专题03 数列通项求法解答题秒杀攻略（原卷版及解析）

专题03数列通项求法解答题秒杀攻略目录第一部分题型目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式训练题型01利用定义求通项公式 题型02累加法求通项公式 题型03累乘法求通项公式题型04利用an与sn关系求通项公式题型05构造法求通项公式第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01利用定义法求通项公式【例1-1】（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，.(1)求；(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.【例1-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由.【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．(1)求和的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前2n项和，(3)求的最大值和最小值．【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．(1)求m的值及的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【变式1-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且.(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；(2)设，求数列的前项和.题型02累加法求通项公式【例2-1】（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．(1)若，，成等差数列，求k；(2)求．【例2-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；(2)已知的差分数列为，求的通项公式．【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．(1)求的通项公式；(2)令（），求数列的前项和．【变式2-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的前n项和.【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知为等比数列，为正整数的最大奇因数，，且.(1)求；(2)写出时，与的关系；(3)求证：.题型03累乘法求通项公式【例3-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；(2)若数列为和积交替数列，且，.（i）若3是数列中的项，求实数的值；（ii）若，证明：.【例3-2】（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)若，求；(2)若，求关于n的表达式．【变式3-2】（2022·福建南平·三模）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．【变式3-3】（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）.(1)求的通项公式；(2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.题型04利用与关系求通项公式【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且．(1)求；(2)令，求的前项和．【例4-2】（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知.(1)求；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和.1、求数列的通项可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为．(1)证明：是等比数列．(2)求数列的前项和．(3)若，求的取值范围．【变式4-2】（2025·四川自贡·一模）设数列的前n项和为．(1)求；(2)若，求数列的前n项和；(3)设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由．【变式4-3】（2025·广东佛山·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数.(1)证明：；(2)若，求；(3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由.题型05构造法求通项公式【例5-1】（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求．【例5-2】（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)求的通项公式；(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.1、形如（其中均为常数且）型的递推式（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出2、形如型的递推式（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．3、倒数变换法形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．4、形如型的递推式用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式【变式5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记的前项和为，求证：.【变式5-3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：．2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式：(2)证明：．3．（2025·贵州遵义·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且.(1)分别求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.4．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和．已知．(1)求的通项公式；(2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和．5．（2025·广东肇庆·一模）记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，.(1)证明：是等比数列并求；(2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由；(3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列.6．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.(1)求；(2)求的值；(3)设数列的前项和为，证明：.

专题03数列通项求法解答题秒杀攻略目录第一部分题型目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式训练题型01利用定义求通项公式 题型02累加法求通项公式 题型03累乘法求通项公式题型04利用an与sn关系求通项公式题型05构造法求通项公式第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01利用定义法求通项公式【例2-1】（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，.(1)求；(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得，即可写出通项；（2）先求出的表达式，将两个数列的项依次列出，再合并后从小到大排列推得，化简数列的通项，利用裂项相消法计算即得.【详解】（1）设等差数列的公差为，因，可得，解得，故；（2）由（1）得，则，则.因数列的项依次为：，而数列的项依次为：，将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为.则，故数列的前项和为：.【例1-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由.【答案】(1)；(2)不能在数列中取三个不同的项，构成等比数列，理由见证明.【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等差数列前项和公式，进行求解即可.（2）通过反证法以及等比数列的性质进行计算即可.【详解】（1）由题意可得，为等差数列，所以，，所以，，解得，，所以，所以.（2）假设在数列中存在三个不同的项，，构成等比数列,根据等比中项性质，可得,由(1)知，则，，,将其代入可得：,展开等式左边得：,展开等式右边得：,因为等式两边的系数和常数项分别相等，所以可得方程组,由可得，将其代入得：,展开并化简得：,因为，，所以，这与矛盾,由于假设不成立，所以在数列中取三个不同的项，不能构成等比数列.