2026届高考二轮专题复习：答题模板11 不等式有关的5类核心题型（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、普通型糖水不等式与对数型糖水不等式）（方法+题型+实战）（解析版）

1/2答题模板11不等式有关的5类核心题型（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、普通型糖水与对数型糖水不等式）目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一权方和不等式的应用及解题技巧方法二柯西不等式的应用及解题技巧方法三基本不等式链的应用及解题技巧方法四普通型糖水不等式的应用及解题技巧方法五对数型糖水不等式的应用及解题技巧第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】权方和不等式【题型02】柯西不等式【题型03】基本不等式链【题型04】普通型糖水不等式【题型05】对数型糖水不等式第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）近年来高考对不等式的考查，已从单一的公式应用转向隐含条件下的综合推理与结构辨识。试题常将权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、糖水不等式等作为工具性载体，与函数、数列、解析几何等知识深度融合，重点考查学生在复杂代数结构中识别适用模型、灵活配凑变形、严谨论证等号成立条件的高阶思维能力。备考需深入理解各类不等式的成立前提、几何意义与相互联系，强化“结构观察-模型选择-变形放缩-验证取等”的完整思维链。核心考查三大方向：一是代数结构的隐蔽转化，如在条件最值问题中将乘积和、平方和等问题通过柯西不等式、权方和不等式进行整体化处理；二是不等式链的联动放缩，利用均值不等式链建立多变量间的精确不等关系，实现“和-积-幂”的相互控制；三是生活模型的数学抽象，如糖水不等式及其对数形式，将直观的浓度原理抽象为严格的代数比较，并延伸至对数、指数等超越函数的大小比较问题。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）学生常见误区：面对复杂多元表达式时，无法识别其与柯西不等式、权方和不等式等标准形式的潜在关联，导致盲目尝试或暴力计算；使用均值不等式时忽略“一正二定三相等”的条件，特别是对取等条件的敏感性不足，使论证逻辑出现漏洞；对糖水不等式的理解停留在“浓度直观”，不能将其抽象为一般化的数学结构，更难以自主推导其对数型、指数型变式。这暴露了在代数结构的模型识别能力、不等式成立条件的逻辑严谨性、以及从具体模型到抽象不等式的迁移能力等方面的综合短板。模块说明：模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记不等式有关的5类核心题型（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、普通型糖水与对数型糖水不等式）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记一、二级结论1.权方和不等式权方和不等式的初级应用:若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式，设,若或,则;若,则;上述两个不等式中的等号当且仅当时取等2.二维形式的柯西不等式

