2026届高考二轮专题复习：答题模板16 数列综合（数列不等式的证明、不等式放缩、数列最值、参数求解、与三角函数、概率、导数、解析综合、数列新定义）有关的9类核心题型（方法+题型+实战）（原卷版）

1/2答题模板16数列综合（数列不等式的证明、不等式放缩、数列最值、参数求解、与三角函数、概率、导数、解析综合、数列新定义）有关的9类核心题型目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一数列不等式的证明方法二不等式放缩方法三数列最值方法四参数求解方法五与三角函数综合方法六与概率综合方法七与导数综合方法八与解析综合第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】数列不等式的证明【题型02】不等式放缩【题型03】数列最值【题型04】参数求解【题型05】与三角函数综合【题型06】与概率综合【题型07】与导数综合【题型08】与解析综合【题型09】数列新定义第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）数列综合大题是考查数学高阶思维与核心素养的关键载体。试题超越基础公式，将数列与不等式证明、放缩技巧、最值及参数求解深度融合，并广泛与三角函数、概率、导数、解析几何交叉，或设置“新定义”情境。它从数列作为离散函数的本质出发，综合运用函数与方程、转化与化归等思想，通过代数变形、数学归纳、导数工具等方法解决问题，全面考查逻辑推理、运算求解及跨模块整合能力。核心考查四大方向：数列与不等式：证明、放缩求和、求最值或参数范围，需掌握裂项、等比等放缩技巧及数学归纳法。数列与其他知识交叉：与三角、概率、导数、解析几何结合，检验知识联系与迁移能力。数列新定义问题：理解新概念并探究性质、求解，考查抽象素养与学习迁移能力。极限与收敛性（以探究为主）：借助单调有界性讨论极限存在与求解。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）数列特性把握不足：不善于从递推关系求通项，忽略单调性、有界性等性质的应用。放缩技巧生硬：放缩“度”控制不当，盲目套用公式，缺乏目标导向的配凑能力。跨知识整合弱：难以建立数列与三角、概率、导数等知识的有效联系。畏惧新定义：信息提取与转化能力不足，无法将新定义化为已知模型。运算能力欠缺：复杂运算、递推、变形过程中易出错。缺乏探究意识：不善于从特殊项入手猜测规律并证明。模块说明：模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记数列综合（数列不等式的证明、不等式放缩、数列最值、参数求解、与三角函数、概率、导数、解析综合、数列新定义）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记一、二级结论1.数列放缩（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：（2），从而有：注：对于还可放缩为：（3）分子分母同加常数：此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。（4）可推广为：技法归纳方法一数列不等式的证明数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习.例题1（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列．(1)求的通项公式；(2)记为数列的前n项和，证明：．例题2（2025·江苏·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列．①求的前20项和；②证明：．例题3（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知．(1)求的通项公式；(2)令，为的前项之积，求证：．例题4（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项．(1)求的通项公式及；(2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和．（i）若，求的最大值；（ii）设，证明：．方法二不等式放缩放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习.例题5（2025·河南·二模）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记的前项和为，求证：.方法三数列最值例题6（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求使得成立的的最大值；(3)求数列的前项和.例题7（2025·福建·模拟预测）数列的前项和为，已知且．(1)求的通项公式；(2)设数列满足，求的最大值．方法四参数求解对于此类含参数不等式愿型,大部分可以通过分离參数等方式转化为最值问题,对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断,数列可通过作差法进行判断数列的单调性，难度中等偏上、需强加练习.例题8（2025·河南·一模）数列满足，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值例题9（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且．(1)求；(2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围．例题10（2025·宁夏·一模）已知数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)设，记数列的前n项和为．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范围．方法五与三角函数综合数列、三角是高中数学的重要内容，从本质上看它们是特殊的函数，都具有函数的某些性质。数列也可和三角函数综合考查，需强化复习例题11（2025·陕西西安·一模）将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且.(1)求；(2)求的单调增区间，并说明在上的单调性；(3)求数列的前项和.方法六与概率综合构建齐次式型是离心率问题中最常见、最重要的一类解题方式。若题目条件（如角度、垂直、向量数量例题12（2025·四川成都·二模）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立.(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；(2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，（i）求；（ii）证明：存在实数，使得数列为等比数列.例题13（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏.(1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望；(2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）.①证明数列，，，，是等比数列；②求活动参与者得到礼券的概率.例题14（2025·江苏·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为.(1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人）套餐A满意度A套餐改善前A套餐改善后合计满意204060不满意303060合计5070120根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？(2)若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值；(3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求.参考数据：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828方法七与导数综合构建齐次式型是离心率问题中最常见、最重要的一类解题方式。若题目条件（如角度、垂直、向量数量例题15（2025·福建福州·模拟预测）已知正项数列满足．(1)若，求；(2)若，求的通项公式；(3)记为数列的前项和，若，证明：．例题16（2025·河南·三模）已知函数(1)当时，求的零点个数；(2)若，求的最大值；(3)证明：.例题17（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)当时，，求的取值范围；(3)设，证明：．方法八与解析综合构建齐次式型是离心率问题中最常见、最重要的一类解题方式。若题目条件（如角度、垂直、向量数量例题18（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.