法 【★★考点37】因式分解 【★★考点38】分式化简求值 【★★考点39】解分式方程 【★★考点40】全等三角形性质与判定综合 【★★考点41】等腰三角形性质与判定综合 【★★考点42】分式方程的经济类实际问题 【★★考点43】分式方程的工程、行程问题 【★★考点44】全等三角形的性质与判定动态问题探究 【★★考点45】等腰三角形与全等三角形综合探究 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示中档题，带“★★★”表示拨高题【★考点1】轴对称图形的识别A.【分析】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是理解“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形”.根据轴对称图形的定义，逐一分析四个选项的图形是否存在这样的对称轴，进而确定正确选项.【详解】解：轴对称图形的核心是存在一条对直线，使图形沿该直线折叠后两侧完全重合.A、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形；B、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形；C、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形；D、存在一条直线，沿该直线折叠后，图形两侧能够完全重合，是轴对称图形.故选：D.2.(25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中)围棋起源于中国，古代称之为“弈”,至今已有4000多年的历史.下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是()A.【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可.【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形；3.(25-26八年级上·河南周口·月考)下列图形中，是轴对称图形的是()A.【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可.C、当x=1时，分母(x-1)²=0,此时分式无意义，图该分式不一定有意义，该选项不合题意；D、当x=±1时，分母x²-1=0,此时分式无意义，图该分式不一定有意义，该选项不合题意；故选：B.【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键.根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案.【详解】解：图当x=-3时，分式没有意义，解得：故选：D.【分析】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是熟练掌握分式值为0时，则分子为0,分母不为0,据此列式求解即可.【详解】解：2分式的值为0,【★考点5】最简分式与约分【★考点5】最简分式与约分1.(25-26八年级上·云南保山·月考)下列分式是最简分式的是()【答案】C【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分.【详解】解：∵选项A:,分子与分母有公因式x,可化简为,不是最简分式；∵选项B:,分子x与分母3x+1无公因式，是最简分式；∵选项C:,分子与分母有公因式3,可化简为,不是最简分式；∵选项,分母x²-1=(x+1)(x-1),与分子有公因式x+1,可化简为,不是最简分式.2.(25-26七年级上·上海浦东新·月考)下列代数式中，是最简分式的是()【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式.通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式.【详解】解：A、因为分子分母有公因式m,所以B、因为分母a²-b²=(a+b)(a-b),与分子有公因式(a+b),可约分，不是最简分式；所以可约分，不是C、因为分母a²+a=a(a+1),与分子有公因式a,所以可约分，不是最简分式；D、因为分子x+y与分母x²+y²无公因式，所以不可约分，是最简分式；故选：D.3.(25-26八年级上·山东威海·期中)下列说法正确的是()B.分式中x,y都扩大3倍，分式的值不变D.分式是最简分式【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念.根据分式的定义判断A;根据分式的基本性质判断B;根据分式值为0的条件判断C;根据最简分式的定义判 是整式，不是分式，故A错误.B.图x,y都扩大3倍后，分式变为值扩大3倍，故B错误.C.2分式值为0,图分子x²-9=0且分母x-3≠0.由x²-9=0得x=±3,由x-3≠图x=-3,故C正确.图不是最简分式，故D错误.因此，正确的是C.【★考点6】完全平方公式的运算【★考点6】完全平方公式的运算1.(25-26八年级上·福建泉州·期中)下列计算正确的是()A.x²·x³=x⁶B.(a+b)²=a²+b²C.(mn-3)(mn+3)=mn²-9D.(-3xy²【答案】D【分析】本题考查同底数幂的乘法、完全平方公式、平方差公式和整式的除法，需根据运算法则逐一判断.按照运算法则判断即可.C、(mn-3)(mn+3)=(mn)²-3²=m²n²-9≠mn²-9,D、(-3xy²)²÷(x²y)=9x²y⁴÷(x²y)=9y³,故D选项正确.D(y-x)²=[-(x-y)]²=(x-y)²,故③正确.②①②③均正确，【★考点7】等腰三角形的定义【★考点7】等腰三角形的定义A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利的关系.根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出a=b,进而判断三角形形状.【详解】解：绝对值和平方数均具有非负性，即|a-b≥0,(b-a)²≥0,由于a,b是VABC的两边长，因此VABC有两边相等，是等腰三角形.【答案】A【分析】本题主要考查了等腰三角形，解题的关键是掌握分类讨论的思想.分两种情况进行求解即可.(1)腰长为5,则周长为：5+5+8=18(2)腰长为8,则周长为：8+8+5=21综上，周长为18或21.面示意图如题7图2所示.经测量AB=10cm,BC=12cm.若移动支点C的位置，使VABC是一个等腰三角形，则VABC的周长为()图1图2A.32cmB.34cm【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可.当AC=BC=12cm时，周长为：10+12+12=34(cm),∴VABC的周长为32cm或34cm.