a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R,当且仅当3.基本不等式链,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.4.糖水不等式定理若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;糖水不等式的倒数形式:设,则有:5.对数型糖水不等式(1)设,且,则有(2)设,则有(3)上式的倒数形式：设,则有技法归纳方法一权方和不等式的应用及解题技巧权方和不等式是处理分式型和的最值问题的有力工具，尤其适用于分子、分母幂次呈现特定关系（分子幂次比分母幂次高一次）的情形。第一步：识别结构特征第二步：配凑标准形式，通常通过提取常数因子、变量代换或乘幂变形实现配凑。注意确保所有变量为正。第三步：应用权方和不等式直接套用不等式，将分式和放缩为关于变量和的表达式。若不等式方向不符（如求最大值），可调整配凑方式或考虑反向不等式。第四步：结合约束条件求值利用题目中的约束条件简化放缩后的表达式，得到最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。第五步：验证等号成立条件根据取等条件（各分式比值相等）解出变量取值，验证是否满足约束。若可达，则最值即为所求；若不可达，则需调整方法或结合其他不等式例题1已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是．详解：，所以实数a的取值范围是.例题2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．39 B．52 C．49 D．36【答案】B【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可.【详解】因为，因为，所以，，根据权方和不等式有：，当且仅当时，即时等号成立.所以函数的最小值为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值.例题3已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为.【答案】【详解】解法一：设，可解得，从而，当且仅当时取等号.故答案为：．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：，，所以，当且仅当时取等号.故答案为：．例题4求的最大值为【答案】【分析】根据权方和不等式直接求解即可.【详解】当且仅当，即或时取等号故答案为：.例题5已知正数，，满足，则的最小值为【答案】【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数，满足，所以，当且仅当即时取等号.故答案为：.方法二柯西不等式的应用及解题技巧柯西不等式是连接平方和与乘积和的桥梁，在求解涉及平方和的最值、证明不等式、处理向量模长与数量积等问题时极为有效。核心技巧是构造两组适当的数列，将目标式转化为柯西不等式的左侧或右侧，实现放大或缩小。第一步：观察目标结构分析目标式是否包含平方和或乘积和的形式。第二步：构造两组数列根据目标式，构造两组数列，易于计算，构造时常利用系数配凑、根式拆分等技巧。第三步：应用柯西不等式写出柯西不等式并代入构造的数列，得到含有目标式的不等式。注意不等号方向。第四步：利用约束条件求解将题目中的等式或不等式约束代入，简化得到目标式的范围或最值。有时需联立柯西不等式取等条件与约束条件解出变量。第五步：验证取等条件柯西不等式取等条件，解出比例系数，验证是否存在满足约束的解，从而确定最值能否取得例题6已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在时取最大值．【答案】【分析】由，求得求得等号成立的条件，进而求得的最大值.【详解】由题意，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：；.例题7的最小值为．【答案】/【分析】运用Aczel不等式即可解.【详解】当且仅当即时取等号，故的最小值为．故答案为：.例题8已知、、，.则的最小值是.详解：由，即，当，，，或，，时取等号,所以最小值是4.方法三基本不等式链的应用及解题技巧方法概述：基本不等式链（均值不等式链）描述了平方平均Q、算术平均A、几何平均G、调和平均H

之间的大小关系：。该链是处理多元变量范围、最值及不等式证明的基础工具。通过灵活选择链中的适当环节，可建立变量间的制约关系，从而求解或证明。第一步：分析条件与目标审视题目给出的等式或不等式条件，以及需要证明或求解的目标。识别其中是否涉及和、积、平方和等结构，判断使用哪一部分均值不等式。第二步：选择合适的不等式环节根据目标需求选择链中相应环节：

涉及平方和与和的关系→用Q≥A；

涉及和与积的关系→用

A≥G；

涉及积与倒数和的关系→用

G≥H。

有时需多次使用不同环节。第三步：进行代数变形与替换将条件变形，代入所选不等式，得到关于变量的新不等式。可能需要利用条件消元或整体代换，构造出可使用均值不等式的形式。第四步：解不等式求范围或最值将得到的不等式整理化简，解出目标式的取值范围或最值。注意不等号传递的方向一致性。第五步：检查等号成立条件均值不等式取等当且仅当所有变量相等。验证该条件是否在题目条件下可实现，以确认最值能否取到及范围的精确性例题9（多选）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．详解：由基本不等式链:,可得（R），对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；【答案】：BC．例题10（多选）已知，且，则（

）A． B．C． D．详解：A.，当时，等号成立，故A正确；B.，当时，等号成立，故B正确；C.，故C正确；D.，当时等号成立，故D正确.方法四普通型糖水不等式的应用及解题技巧方法概述：普通型糖水不等式描述了一个真分数（分子小于分母的正分数）在分子分母同时加上同一个正数后，分数值会增大（即“加糖变甜”）。形式化：若,则一定有​其变形和推广形式（如分式不等式的传递性）在比较大小、证明不等式、求解参数范围等问题中具有直观、简洁的优势，尤其适用于分式结构或可化为分式的对数、指数比较。第一步：识别分式结构观察待比较的两个式子是否具有分式形式，或可通过变形（如取倒数、通分、对数化等）化为分式。注意识别真分数（分子小于分母）条件。第二步：应用糖水不等式直接比较若两分式分母相同或可化为同分母，直接利用糖水不等式比较。第三步：构造中间量传递比较当两个分式不易直接比较时，可构造一个中间分式，分别使用糖水不等式进行放缩，形成不等式链。第四步：结合其他性质综合判断糖水不等式常与其他函数性质（如单调性）结合。例如，比较对数