【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．(1)求和的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前2n项和，(3)求的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值，最小值.【分析】（1）通过基本量运算求得公差和公比，得到通项公式；（2）将分组，分别利用等差数列前项和公式和错位相减法求得各组的和，得到；（3）利用化简和式，讨论的奇偶得到最值.【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，则，解得，所以，；（2）由（1），，，所以令，即①，则②，①-②得：，整理得所以；（3）因为，设所以，当为奇数时，，由反比例函数性质可知随增大而增大，故；当为偶数时，，由反比例函数性质可知随增大而减小，故，又当时，，介于与之间，所以的最大值为，最小值为.【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．(1)求m的值及的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）先把等比数列的前项和公式形式为（为常数，为公比），再通过与的关系求解即可；（2）先借助(1)代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，当时，；当时，，又因为是等比数列，所以，解得；所以的通项公式为．故；．（2）由（1）知，所以，所以，两式相减得：，所以．【变式1-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且.(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，；(2)【分析】（1）根据题意求出，代入计算为常数，所以数列为等比数列，根据等比数列通项公式求出通项公式，减去便可得到的通项公式.（2）将的通项公式代入，求出数列的通项公式，利用错位相减法求出.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，则.（2）由（1）知，所以，所以，则，两式相减得，所以.题型02累加法求通项公式【例2-1】（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．(1)若，，成等差数列，求k；(2)求．【答案】(1);(2)【分析】（1）根据，成等差数列得，求出即可；（2）由累加法结合裂项相消法可得答案.【详解】（1）已知数列满足，．因为，，成等差数列，所以，所以，整理得，解得，或（负值舍去），所以；（2）因为，又，所以时，，时,也满足上式，所以．【例1-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；(2)已知的差分数列为，求的通项公式．【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】（1）根据定义可求，再利用定义法可证的差分数列为等差数列；（2）利用累加法可求的通项公式．【详解】（1），其中，故，故的差分数列为等差数列.（2）由题设有，故，由累加法可得，而，所以，而也满足该式，故.【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．(1)求的通项公式；(2)令（），求数列的前项和．【答案】(1);(2)【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可；（2）由裂项相消法求和即可．【详解】（1）令，，又由有，则有，所以．又因为数列的各项均为正数，所以．（2）由，知．【变式2-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的前n项和.【答案】(1)证明见解析，;(2);(3)【分析】（1）由先求，根据等差数列的定义验证是否为不变的常数即可验证；（2）由（1）有，利用累加法即可求解；（3）由有，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）由有，所以，又，，解得，又因为，即，所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，所以，（2）由（1）有，所以，上式相加有，所以，所以；（3）由（2）有，所以，所以，所以.【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知为等比数列，为正整数的最大奇因数，，且.(1)求；(2)写出时，与的关系；(3)求证：.【答案】(1);(2);(3)证明见解析【分析】（1）根据给定条件，求出，进出求出等比数列公比，求出通项公式.（2）由已知可得，再由给定的和式，结合等差数列前n项和公式求出递推公式.（3）由（2）的结论，利用累加法求出，再利用等比数列前n项和公式求和得证.【详解】（1）由为正整数的最大奇因数，得，则，等比数列的公比为2，所以等比数列的通项公式为.（2）由为正整数的最大奇因数，得当为正奇数时，；当为正偶数时，，，所以当时，.（3）当时，，由（2）知，当时，，，而满足上式，则，所以.题型03累乘法求通项公式【例3-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；(2)若数列为和积交替数列，且，.（i）若3是数列中的项，求实数的值；（ii）若，证明：.【答案】(1)或;(2)（i）或；（ii）证明见解析【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值.（2）（i）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项，由范围，求出后面项的大小范围，判断3可能出现的位置，求出参数的值.（ii）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过对数运算，证明命题.【详解】（1）由题知，，解得，或；（2）（i）由题知，则，，由，则；，由，则；，但，，所以；而，…以此类推，当，时，.所以若3是数列中的项，则或或，解得或.（ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且，所以，同取以2为底的对数，得，即.又，所以，则，累乘整理，得，所以时，.当时，符合上述不等式，所以，结论得证.【例3-2】（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．【答案】(1);(2)证明见解析【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案；（2）整理数列通项，利用错位相减法，可得答案.【详解】（1）当时，，显然成立；当时，，，相减可得，化简可得，由累乘法可得，显然满足上式，故数列的通项公式.（2）由，则，，两式相减可得，所以.形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)若，求；(2)若，求关于n的表达式．【答案】(1);(2)【分析】（1）令可求得，再结合可求出；（2）利用累乘法结合已知条件可得，则当时，，两式相减化简可得，从而可得的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列，进而可求出其通项，则可求得关于n的表达式．【详解】（1）令，可得，故，又，所以．（2）由，可得，，…，，两边分别相乘得，所以．当时，，所以，即，即，由题可知，所以，所以的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列．所以，，所以．所以，故．【变式3-2】（2022·福建南平·三模）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．【答案】(1);(2)-240;【分析】（1）由累乘法求解数列的通项公式即可；（2）由（1），，则，然后由并项求和的方法求解即可.【详解】（1）因为，，所以当时，，则，即，当时，也成立，所以．（2）由（1），，则，则．【变式3-3】（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）.(1)求的通项公式；(2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项；（2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可.【详解】（1）因为，代入，整理得，所以，以上个式子相乘得，.当时，，符合上式，所以.（2）.所以，①，②①②得，，所以.由得：，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即的取值范围是.题型04利用与关系求通项公式【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且．(1)求；(2)令，求的前项和．【答案】(1)，;(2)【分析】（1）利用与的关系作差求，利用等比数列的通项公式求；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为数列的前项和，且满足，所以，当时，，所以，经验证时，满足，故，因为数列为公比大于0的等比数列，且，，设公比为，所以，解得，所以，.（2）由（1）可得，所以①，②，①②得，所以.【例4-2】（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知.(1)求；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和.