【★★考点8】添加条件判定三角形全等【★★考点8】添加条件判定三角形全等则需要添加的条件是()DB【答案】C【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出∠DAC=∠BCA=90°,根据图形可知AC是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△CDA中，个条件，使△ABC≌△DCB,下列各选项中，添加不正确的是()【答案】B【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边判定三角形全等是关键.根据全等三角形的判定分析即可.B、添加AC=DB,不能运用边边角证明△ABC≌△DCB,符合题意；结合题意，可以运用角边角证明△ABC≌△DCB,不符合题意；AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠D.【答案】C【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键.【★★考点9】用【★★考点9】用ASAlAAS证明三角形全等BF=CE,ACDF,请添加一个条件，能用“ASA”使△ABC≌DEF,这个条件可以是()A.AB=DEB.BF=CF【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键.根据已知可.体太阳能电池板因微陨石撞击碎裂成三块(如图所示).为确保电池板结构完整与输出效率，需在地面紧急制造一块完全相同的备用件.依据全等三角形的判定条件，利用哪块碎片能最高效准确地【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，掌握知识点是解题的关键.根据全等三角形的判定，逐项分析判断即可.【详解】解：由图，可知，第①块碎片只知道一个角，第②块碎片所有的角与边都不知道，无法复现电池板；第③块碎片包括两个角与一条夹边，根据ASA,得利用碎片③能最高效准确地复现原电池板.故选C.3.(25-26八年级上·广西崇左·月考)如图，点B,E,C,【分析】本题考查了全等三角形的判定，常用的判定定理有SSS、AAS、ASA、SAS、HL,解题的关键是熟知这些基本判定定理.根据平行线的性质定理可判定∠ABC=∠DEF,然后结合四个选项中给定的条件，逐个判断能否使△ABC≌△DEF.【详解】解：A项，∵AB|DE,故A选项不符合题意；∴ABC≌DEF(AAS),故B选项不符合题意；C项，添加AC=DF的条件不能使△ABC≌△DEF,故C选项不符合题意；∴ABC≌DEF(ASA)故D选项符合题意.【★★考点10】因式分解的定义【★★考点10】因式分解的定义1.(25-26八年级上·新疆·月考)下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是().A.x(x-1)=x²-xB.x²-4x+4=(x-2)²C.x²+3x+3=x(x+3)+3D.(x+y)(x-y)=x²-y²【分析】此题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，需从左边多项式变形到右边积的形式，据此求解即可.【详解】A.左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解；B.左边是多项式，右边是整式的平方(即积的形式),属于因式分解；C.右边不是积的形式，而是和的形式，不是因式分解；D.左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解.A.-7B.-5C.5【答案】A【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系【详解】解：B(x-4)(2x+1)=2x²+x-8x-4=2x²3.(25-26八年级上·山东德州·月考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A.x²-5x+6=x(x-5)+6B.C.(x-2)(x-3)=x²-5x+6D.x²+3x=x(x+3)【答案】D【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式.根据定义，逐一判断各选项即可.【详解】解：A.右边为x(x-5)+6,不是积的形式，故错误，不符合题意；C.左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，故错误，不符D.x²+3x=x(x+3),符合因式分解的定义并分解正确，符合题意.【【★★考点11】多项式乘多项式的运算【答案】BA.2x²-x-6B.2x²+x-6C.2x²-x+6D.2x²+xA.0B.1B(x+1)(y-1)=3-(-2)-1=【★★考点12】因式分解的简单应用【★★考点12】因式分解的简单应用A.480B.240【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.利用长方形周长和面积公式求出a+b=12,ab=20,再将所求代数式因式分解后代入计算.囫面积为20m²,【答案】B【分析】本题考查了平方差公式的应用.利用平方差公式因式分解a²-b²,并代入已知条件a-b=1计算.=1.【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式进行因式分解后进行判断即可.=[(n+11)-(n+2)][(n+11故多项式(n+11)²-(n+2)²能被9整除；故选A.【★★考点13】幂的乘方的逆用【★★考点13】幂的乘方的逆用1.(25-26八年级上·福建莆田·月考)计算的结果为()【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键.积的乘方等于各因数乘方的积，即(ab)"=a"b"(m为正整数).逆用积的乘方法则计算即可.【详解】解：2.(24-25八年级上·河南周口·期末)比较2³³,322,5¹的大小，正确的是()A.2³³>5¹>3²²B.2³³>3²²>5¹C.3²²>2³³>5¹¹D.3²²>5【答案】C【分析】本题考查比较幂的大小关系，将指数统一为11次幂，比较底数大小即可即3²²>2³³>5;故选C.A.5B.6C.3²【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则是解题的关键.利用同底数幂的乘法法则，将am+"转化为a"与a”的乘积，再代入已知值计算.【详解】解：图a"=2,a"=3【★★考点14】线段垂直平分线的性质【★★考点14】线段垂直平分线的性质1.(25-26八年级上·湖北十堰·期中)如图，在RtABC中，∠B=90°,根据尺规作图的痕迹判断以A.DB=DEB.AB【分析】本题考查了尺规作图、线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质解题即可.【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，DE垂直平分AC,2DA=DC.故选：C.【答案】D【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.先根据线段垂直平分线的性质得出BC=AC,BD=AD,由此可得出结论.