小学高年级数学思维训练习题集

小学高年级数学思维训练习题集（提示：“思”代表的数字是1）*分析与解答：*已知“思”代表1。由于是两个两位数相加，和是三位数，因此“喜”+“数”必须进位，且进位只能是1（因为两个最大的两位数99+99=198，百位也只是1），所以“喜”+“数”=10+“维”（这里的“维”是和的十位数字），而和的百位“思”已经确定是1。个位上，“欢”+“学”=“乐”或者“欢”+“学”=10+“乐”（如果个位相加也进位的话）。我们尝试从“喜”和“数”入手，它们都是1-9的数字，且互不相同，且它们的和至少是10（因为要进位）。假设“喜”=9，则“数”可以是2（9+2=11，此时“维”=1，但“思”已经是1，数字不能重复，所以排除）；“数”=3，则“维”=2；以此类推。或者“喜”=8，“数”=3（8+3=11，“维”=1，重复，排除）；“数”=4，“维”=2。经过尝试，可能的一种答案是：87+36---------123即：喜=8，欢=7，数=3，学=6，思=1，维=2，乐=3。但这里“乐”和“数”都是3，重复了，不行。再试：95+27---------122“维”和“乐”都是2，重复。继续尝试：93+45---------138“喜”=9，“数”=4，“维”=3；“欢”=3，“学”=5，“乐”=8。这里“欢”和“维”都是3，重复。关键在于个位相加是否进位。如果个位相加也进位，那么十位上的和就是“喜”+“数”+1（进位的1）=10+“维”。假设个位相加进位，即“欢”+“学”=10+“乐”。设“喜”=9，“数”=2，则“喜”+“数”=11，若个位进位1，则十位和为11+1=12，所以“维”=2。但“数”已经是2，重复。“喜”=9，“数”=5，则“喜”+“数”=14，若个位进位1，十位和为15，“维”=5，与“数”重复。“喜”=7，“数”=5，则“喜”+“数”=12，若个位进位1，十位和为13，“维”=3。个位：“欢”+“学”=10+“乐”。剩下的数字有0,2,4,6,8（因为1,5,7,3已用）。尝试“欢”=8，“学”=6，则“乐”=4（8+6=14）。于是算式为：78+56---------134检查数字：喜=7，欢=8，数=5，学=6，思=1，维=3，乐=4。所有数字互不相同，且满足条件。这是一个valid的解。（答案不唯一，还有其他可能，同学们可以继续探索）*思路点睛：*解决这类数字谜题，要善于利用已知条件，从关键位置（如最高位、进位）入手，通过假设、尝试和排除矛盾来找到正确答案。第二节：图形推理与空间想象1.找规律填图观察下面图形的排列规律，想一想“？”处应该选择哪个图形（从A、B、C、D中选择）。（此处应有图形序列，假设为：第一个图是一个正方形内有一个黑点，第二个是正方形内有两个横着排列的黑点，第三个是正方形内有三个呈三角形排列的黑点，第四个是正方形内有四个呈正方形排列的黑点，？）A.正方形内五个呈十字排列的黑点B.正方形内五个呈正五边形排列的黑点C.正方形内五个呈一行排列的黑点D.正方形内五个呈金字塔形排列的黑点*分析与解答：*观察图形，黑点的数量依次是1，2，3，4，因此“？”处图形应该有5个黑点。更重要的是黑点的排列方式：1个点时是任意（中心）；2个点是在一条直线上（水平）；3个点是三角形（平面图形中最简单的封闭图形）；4个点是正方形（四边形）。因此，规律是黑点数量递增1，排列方式是从直线（1维）到平面多边形（2维），边数依次增加。那么5个点应该排列成正五边形。所以选择B。*思路点睛：*图形推理要关注图形的构成元素（点、线、面）、数量变化、位置变化、形状变化以及它们的组合规律。2.正方体的对面一个正方体的六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6。从不同的角度观察，看到的情况如下图所示（假设给出三个视角：第一个视角看到正面1，上面2，右面3；第二个视角看到正面3，上面4，右面5；第三个视角看到正面5，上面6，右面1）。请问：数字1的对面是哪个数字？*分析与解答：*方法一：排除法。与1相邻的面不可能是它的对面。从第一个视角看，1与2、3相邻；从第三个视角看，1与5、6相邻；所以与1相邻的数字有2、3、5、6，那么剩下的数字4就是1的对面。*思路点睛：*解决正方体对面问题，关键在于利用“相邻必不相对”的原则，通过观察不同视角，找出与目标面相邻的所有面，剩下的就是对面。第二章：空间想象与几何认知空间想象能力是数学学习，特别是几何学习的重要基础。本章节的题目将帮助你构建空间概念，提升对图形的感知和操作能力。第一节：图形的分割与组合1.巧分图形请将一个等边三角形分割成4个大小形状完全相同的小三角形。