【答案】(1);(2);(3)【分析】（1）根据题中递推公式令运算求解即可；（2）根据与之间的关系整理可得当时，，结合常数列分析求解即可；（3）设，可得，利用分组求和法结合错位相减法运算求解.【详解】（1）因为，当时，，解得.（2）由可得，两式相减得，即.当时，，即，由递推关系得，则。且满足上式，故数列的通项公式为.（3）由（2）得，设，则，可得，，两式相减得，故.1、求数列的通项可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为．(1)证明：是等比数列．(2)求数列的前项和．(3)若，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2);(3)【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；（2）由（1）结合错位相减法可得答案；（3）由（1）可得，，利用作差法可判断单调性，据此可得答案.【详解】（1）因，则即，从而是等比数列；（2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列.则，从而，两式相减可得：则；（3）由（2），，又，则.，当时，易得，当时，，.即，当时，，则为递增数列，则.即.【变式4-2】（2025·四川自贡·一模）设数列的前n项和为．(1)求；(2)若，求数列的前n项和；(3)设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由．【答案】(1);(2);(3)存在，正整数为【分析】（1）利用,求得数列的通项公式；（2）根据已知写出，利用错位相减法求和即可；（3）设，由题意可得，构造函数，求导得其单调性，分，两种情况讨论求解即可.【详解】（1），当时，当时，两式作差可得：，，时，符合上式，故综上：；（2）由（1）可知，则，两式相减得：数列的前n项和（3）存在正整数的值为4，5，6时，满足、、的值均能构成三角形由题意得：不妨设，故三点均在第一象限内，由可知，,故点恒在线段上，则由，即对任意得，恒成立令，构造函数则，由单调递增，又存在使得即当时，，故函数在区间上单调递减，当时，，故函数在区间上单调递增；故至多2个零点，又由，可知存在2个零点，不妨设，且，.①若，，此时或，则，可知成立，要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，时，此时，则，可知成立，要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或5；综上可知，正整数为4，5，6.【变式4-3】（2025·广东佛山·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数.(1)证明：；(2)若，求；(3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在，【分析】（1）根据给定的递推公式，结合求解得证.（2）法1：由（1）可得数列的特征，再求出其前10项和即可；法2，由（1）可得数列的奇数项、偶数项构成的数列特征，再分组求和即得.（3）假定存在，求出，再利用奇数项、偶数项构成的数列特征证明即可.【详解】（1）数列的各项均为正数，，则，两式相减，整理得，而，所以.（2）解法1：当时，由（1）得，则，，于是，数列是公差为6的等差数列，由，，得，则，.解法2：由，，得，当时，由（1）得，因此数列的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列，偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列，.（3）由，，得，由（1）知：，则，假设存在使得数列为等差数列，则，即，解得，下面证明：当时，数列为等差数列.由，，，得数列是首项为1，公差为2的等差数列，，数列是首项为2，公差为2的等差数列，因此，，所以存在使得数列为等差数列，.题型05构造法求通项公式【例5-1】（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求．【答案】(1)证明见解析;(2);(3)【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可.（2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可.（3）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）当时，，即，则，而，则，于是时，，整理得，又，所以数列是首项和公比都是2的等比数列．（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，因此，所以数列是首项为，公差为的等差数列，，所以数列的通项公式．（3）由（2）知，，，两式相减得，，则．【例5-2】（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)求的通项公式；(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.【答案】(1);(2);(3)12182【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式；（2）易知是常数列，即可求的通项公式；（3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求.【详解】（1）由可得，又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，即.（2）方法一：由已知得，所以，所以，又，等式两边同时相乘，可得，得，该式对也成立.故.方法二：由可知是常数列，所以，即.（3）设在的前100项中，来自的有项.若第100项来自，则应有，整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意.若第100项来自，则应有，整理可得.易知在时单调递增，当时，，不满足题意，当时，，满足题意，故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自，所以.1、形如（其中均为常数且）型的递推式（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出2、形如型的递推式（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．3、倒数变换法形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．4、形如型的递推式用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式【变式5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1);(2)【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）因为，，所以，所以，故，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，故.（2）由（1）得，所以.【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记的前项和为，求证：.【答案】(1);(2)证明见解析【分析】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；（2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立.【详解】（1）由题设条件，可得若，则，用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以.因为，所以，，，所以，，由得，所以，又，所以是首项、公比均为的等比数列.所以，则.（2）显然时，成立，当时，，所以，所以，所以，即，所以，所以.综上，，得证.【变式5-3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)【知识点】分组（并项）法求和、构造法求数列通项、求等比数列前n项和、二项式定理与数列求和【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解；（2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明；（3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解.【详解】（1）因为，则，且，则，可知数列是首项和公比均为2的等比数列，可得，所以.（2）由（1）可知，，则，可得.又因为，所以.（3）由（1）可知，，则.因为，可得，当为奇数时，则，即；当为偶数时，则，即.设为数列的前项和，可得.所以数列的前项和为.1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求，即可证明.【详解】（1）由题意.所以数列，其前项和为.当时，；当时，.时，上式亦成立.所以，.（2），所以.2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式：(2)证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由可得出，两式作差推导出，然后利用初值可求得数列的通项公式；（2）利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立；【详解】（1）因为，进而，两式作差可得：，