【详解】解：BCD垂直平分AB,AC=5,BD=4,BVABC的周长=BC+AC+AB3.(25-26八年级上·江苏泰州·月考)如图，在VABC中，DE,FG分别是VABC的边AB、AC的垂直平分线，若BD=4,DC=6,则△ADF的周长是多少()【答案】A再根据三角形周长公式计算即可.【详解】解：DE,FG分别是VABC的边AB、AC的垂直平B△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+DF+FC=AD+DC=4+6=10,【★★考点15】角平分线的尺规作图【★★考点15】角平分线的尺规作图(1)以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点(2)分别以点M,N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.(3)画射线OC,射线OC即为所求.上述方法是通过判定△OMC≌△ONC得到∠MOC=∠NOC的，其中判定△OMC≌△ONC的依据是A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.三边分别相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定.根据SSS证明三角形全等即可.【详解】解：在BCOM和BCON中，∴射线OC平分∠AOB.为半径作弧，分别交AC,AB于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于的长为半径作弧，两妇弧交于点D,作射线AD交BC于点H,若AB=7,CH=2,则AHB的面积是()【答案】D【答案】BGH=CH=2,再利用三角形面积公式计算即可.【详解】解：由作图过程可知，射线AH为∠BAC的平分线，过点H作GH⊥AB于点G,ABC内建一个休息点0,使它到AB,BC,AC三边的距离相等，下列作法正确的是()A.【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键.由题意可知，点O为VABC各个内角的平分线的交点，结合各选项图的作图痕迹可得答案.由各选项的作图痕迹可知，D选项中，点0为∠ABC和∠ACB的平分线的交点，即D选项符合题意.【★★★考点16】分式方程增根、无解问题【★★★考点16】分式方程增根、无解问题【答案】C【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种方程无解，或解出的根是增根.先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数.整理得：(1-2a)x=-3a.当1-2a=0且-3a≠0,即(,此时方程左边为0,右边为整式方程无解；当解出的根为增根x=3,代入整式方程：(1-2a)×3=-3a,解得a=1.故选C.【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即x=2或x=-2,代入去分母后的整式方程求解m即可.【详解】解：方程两边同乘公分母(x+2)(x-2),得：当x=-2时，代入得：-2(m-1)+10=0,解得m=6;图m的值为6或-4;故选B.A.-2B.1【分析】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况.对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可.【详解】解：x=3(x-1)+mxx=3x-3+mx当x-1=0时，即x=1时，方程无解，此时m=1;故选：D.【★★★考点17】平方差公式的几何意义【★★★考点17】平方差公式的几何意义1.(25-26八年级上·广西南宁·月考)如图所示，将一个边长为a的正方形减去一个边长为b的小正方形，将剩余部分(阴影部分)对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形.利用图形的面积关系可以得到一个等式是()A.a²-b²=(a-b)²B.a²-b²=(a+b)²C.a²-b²=a(a+b)【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键.可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式.拼接后等腰梯形的面积2面积相等，故选：D.2.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考)已知，大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,利用如图所示的几何图形可以证明()A.(a+b)(a-b)=a²-b²B.(a+b)²=a²+2ab+b²C.(a-b)²=a²-2ab+b²D.a(a-b)=a²-ab【分析】此题考查平方差公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证.利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可解答.【详解】解：根据图形大正方形的面积为a²,3.(25-26八年级上·河南新乡·月考)从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(图1),然后将剩余部分剪拼成一个梯形(图2).这样操作能验证的等式是()图1图2A.a²+ab=a(a+b)B.(a-b)²=a²-2ab+b²C.(a+b)²=a²+2ab+b²D.a²-b²=(a+b)(a-b)【答案】D【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于底为a+b,高为a-b的梯形的面积，由此即可得.图②拼成的梯形的底为a+b,高为a-b,B剩余部分的面积为(a+b)(a-b)=a²-b²,【★★★考点18】格点图中构造等腰三角形【★★★考点18】格点图中构造等腰三角形B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足VABC是等腰三角形，那么符合条件【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键.结合图形，利用格点，分别讨论A、B、C分别为顶点时的情况，即可解决.【详解】解：如图，以A为顶点时，符合条件的C点有C₁、C₂、C₃、C₄、C₅,以B为顶点时，符合条件的C点有C₆、C₇,当C点为顶点时，没有符合条件的C点，故符合条件的点C共有7个.B2.(25-26八年级上·江苏无锡·月考)如图，在6×5的网格中，点A,B在格点上，点C也在格点上，且VABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是()【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当BA=BC时，当AB=AC时，当CA=CB时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键.