时可利用换底公式化为分式，再用糖水不等式。第五步：验证条件与结论确保所用糖水不等式的条件（正数、分子小于分母）满足，并检查放缩方向是否正确，得出最终比较结果。例题11在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（

）A．若，则 B．若，则C． D．当时，．【答案】ABC【分析】应用作差法、不等式性质判断各项不等式关系的正误即可.【详解】由，则，若，若，则，故；若，则，故；由题设，结合不等式性质显然有；故选：ABC例题12已知，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同时取对数可判定关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定关系.【详解】由，可知，所以，易知，先证糖水不等式：若，则，证明如下：作差得，得证.所以有，即，所以.故选：A【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：为定义域上增函数；糖水不等式：，则；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专题总结.例题13已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b详解：【法一】,又，用排除法,选A。【法二】，若,但,综上所述，.例题14（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．详解：【法一】由糖水不等式的倒数形式，,则有:【法二】，故B正确；【答案】BCD例题15试比较的大小（填”<”或”>”或”=”）详解：依题意.方法五对数型糖水不等式的应用及解题技巧方法概述：对数型糖水不等式是将普通糖水不等式应用于对数函数得到的结论，常用于比较不同底数或不同真数的对数值大小。常见形式：(1)设,且,则有(2)设,则有(3)上式的倒数形式：设,则有​可通过加“糖”进行放缩。该方法是解决对数比较大小问题的有效手段，尤其在高考中涉及数值估算时，能避免复杂计算，快速判断。第一步：取对数化为分式若问题涉及指数式比较（如ax与by,第二步：应用对数型糖水不等式直接使用结论：对于1<a<b,有logaa+1>第三步：构造放缩链比较大小与普通糖水不等式类似，通过选择适当的糖”（正数lnk第四步：结合指数与对数的单调性注意对数函数的单调性（底数大于1时递增，底数在0到1之间时递减)，确保放缩方向一致。有时需将不同底对数化为同底。第五步：回归原问题得结论将对数比较的结果翻译回原问题（如指数式大小），得出最终答案。必要时利用临界值（如loga例题16已知，则（

）A． B． C． D．详解：因为,所以.在上述推论中取,可得,且.所以,即,选A.例题17比较大小:与的大小．详解：【法一】。【法二】【法三】对数型糖水不等式直接可得模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。题型01权方和不等式（共3题）1．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.【详解】由题意得，，则，当且仅当，即时等号成立，所以．故选：C．2．已知正实数、且满足，求的最小值.【答案】【分析】设，，，由权方和不等式计算可得.【详解】设，，，由权方和不等式，可知，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：3．已知，求的最小值为【答案】【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】当且仅当时取等号故答案为：60题型02柯西不等式（共3题）4．已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：由，可将用表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，然后利用通分、分离常数化简变形，最后利用基本不等式即可求得最小值，注意等号取得的条件．解法二：由，可将用表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，再使用柯西不等式求解即可.【详解】解法一：因为，所以，且，又因为，所以，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，所以的最小值为．解法二：因为，所以，且，所以，所以的最小值为．故选：D．5．已知，且满足，求的最小值为.【答案】/0.4【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可.【详解】由题意得，则由柯西不等式得，可得，解得，当且仅当时取等，此时，可得的最小值为.故答案为：6．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为．【答案】/【分析】利用不等式构造定值求解即可.【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，，∴，则．当且仅当时取等号．解法二：（均值不等式），，，所以．当且仅当时取等号．解法三：（权方和不等式）．当且仅当时取等号．故答案为：题型03基本不等式链（共5题）多选题7．设正实数满足，则以下说法正确的有（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最大值为4 D．的最小值为【答案】AB【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决.【详解】对于A：，，所以当时，取得最小值，故A正确；对于B：即，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C：，，故C错误；对于D：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故D错误.故选：AB.8．已知正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最大值是【答案】ACD【分析】利用基本不等式即可判断AC，利用二次函数即可判断B，利用柯西不等式即可判断D.【详解】由有：，当且仅当时，等号成立，故A正确；由，当时，即时，等号成立，所以的最小值是，故B错误；由，当且仅当时，等号成立，故C正确；由，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：ACD.9．已知，且，则（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用不等式性质判断A；利用基本不等式判断BCD.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，故C不正确；对于D，，当且仅当时取等号，所以，故D正确.故选：ABD.10．设正实数x，y满足，则（