(1)求双曲线的方程；(2)求；(3)证明：.例题19（2025·福建·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为．（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）设的面积为，证明：．模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。【题型01】数列不等式的证明（共7题）1．（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．2．（2025·山东聊城·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，数列的前项和为．正项等比数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，证明：．3．（2025·安徽·二模）已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有.(1)求和；(2)若数列满足，且，求数列的通项公式；(3)记数列的前项和为，证明：.4．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．(1)证明：为等比数列；(2)设，证明：；(3)设，且数列的前项和为，证明：．5．（2025·河南·模拟预测）已知函数，，记的零点为.(1)求；(2)求数列中的最小项；(3)证明：.6．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为．(1)判断是否成等比数列？并说明理由；(2)证明：，，成等比数列；(3)设，数列的前项和为，证明：．7．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列．(1)求；(2)若，（ⅰ）求数列的通项公式及前项和；（ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有．【题型02】不等式放缩（共3题）8．（2025·广东汕尾·一模）记为递增数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记的前项和为，证明：.9．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.①对任意的，有；②对于任意的，若，则.求证：(1)是型函数；(2)型函数在上为增函数；(3)对于型函数，有（为正整数）.10．（2025·贵州·模拟预测）已知数列中，，．(1)求，的值；(2)设，证明是等比数列，并求其通项公式；(3)证明：．【题型03】数列最值（共4题）11．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)若，求使取得最大值时的的值.12．（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．(1)求和的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前2n项和，(3)求的最大值和最小值．13．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，.(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；(2)当在单调递增时，设，求的值；(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.14．（2025·广西来宾·模拟预测）已知数列的首项，且满足，数列前n项和为.(1)求证：数列为等比数列；(2)求证：；(3)若，求满足条件的最大整数n.【题型04】参数求解（共7题）15．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知数列满足.(1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式.(2)设，记数列的前项和为.①求；②若，求的取值范围.16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，．(1)求的通项公式；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．17．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，．(1)证明：是等差数列；(2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围．18．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，(1)求数列和的通项公式；(2)已知，记，求.(3)在（2）的条件下，若恒成立，求实数t的取值范围.19．（24-25高二下·四川成都·月考）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围．20．（2025·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记．(1)求证：是等比数列；(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．【题型05】与三角函数综合（共3题）22．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，数列的前项和为，证明：；(3)证明：.23．（2025·福建漳州·模拟预测）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.(1)求的单调递增区间；(2)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和.24．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．(1)写出的前6项；(2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．【题型06】与概率综合（共6题）25．（2025·四川绵阳·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为．甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为．在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响．(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对求两人第一轮也都答对的概率；(2)求证：，甲在第轮答对的概率为定值；26．（2025·河南信阳·模拟预测）3位同学做某种游戏，通过猜拳决定胜利者.3人每次猜拳都可以出“石头”“剪刀”“布”中的任意一种，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”.例如，当1人出“剪刀”，另外2人出“布”时，出“剪刀”的人即为胜利者；而当1人出“剪刀”，另外2人分别出“布”和“石头”时，无法决定胜利者，猜拳继续进行；当1人出“剪刀”，另外2人出“石头”时，淘汰掉出“剪刀”的人，剩余2人继续猜拳，赢的人为胜利者.(1)记第一回猜拳时出“石头”的人数为，求的分布列与数学期望；(2)求在第回猜拳决出胜利者的概率.27．（2025·湖北·三模）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为.在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响.(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率；(2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.设停止游戏时进行了轮游戏，求证：.28．（2025·安徽安庆·模拟预测）2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI

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Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下：①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨；②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴.假设今天天气是晴天，回答以下问题：(1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望；(2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值.29．（2025·重庆·一模）在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10，接下来比赛规则如下:两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6.比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为.(1)求甲以的比分赢得比赛的概率;(2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6，求的范围;(3)若，设甲运动员在第球比赛中获胜的概率为，数列满足，求证:.（参考知识:当时，若，则.）30．（2025·湖北·模拟预测）某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球，取球结果2个红球2个黑球红､黑球各1个奖金300元200元100元(1)消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望；(2)若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置二个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件.（i）求和；（ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率.【题型07】与导数综合（共7题）31．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.(1)求;(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；(3)证明：对任意的，均有.32．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在上的最小值为0(1)求实数的值：(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1：(3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证：33．（2025·重庆·模拟预测）已知.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若对任意，恒有.（i）求的取值范围;（ii）证明:对任意的正整数，.34．（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，满足.(1)当时，分别求的值，并猜想此时数列的通项公式（直接写结论）；(2)当时，求的最大值；(3)当时，记数列的前项积为，求的最大值.35．（2025·安徽·一模）已知函数为函数的导函数.(1)证明：；(2)若函数，请判断在区间上的零点个数，并说明理由；(3)若函数，证明：当时，.36．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数，(1)当时，求函数在点处的切线方程;(2)证明:恒成立；(3)证明:37．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，记，若满足，则称是上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数是上的“可控函数”，则函数也是上的“可控函数”，其中，例如．(1)判断函数是否为上的“可控函数”，并说明理由；(2)已知函数是上的“可控函数”，且的最大值为．（i）求函数的解析式；（ii）若数列满足，是数列的前项和．求证：．【题型08】与解析综合（共7题）38．（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为(1)求的值：(2)记．证明：数列为等比数列；(3)记的面积为．证明：是定值．39．（24-25高三上·山东威海·期末）已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为.(1)当时，求；(2)设，证明：数列是等差数列；(3)设为的面积，证明：为定值.40．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设．(1)求C的方程；(2)设数列的前n项和为，证明：；(3)求的面积．41．（2025·安徽·三模）记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为．(1)求点的坐标；(2)证明：是递减数列；(3)记的面积为，证明：．42．（2024·河北·二模）已知椭圆的离心率.(1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程.(2)若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.①求；②记，求数列的前项和.43．（2025·四川·三模）已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、．(1)求双曲线的方程；(2)求点的坐标；(3)若、，记的面积为，证明：．44．（2025·广东广州·模拟预测）已知曲线，（，），当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”.

(1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、（），如图所示，若直线能与椭圆、依次交于，，，四点，证明：；(2)当（）时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设.（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；（ii）令数列，求证.【题型09】数列新定义（共6题）45．（2025·江苏南京·模拟预测）已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列．若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为．(1)求；(2)设数列满足，求数列的前项和．46．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；(2)已知的差分数列为，求的通项公式．47．（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；(2)若数列为和积交替数列，且，.（i）若3是数列中的项，求实数的值；（ii）若，证明：.48．（24-25高二下·江西南昌·期中）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”．(1)若，求的值．(2)设．①求的通项公式；②若数列满足，且的前n项和为，证明：．49．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”.(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；(2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求；50．（2025·河南·模拟预测）若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”.(1)分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项；(2)若数列满足，且的“生成数列”为，求；(3)若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求.模块说明：模块说明：答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高考真题与高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量12题1．（23-24高三上·黑龙江·月考）已知数列的首项，是与的等差中项．(1)求证：数列是等比数列；(2)证明：．2．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知等差数列的公差，其前项和为，且，，成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，且的前项和为，求证：.3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求．4．（23-24高二下·吉林长春·月考）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且．(1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式；(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整