【详解】解：如图：当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交正方形网格的格点于点C₁、C₂;当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交正方形网格的格点于点C₃;当CA=CB时，作AB的垂直平分线，交网格的格点于点C₄、C₅、C₆、C₇、C₈;综上所述，VABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是8,格点C,使VABC是等腰三角形(AB是其中一腰),则图中符合条件的格点有()【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本为圆心，AB长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以A为圆心AB长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案.【详解】解：如图所示：图中符合条件的点C有5个，【★★★考点19】全等三角形的性质与【★★★考点19】全等三角形的性质与ASAlAAS、HL综合应用∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm,CD⊥AB,交CD的延长线于点F,则FC的长A.4cmB.2cmC.6cmD.4.5cm【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键.先根据∠ACB=90°,∠A=30°,求出AB=2BC=4cm,再证△ACB≌△FEC,即可求解.∴ACB≌FEC(AAS),2.(25-26八年级上·四川南充·期中)如图，AC=AB=BD,AB⊥BD,BC=10,则△BCD的面积为【答案】D【分析】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键.作AE⊥BC,垂足为E,作DF⊥BC,交CB的延长线于点F,先根据等腰三角形的性质得再证明△ABE≌BDF(AAS),得DF=BE=5,即可求△BCD的面积.【详解】解：由题意，作AE⊥BC,垂足为E,作DF⊥BC,交CB的延长线于点F,如图：∴ABE≌BDF(AAS),【答案】B【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形【详解】解：连接ED并延长交AB于点F,在BD的延长线上取一点H,使DH=DB,连接FH,图△ADF≌CDE(ASA),故选：B.【★★★考点20】分式加减的实际应用(方案辨析)【★★★考点20】分式加减的实际应用(方案辨析)1.(25-26八年级上·广西来宾·期中)新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的A,B两种零件各2400个.已知该车间员工每人每天加工16个A种零件或10个B种零件.车间负责人安排工人先加工A种零件，完成后再加工B种零件，经过13天后完成了这批订单.已知该车间有x名工人.可列方程为()A.【分析】本题考查了分式方程的应用，设该车间有x名工人，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键.【详解】解：设该车间有x名工人，依题意得：故选：C.2袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”,他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量.现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg,已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg,如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg,那么x满足怎样的分式方程?()【分析】根据两块试验田每公顷产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为(x+1500)kg,利用种植面积=总产量÷每公顷的产量，结合两块试验田的面积相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解.【详解】解：②第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg,如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg,【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.罗尺价各几何?”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈(1丈=10尺),已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱?A.只能表示绫布的长度B.只能表示罗布每尺的价格C.既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度又可以表示罗布的长度.【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为(30-x)尺，因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度.【★考点21】三角形的三边关系1.(25-26八年级上·湖北孝感·期中)等腰三角形一边长为8,一边长为2,则第三边是·【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系.分8为腰和底边两种情况进行讨论即可.【详解】解：?等腰三角形的一边长为8,另一边长为2,图当8为腰长时，底为2,第三边的长也是8,8+8>2,符合三角形三边关系；当8为底时，腰长为2,第三边的长是2,2+2=4<8,不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形图第三边的长为8.故答案为：8.2.(25-26八年级上·江苏无锡·月考)若三角形的三边长为整数，且a=5,b=3,那么边c的最大【答案】7【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键；根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解c的取值范围，再取最大整数值即可.【详解】解：由三角形三边关系，得5-3<c<5+3,即2<c<8,图边c的最大值为7;故答案为：7.【答案】10或11【分析】该题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，利用非负数的性质求出a和b的值，再根据等腰三角形的定义，分情况讨论三角形的三边组成，并验证三角形不等式是否成立，从而求出周【详解】解：由|a-3+(b-4)²=0,根据非负数的性质，得a-3=0且b-4=0,解得a=3,b=4.