）A．xy有最大值为 B．有最小值为C．有最小值为5 D．有最大值为【答案】BC【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可.【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，而，因此不能取等号，D错误.故选：BC11．若x，y满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．题型04普通型糖水不等式（共2题）12．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得.【详解】对于A，，，A错误；对于B，，，则，B错误.对于C，由，得，C正确；对于D，，D错误；故选：C13．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（

）A．若，，则B．若，且，则C．若，，为三条边长，则D．若，，为三条边长，则【答案】ACD【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断.【详解】对于A，，，即，故A正确；对于B，当，时，，，故B错误；对于C，由题，，则，，又，所以，故C正确；对于D，，，，，故D正确.故选：ACD.题型05与对数型糖水不等式（共2题）14．若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较的大小（填”<”或”>”或”=”）【答案】<【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案.【详解】依题意.故答案为：15．已知，，，比较a，b，c的大小为（

）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【答案】D【分析】易得，.又，比较与0的大小即可.【详解】，因函数在上单调递增，则，.，因，则.故，综上有.故选：D【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小.模块说明：模块说明：答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量25题1．已知为锐角，则的最小值为.【答案】【分析】利用权方和不等式：求解.【详解】当且仅当即，时取“”.故答案为：2．（1）已知，，，试比较与大小，并用分析法证明．（2）已知正数，求证权方和不等式：，并说明取等条件．（3）已知，求证：成立的充要条件是．【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析，且同号；（3）证明见解析【分析】（1）直接利用分析法证明的方法，即可求解；（2）利用基本不等式，可得，即可求解；（3）利用充要条件的证明方法，即可求解.【详解】（1），分析法证明如下，要证明，即，即证明，又，则，即证明，即，也即，即证明，显然成立.（2）因为为正数，则，当且仅当，即且同号时取等号，又为正数，则，当且仅当且同号时取等号.（3）先证明充分性，因为，则，所以，即，必要性，因为，则，又，所以，即，故成立的充要条件是.3．权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分）(1)已知均为正实数，且，求证：；(2)已知均为正实数，且，求的最小值；(3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)36(3).【分析】（1）利用权方和不等式，由证明；（2）利用权方和不等式，由求解；（3）转化为求解.【详解】（1）证明：因为均为正实数，且，所以，当且仅当，即时，等号成立.（2）因为均为正实数，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为36.（3）对任意实数，，不等式恒成立，又，则只需，因为，所以，所以，设，则，当且仅当即时，两个等号同时成立，故.所以正实数的取值范围是.4．已知x，y为正实数，，求函数的最大值．【答案】【分析】由柯西不等式进行求解.【详解】x，y为正实数，，由柯西不等式可得，即，当且仅当，即时，等号成立，所以，故最大值为.5．求函数的最小值．【答案】【分析】利用柯西不等式可求最小值.【详解】，当且仅当时等号成立．所以的最小值为．6．求函数的取值范围．【答案】【分析】先求出定义域，由柯西不等式得到，求导得到函数单调性，从而求出的最小值为2，得到答案.【详解】由题意得，解得，由柯西不等式得，即，所以，当且仅当，即时取等号，又，令得，即，当得，当得，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，所以的最小值为2，所以的取值范围为.7．求函数的值域．【答案】【分析】柯西不等式求解即可.【详解】根据题意，由柯西不等式法．当时，，当时，，所以,即函数的值域为.8．已知，，，求a的最大值．【答案】．【分析】令，，，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解.【详解】令，，所以，，因为，所以，所以，又，得，得，即a的最大值为．9．设实数，满足，求证：．【答案】证明见解析【分析】由柯西不等式（1），可以通过构造作为一个因式而得到证明．【详解】由柯西不等式得，当且仅当，即时，等号成立.10．（1）已知，求的最大值.（2）已知且，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令，把不等式转化为，结合基本不等式，即可求解；（2）令，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解.【详解】解：（1）由题意，令，解得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.（2）由题意，令，可得，因为，可得，即，又由柯西不等式，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，解得，所以实数的最大值为.11．