*分析与解答：*取等边三角形三边的中点，然后将这三个中点依次连接起来。这样就把原来的大等边三角形分割成了4个完全相同的小等边三角形。每个小三角形的边长都是原三角形边长的一半。*思路点睛：*对于规则图形的分割，寻找边的中点、对角线的交点等特殊点往往是突破口。2.立体图形计数下面是由相同的小正方体堆成的立体图形（假设是一个3x3x3的大正方体，从顶层右上角拿走一个小正方体，从底层左上角拿走一个小正方体）。请你数一数，这个立体图形一共有多少个小正方体？*分析与解答：*方法一（分层计数）：我们可以按照层数来数。假设这个立体图形有三层（上、中、下）。顶层：原本3x3=9个，拿走1个，剩下8个。中层：没有被拿走的，还是9个。底层：原本9个，拿走1个，剩下8个。总数：8+9+8=25个。方法二（整体减空缺）：完整的3x3x3大正方体有27个小正方体。现在拿走了2个，所以27-2=25个。*思路点睛：*计数立体图形中的小正方体，分层计数是一种稳妥的方法，能有效避免遗漏或重复。对于有缺口的图形，也可以用“整体减空缺”的思路。第二节：图形的运动与变化1.图形的旋转一个图形绕某一点顺时针旋转90度后，得到的新图形与原图形相比，哪些元素不变？哪些元素发生了变化？*分析与解答：*不变的元素：图形的形状、大小、对应线段的长度、对应角的度数。发生变化的元素：图形的位置、各点的坐标（如果在坐标系中）、图形的朝向。*思路点睛：*理解图形的平移、旋转、轴对称等变换，关键在于把握“变”与“不变”的要素。第三章：策略优化与问题解决数学源于生活，用于生活。本章节的题目将引导你运用数学思维解决实际问题，培养优化意识和策略性思考能力。第一节：最优方案选择1.购物策略学校要为运动会购买一批矿泉水。商店推出两种促销方案：方案一：每瓶2元，买十送一。方案二：每瓶1.8元，不打折。学校需要购买100瓶矿泉水，哪种方案更省钱？省多少钱？*分析与解答：*方案一：“买十送一”，即每买10瓶，可以得到11瓶。100÷11=9（组）……1（瓶）。这意味着买9组“买十送一”，可以得到9×11=99瓶，还需要再单买1瓶。所以需要付钱购买的瓶数是：9×10+1=91瓶。总费用：91×2=182元。方案二：每瓶1.8元，购买100瓶。总费用：100×1.8=180元。比较：182元>180元，所以方案二更省钱。省的金额：182-180=2元。*思路点睛：*解决这类问题，需要分别计算出不同方案的实际花费，然后进行比较。要特别注意“买十送一”这类促销的实际折扣情况，不是简单的九折。第二节：趣味应用题1.鸡兔同笼鸡兔同笼，共有头35个，脚94只。问鸡和兔各有多少只？*分析与解答：*这是一个经典的鸡兔同笼问题。方法一（假设法）：假设全是鸡。那么脚的总数应该是：35×2=70只。但实际有94只脚，多出来的脚是因为把兔子当成了鸡。每只兔子比鸡多2只脚。多出来的脚数：94-70=24只。所以兔子的数量：24÷(4-2)=12只。鸡的数量：35-12=23只。方法二（方程法）：设鸡有x只，则兔有(35-x)只。根据脚的数量可列方程：2x+4(35-x)=942x+140-4x=94-2x=94-140-2x=-46x=23兔的数量：35-23=12只。*思路点睛：*假设法是解决鸡兔同笼问题的常用方法，其核心是通过假设，找出与实际数量的差异，并分析差异产生的原因，从而求出未知量。第四章：巧思妙解与方法拓展有些数学问题，用常规方法解可能比较繁琐，但若能换个角度思考，或运用一些特殊技巧，就能化繁为简，迎刃而解。本章节将带你体验数学思维的灵活性与创造性。第一节：从不同角度看问题1.反向思考一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8。这个数是多少？*分析与解答：*这道题如果顺着思考，设这个数为x，列方程求解也可以，但用反向思考（倒推法）会更简单。从结果“8”开始倒推：“除以8，结果还是8”，那么除以8之前的数字是：8×8=64。“减去8”得到64，那么减去8之前的数字是：64+8=72。“乘以8”得到72，那么乘以8之前的数字是：72÷8=9。“加上8”得到9，那么这个数是：9-8=1。所以，这个数是1。*思路点睛：*对于一些按照顺序描述运算过程，并给出最终结果的问题，采用倒推法（从结果一步步反推到最初状态）往往能快速找到答案。2.整体代换已知a+b=10，a+c=12，b+c=14。求a、b、c分别是多少？*分析与解答：*如果我们分别解方程组，也能求出a、b、c。但这里我们可以把(a+b)、(a+c)、(b+c)看作一个整体。将三个等式相加：(a+b)+(a+c)+(b+c)=10+12+14即：2a+2b+2c=36两边