因为ABC是等腰三角形，且a和b是两边，所以有两种情况：①当腰长为3,底边为4时，三边分别为3、3、4,满足三角形不等式(3+3>4,3+4>3,3+4>3),周长为3+3+4=10;②当腰长为4,底边为3时，三边分别为4、4、3,满足三角形不等式(4+4>3,4+3>4,4+3>4),周长为4+4+3=11.故答案为：10或11.【★考点22】单项式除以单项式的运算【★考点22】单项式除以单项式的运算【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，解决本题的关键是正确使用运算法则并计算.运用法则将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则进行计算即可.=(8÷2)·(a³÷a)·(b÷b)-(4÷2)·(a²÷a【答案】-2x⁴+1【分析】本题考查多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式即可求解.故答案为：-2x⁴+1.【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，据此列式求解即可.故答案为：3a-b.【★考点23】三角形外角的定义及性质【★考点23】三角形外角的定义及性质1.(25-26八年级上·浙江嘉兴·期中)如图，在VABC中，AB=AC,外角∠ACD=110°,则【答案】40°【分析】本题主要考查了等边对等角、邻补角的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键.先得到∠ACB的度数，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可.【详解】解：图∠ACD=110°,2∠A=∠ACD-∠ABC=110°-70故答案为：40°.【答案】74°/74度【分析】本题考查的是全等三角形的性质.掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAB=37°,根据三角形外角性质求解即可.【详解】解：△ABC≌BAD,点A与点B,点C与点D是对应顶点，∠DBA=37°,故答案为：74°.3.(25-26八年级上·陕西榆林·月考)如图，在VABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P;若∠BPC=25°,则∠A=.【答案】50°/50度【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，三角形的外角性质，根据∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P,得2∠CBP=∠ABC,2∠DCP=∠ACD,结合三角形的外角性质进行分析，则∠DCP-∠CBP=25°,代入数值到∠A=2×(∠DCP-∠CBP)进行计算，即可作答.【详解】解：图∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P,故答案为：50°.【★考点24】零指数与负指数幂【★考点24】零指数与负指数幂【答案】8【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，正确地计算是解题的关键.利用负整数指数幂和零指数幂法则进行计算即可.【详解】解：②原式=9-1=8.故答案为：8.【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用积的乘方逆运算进行计算，再根据零指数幂和负指数幂法则计算其他项，最后进行加减运算【详解】解：原式=3.(25-26八年级上·重庆·月考)计算：(-2)⁻³+(2π-5)°=【答案】【分析】应用负整数指数幂，和零指数幂a⁰=1(a≠0)的运算法则分别计算各部分后相加即可；本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键.【详解】解：(-2)⁻³+(2π-5)°1.(25-26八年级上·江苏盐城·期中)如图，在VABC中，AB=AC,∠A=40°,CD⊥AB于点D,CC【答案】20直角三角形两锐角互余是解题的关键.先根据等腰三角形性质求出底角∠B的度数，再结合直角三角形两锐角互,,故答案为：20.【答案】70【分析】本题主要考查等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握等边对等角是解题的关键.【详解】解：2AB=AC,2∠B=∠C(等边对等角).故答案为70.【分析】题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键.先根据AD=BD,得∠B=∠BAD,则∠B=∠C=∠BAD,结合三角形内角和性质以及∠CAD=27°,进行列式计算，即可作答.故答案为：51°.【★★考点26】成轴对称图形的特征及相关计算【★★考点26】成轴对称图形的特征及相关计算1.(25-26七年级上·上海·月考)如果点A与点B关于直线MN对称，而且点A到MN的距离是2.4cm,【答案】4.8根据轴对称的性质，确定点A、B到对称轴MN的距离关系，进而计算线段AB的长度.2AB=2.4+2.4=4.8.故答案为：4.8.2.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，VABC与△A'B'C关于直线1对称，且∠A=102°,【答案】±8【分析】此题考查轴对称的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，根据轴对称的性质先求出∠C等于∠C′,再利用三角形内角和定理即可求出∠B.【详解】解：囹VABC与△A'B'C'关于直线l故答案为：45°.OB的对称点，C₁C₂交OA于点D,交OB于点E.若C₁C₂=9cm,则CDE的周长是cm.【答案】9【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；由轴对称的性质可知DC=DC₁,EC=EC₂,然后根据C₁C₂=9cm及三角形的周长公式可进行求解.【详解】解：由轴对称的性质可知DC=DC₁,EC=EC₂,BC₁C₂=DC₁+DE+EC₂=9cm,CDE的周长=DC+CE+DE,2CDE的周长=DC₁+C₂E+DE=9cm,故答案为：9.【★★考点27】求完全平方式中的字母系数【★★考点27】求完全平方式中的字母系数1.(25-26八年级上·内蒙古·期末)若x²+ax+16是一个完全平方式，则实数a的值为【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式x²+ax+16变形为(x±4)²然后将其展开，对比一次项系数即可.所以a=±8.2.(25-26七年级上·上海·期中)若关于x的整式9x²-(2k-1)x+4是某个关于x的整式的平方，则k的值为_【分析】本题考查完全平方式的特点.给定整式为完全平方式，可将其与(3x±2)²展开式比较系数，从而建立关于k的方程求解.