已知，求的最小值．【答案】12【分析】利用柯西不等式求解即可.【详解】根据柯西不等式，，所以，当且仅当时，即，，，时取到等号，所以的最小值为12．12．柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为.【答案】【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为，并利用二维柯西不等式求出最大值.【详解】由，得，即，由，得，则，由，，得，由柯西不等式得，因此，当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为：13．已知均为正实数．(1)证明：．(2)若，求的最小值．(3)若，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)2．【分析】（1）利用基本不等式有，可证结论；（2）（方法一）由，可得，则，由（1）的结论可求最小值；（方法二）由，可得，消元得，令，结合基本不等式求最小值．（3）利用柯西不等式求最小值.【详解】（1）证明：．因为a，b，c，d均为正实数，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以得证．（2）解：（方法一）由，可得．，因为a，b均为正实数，所以由（1）的结论可得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．（方法二）由，可得，则，即，所以，，令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．（3）．因为a，b，c均为正实数，所以，，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以，故的最小值为2．14．柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，其一般形式为：，，…，，，，…，，且，有，当且仅当时，等号成立．柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题．例如：已知，由柯西不等式，可得．当且仅当时，等号成立．又，解得，．即当，时，取得最小值．运用柯西不等式，解决下列问题：(1)若，求的最小值；(2)求的最大值．【答案】(1)3；(2)9.【分析】（1）直接构造柯西不等式可得；（2）根据所求式子构造条件，再用柯西不等式可得.【详解】（1）由柯西不等式可得：，又因为，所以，即得．当且仅当时，等号成立．又，解得，．即当，时，取得最小值3．（2）由柯西不等式可得．即，得，化简得．当且时，即时等号成立，故的最大值为9．15．（多选）已知，且，则（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由题意，根据基本不等式可得，利用作差法注意检验四个选项，结合指数函数以及对数函数的单调性，可得答案.【详解】由，，则，当且仅当时，等号成立，对于A，由，则，所以，故A正确；对于B，由，即，则，所以，由函数在上单调递增，且，即，则，所以，即，故B错误；对于C，由，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；对于D，由，且函数在上单调递减，则，所以，故D错误.故选：AC.16．（多选）已知正实数a，b满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D.【详解】对A：取，，此时，但，故A错误；对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确；对C：取，，此时，但，故C错误；对D：，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BD.17．（多选）已知实数，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项.【详解】A.由条件可知，，则，故A正确；B.，当且仅当时等号成立，故B正确；C.，当时等号成立，故C错误；D.因为，，故D正确.故选：ABD18．（多选）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由基本不等式即可判断A，令，结合代入计算，即可判断B，将转化为斜率，即可判断C，结合换元法以及二次函数的值域即可判断D.【详解】对于A，因为，即，解得，又，即，解得，所以，故A符合题意；对于B，令，则，代入，可得，展开可得，由可得，即，故B不符合题意；对于C，表示圆上的点与点连线的斜率，设过点的直线方程为，即，由圆心到直线的距离可得，即，即不存在符合题意的，故C符合题意；对于D，由可得，则，令，则，所以，且函数在上单调递增，所以，即，即不存在符合题意的，故D符合题意；故选：ACD19．（多选）已知，，，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为4C．的最大值为2 D．的最小值为【答案】AD【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断B，C，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D.【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；因为，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为6，故B错误；因为，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为2，故C错误；可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，所以的最小值为，故D正确.故选：AD.2