比较系数得：-(2k-1)=±12.当-(2k-1)=12时，解得：【答案】4【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键.根据完全平方公式，对于形如x²+bx+m的二次式，若其为完全平方式，则常数项m等于一次项系数一半的平方即可得到答案.【详解】解：由题意，整式x²+4x+m为某完全平方式展开后的结果，则根据完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,可得x²+4x+m=(x+2)²=x²+4x+4,故答案为：4.【★★考点28】因式分解【★★考点28】因式分解【答案】b(a+1)(a-1)【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式b,再对a²-1应用平方差公式分解因式即可.【详解】解：a²b-b=b(a²-1)=b(a+1故答案为：b(a+1)(a-1).2.(25-26八年级上·全国·期末)教材P133有这样一段话：分解因式x²+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图)这样，我们也可以得到x²+3x+2=(x+1)(x+2)利用上述方法，分解因式：x²-x-12=__.【分析】本题主要考查利用十字相乘法求解一元二次方程，判断是否可以利用十字相乘法是解题的关键.【详解】解：回这个式子的二次项系数1=1×1,常数项-12=3×(-4),一次项系数-1=3+(-4),【答案】【详解】解：(1)x⁴-81=(x²)²-9²=(x²-9)(x²+9)=(x-3)(x+3)(x²+9);【★★考点29】分式化简求值(不含参数)【★★考点29】分式化简求值(不含参数)【答案】故答案为：1+2√2.【答案】4【分析】本题考查了分式化简求值，先化简得2(m-n),再把m-n=2代入进行计算，即可作答.【详解】解：故答案为：4.【答案】6【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的加减乘除法则，先将分式进行化简，然后根据题意可知a(a+2)=3,代入即可求值.【详解】解：∴原式=2×3=6.【★★考点30】角平分线的性质定理【★★考点30】角平分线的性质定理【答案】9【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，角平分线的性质定理，含30°直角三角形的性先根据线段垂直平分线的性质定理得AE=EB,再根据“等边对等角”得∠B=∠BAE=30°,再根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出∠C=90°,即可根据角平分线的性质定理得DE=CE,接下来根据直角三角形的性质得BE=6,最后根据BC=BE+CE得出答案.【详解】解：图DE垂直平分AB,2DE=CE.故答案为：9.【答案】7:5BDE=DF,故答案为：7:5.3.(25-26八年级上·重庆·月考)如图，VABC中，点E在AB边上，连接CE,∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F,连接CF.若AC=8,CE=6,S△ACF=16,则S△FCE=的距离相等是解题关键.作F到AB、AC、EC的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过△ACF的面积求出垂线段长度，用该长度计算△FCE的面积即可.【详解】解：如图，过点F分别作AB、AC、EC的垂线，交AB延长线于点G,交AC延长线于点M,交EC于点N.∴FN=FG,FM=FG,∴FN=FM,故答案为：12.【★★考点31】线段垂直平分线的性质应用【★★考点31】线段垂直平分线的性质应用1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，在VABC中，边AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,若BD=4,AC=7,则CD的长为_·【答案】3是解题的关键.根据垂直平分线的性质可得AD=BD=4,进而求解即可..【答案】7【详解】解：DE是AB的垂直平分线BCD=AC-AD=7-4=3.故答案为：3.2.(24-25八年级下·湖南长沙·开学考试)如图，在VABC中，DF,EG分别是AB,AC的垂直平【答案】32【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出AD=BD、AE=CE是解此题的关键.根据线段垂直平分线性质得出AD=BD,CE=AE,求出BC=AD+DE+AE即可.【详解】解：DF,EG分别是AB,AC的垂直平分线，∵△ADE的周长为32cm,故答案为：32.交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,作直线MN,交AB于点E.若VADE的周长为11,AC=4,则AB的长为【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，根据尺规作图可知，MN垂直平分线段ED,利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可.【详解】解：由作图可知AC=AD,EB=ED,∵△ADE的周长=11,故答案为：7.【★★★考点32】分式的规律性问题【★★★考点32】分式的规律性问题第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：按上面的规律归纳出一个一般的结论_(用含n的等式表示，n为正整数).【答案】【分析】此题考查了解决数式变化规律问题的能力，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律.通过前4个等式的规律可得此题结果.【详解】解：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：∴第n个等式为根据你发现的规律计算：(n为正整数).【答案】【分析】先根据已知等式归纳类推出再代入计算即可得.【详解】解：由题意，归纳类推得：故答案为：【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键.3.(21-22八年级下·广东佛山·月考)已知S₁=a+1(a不取0和-1),【分析】根据题意可得,…,可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值.【详解】解：图S₁=a+1(a不取0和-1),23个一循环，故答案为：a+1.【点睛】本题考查数字的变化类、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律.【★★★考点33】三线合【★★★考点33】三线合一证明等边三角形的性质(含辅助线)1.(25-26八年级上·浙江衢州·期中)已知在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E在AB的延长线上，且CD=BE,连接AD,DE.AB=10时，P,Q分别为射线AB、射线CA上的动点，且∠PDQ=120.若AQ=4,【答案】【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键.分两种情况：当点Q在线段CA的延长线上时，当点Q在线段CA上时，分别求解即可得到答案.【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，如图③,作DM//AB交AC于点M,∴PBD≌QMD(ASA),当点Q在线段CA上时，如图④,同理可证明PBD≌QMD(ASA),则BP=QM=AM-AQ=5-4=1,综上所述，BP的长为9或1.故答案为：120,9或1.连接PE,PE⊥AC于点E,点Q为BC延长线上一点，且PA=CQ,连接PQ交AC于点D,若CD=3,BQ=10,则AE的长为【答案】1的平行线交AC于点F,所以∠Q=∠FPD,又VABC是等边三角形，得∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,AC=BC,然后证明△PFD≌QCD(AAS),故有FD=CD=3,因为PE⊥AC,△APF是等边三角形，所以AE=EF,PF=AF=CQ,设AE=EF=x,则PF=AF=CQ=2x,AC=BC=AF+DF+CD=2x+6,最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.BVABC是等边三角形，2△APF是等边三角形，BPF=CQ,BPE⊥AC,△APF是等边三角形，设AE=EF=x,则PF=AF=CQ=2x,AC=BC=AF+DF+CD=2x+6,故答案为：1.则AP的长是【答案】5【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的定义以及性质.连接OD,证明△ODP是等边三角形，由等边三角形的性质可得出APO≌BDP(AAS),由全等三角形的性质可得出BP=AO=2,进而根据线段的和差关系即可得出答案.B△APO≌BDP(AAS),故答案为：5.【★★★考点34】用【★★★考点34】用SAS证明三角形全等(含动点背景)动点P从点B沿边BC向点C运动，速度为3m/s,同时点Q从点C沿射线CD方向运动.当点Q运动速度为m/s时，△PBE和△PCQ可能全等.【答案】2.4或3【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.根据题意，分类讨论：当BE=CQ=12,∠B=BP=CQ时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解.【详解】解：分以下两种情况讨论：如图所示，当BE=CQ=12,∠B=∠C,BP=CP时，BPE≌CPQ,∴点P运动的时间为5秒，二点Q运动的速度为如图所示，∴点P运动的时间为点Q运动的速度为综上所述，点Q运动速度为2.4m/s或3m/s.故答案为：2.4或3.分∠BAC交BC于点D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为BPQ=PQ',图当BQ'⊥DH时，即点Q'与点H重合，BP+PQ的最小值为BH=10,故答案为：10.一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得ACD与BCE中，连接DE交射线AN于【答案】5cm【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构如图作EH⊥AN于H,由△ABC≌△HCE得AB=CH,AC=EH,再证明△DCM≌△EHM得CM=HM,即可解决问题.【详解】解：如图作EH⊥AN于H,故答案为：5cm.【★★★考点35】最短路径问题(轴对称应用)【★★★考点35】最短路径问题(轴对称应用)1.(24-25八年级上·湖北黄冈·期末)如图，等腰Rt△ABC腰长为6,等腰Rt△ADE的斜边DE=4,点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最大值为__【答案】8【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，连接AM,如图所示，由等腰直角三角形的判定与性质得然后利用三角形三条边的关系求解即可.确定当A,B,M三点共线且点M不位于点A,B之间时BM有最大值是解题的关键.【详解】解：连接AM,如图所示：等腰RtADE的斜边DE=4,当A,B,M三点不共线时，由三角形的三边关系可知，此时一定有BM<AB+AM;即当A,B,M三点共线且点M不位于点A,B之间时BM有最大值，此时有BM=AB+AM,∵等腰Rt△ABC腰长为6,图BM≤AB+AM=6+2=8,即点B到点M的距离的最大值为8.故答案为：8.CC【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键.先找出BC的长，再确定P|A-PB|的取得最大值为BC的长即可.【详解】解：图AC的垂直平分线交AC于点F,交AB于点E,2EA=EC,BVBEC的周长是18,AB=10,BBC=△BEC的周长-(EC+EB)=18-(AE+EB)=18-AB=18-10=8,CC图点P在AC的垂直平分线EF上，故|PA-PB|的最大值为8,此时点P是直线EF与直线BC的交点.故答案为：8,8.3.(23-24八年级上·河北沧州·期末)如图，点C、D在线段AB的同侧，CA=4,AB=12,BD=9,②CD长的最大值是【分析】①根据补角的定义即可求解；②作点A关于CM的对称点A',作点B关于DM的对称点B′,证明A'MB'为等边三角形，即可解决问题.【详解】解：①∵∠AMC+∠BMD+∠CMD=180°,∠CMD=120°,故答案为：60°;②如图，作点A关于CM的对称点A',作点B关于DM的对称点B',∵MA'=MB',∴CD的最大值为19,故答案为：19.【点睛】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题.【★★考点36】整式的乘法(1)(-1)²025-2³×0.125+(π【答案】(1)-2【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，掌握乘方、零指数幂的运算法则，单项式乘除法则是解题关键.(1)先处理乘方、零指数幂、绝对值等特殊运算，再按乘除加减顺序计算.(2)先分别算整式的乘除，再合并同类项.【详解】(1)解：原式=-1-8×0.125+1-1=-2.(2)(m+2)(m-2)-m(m-1).【答案】(1)-6a⁶【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法以及整式的运算.(1)先根据同底数幂的乘法a⁵·a,再根据幂的乘方、积的乘方计算(-3a³)²,,接着根据同底数幂的除法计算2a⁸÷a²,最后合并同类项计算即可；(2)先根据平方差公式计算(m+2)(m-2),再根据单项式乘以多项式计算m(m-1),最后合并同类项计算即可.【详解】(1)解：原式=a⁶-9a⁶+2a⁶(2)解：原式=m²-4-m²+m(2)先化简，再求值：[(x+1)·(x-5)-3x(2x-1)+5]÷2x,【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键.(1)先计算积的乘方，再计算单项式的乘除，即可得出答案；(2)先去括号，再合并同类项，化简后再代值计算即可.【详解】(1)解：原式=-8x⁶y⁶·3xy²=-24x⁷y⁸;(2)解：原式=(x²-5x+x-5-6x²+3x+5)÷2x【答案】(1)6x+13【分析】本题主要考查了整式的混合运算.(1)先运用完全平方公式和平方差公式展开式子，然后合并同类项即可.(2)先计算积的乘方，再计算多项式除以单项式.【详解】(1)解：(x+3)²-(x+2)(x-2)【★★考点37】因式分解【★★考点37】因式分解(2)(a-b)²+6(a-b)+9.【分析】本题考查了提公因式法和公式法因式分解.(1)先将原式变形为4x²(a-b)-(a-b),再提取公因式(a-b),然后运用平方差公式分解因式即可；(2)运用完全平方公式分解因式即可.【详解】(1)解：4x²(a-b)+(b-a)【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键.(1)先提取公因式x,再根据平方差公式二次分解即可；(2)先提取公因数2,再根据完全平方公式进行二次分解即可.【详解】(1)解：x³-4x(2)解：2x²-12xy+18y²(1)根据十字相乘法进行因式分解即可；(2)先提取公因式a,然后根据完全平方公式进行因式分解即可.【详解】(1)解：原式=(x+5)(x-2);(2)解：原式=a(a²-10a+25)【分析】本题主要考查了因式分解.(1)运用提公因式以及公式法分解因式即可.(2)两次运用完全平方公式分解因式即可.【详解】(1)解：x³-4x【★★考点38】分式化简求值【★★考点38】分式化简求值【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.(1)直接运用分式的混合运算法则计算即可；(2)先运用分式的混合运算法则化简，然后将a=-2代入求值即可.【详解】(1)解：(2)化简：【答案】(1)x²-x-7;(2)-1【分析】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则.(1)首先计算多项式乘以多项式和完全平方公式，然后去括号合并即可；(2)首先将括号内通分然后相加，然后将括号外除法转化为乘法求解即可.【详解】解：(1)(5x+1)(2x-3)-(3x-2)²=-1.m²-m-1=0.【答案】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据m²-m-1=0得出m²=m+1,代入代数式进行计算即可.本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.=1.(2)先化简，再求值：,其中a=4.【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.(1)先通分，再把分子相加减即可；(2)先算括号里面的，再算除法，再把a=4代入进行计算即可.【详解】解：(1)【★★考点39】解分式方程【★★考点39】解分式方程【详解】(1)解：方程两边同时乘x-2,得1=x-1,检验：将x=2代入x-2得2-2=0,(2)解：方程两边同时乘2x-3,得x-5=4(2x-3),(2)原方程化为,两边乘(x-2)(x+2)【详解】(1)解：【详解】(1)解：(2)解：移项合并同类项：2x=2,系数化为1:x=1,②【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意需检验.(1)根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答.(2)根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答.【详解】(1)解：去分母得2x-5=3x-3-3(x-2),去括号得2x-5=3x-3-3x+6,移项、合并同类项得2x=8,系数化为1得x=4,检验：把x=4代入最简公分母，x-2=4-2=2≠0,(2)解：去分母得5(x-1)-(x+1)=0,去括号得5x-5-x-1=0,移项、合并同类项得4x=6,系数化为1得检验：将代入x(x+1)(x-1)中可得故原方程的解为【★★考点40】全等三角形性质与判定综合【★★考点40】全等三角形性质与判定综合AD、CE相交于点P.(2)若AE=3,CD=4,求线段AC的长.【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形.(1)先由∠ABC=60°,得到∠BAC+∠BCA=120°,然后由AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB得到∠PAC+∠PCA的值，进而得到∠APC的度数；然后由∠APC=120°得到∠DPC=60°,进而得到∠DPC=∠FPC,可证△PCF≌PCD,即可得到CD=CF,最后得到AC=AE+CD.(2)解：如图所示，在AC上截取AF=AE,连接PF,图AD平分∠BAC,∴PDC≌PFC(ASA),=7.2.(21-22七年级下·陕西西安·期末)如图1,在VABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE相交于点O.cc(2)如图2,∠A=60°.①∠BOC的度数为;②猜想BE,CD,BC的数量关系，并说明理由.(2)①120°,②BC=BE+CD,理由见解析.【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键.(1)根据角平分线的定义得出(2)①先根据∠A=60°求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠OBC+∠OCB的度即可证明.【详解】(1)解：BBD,CE分别为∠ABC,∠ACB角平分线，②(2)解：①∵∠A=60°,由(1)可知，2△BEO≌BFO(SAS),BDC=FC,AE=CD,连接AD,F为AD的中点.连接EF并延长，交AC于点G,在FG上截取点H,使FH=FE,本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.【详解】(1)证明：2F为AD的中点，2AF=DF,2DH=DC,2DHGDCG(SSS),3AB//HD,(1)如图1,证明：ABE≌△ACD;(2)解：BD=BF+EF,证明如下：2AF//BC,2BF=BG,BE=BE,3AE=AE,3AE=AD,AG=AG,2EG=DG,3BD=BG+DG=BF+EF;【★【★★考点41】等腰三角形性质与判定综合(2)当点D与点C恰好关于AN对称，且∠3=∠CAD时若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据题意，∠N=90°-∠B=90°-70°=20°,解答即可；(2)先根据点D与点C恰好关于AN对称，且∠3=∠CAD,计算∠3=∠CAD=∠4=6