2026年线性代数二次型正规化测试试题及答案

2026年线性代数二次型正规化测试试题及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026年线性代数二次型正规化测试试题及答案考核对象：高等院校理工科专业学生（中等级别）题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)是正定二次型。2.任何实二次型都可以通过正交变换化为标准形。3.矩阵\(A\)的秩等于其二次型对应的矩阵的秩。4.若二次型\(f(x)\)正定，则其对应的矩阵\(A\)的特征值均为正数。5.二次型的惯性指数由其对应的矩阵的行列式唯一确定。6.正定矩阵的行列式一定大于零。7.任意二次型都可以通过配方法化为标准形。8.若二次型\(f(x)\)负定，则其对应的矩阵\(A\)的所有偶数阶主子式均为负。9.二次型的正负惯性指数之和等于其秩。10.正交变换不改变二次型的正负惯性指数。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个矩阵是正定矩阵？A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)2.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩阵为？A.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)3.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的秩为？A.1B.2C.3D.44.若二次型\(f(x)\)通过正交变换化为标准形\(f(y)=2y_1^2+3y_2^2-y_3^2\)，则其惯性指数为？A.(2,0,1)B.(1,1,1)C.(1,0,2)D.(0,2,1)5.下列哪个矩阵不是正定矩阵？A.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}\)6.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩阵的特征值为？A.0,1,3B.1,1,1C.2,2,2D.1,2,37.若二次型\(f(x)\)正定，则其对应的矩阵\(A\)的顺序主子式？A.均大于零B.均小于零C.交替正负D.部分大于零8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的惯性指数为？A.(2,0,1)B.(1,1,1)C.(1,0,2)D.(0,2,1)9.下列哪个矩阵是负定矩阵？A.\(\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩阵是否可逆？A.可逆B.不可逆C.部分可逆D.无法判断---三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些条件可以判断二次型正定？A.所有特征值均为正B.顺序主子式均大于零C.对称矩阵可逆D.惯性指数为(3,0,0)2.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的矩阵的秩可能为？A.1B.2C.3D.43.下列哪些矩阵是正定矩阵？A.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}\)4.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩阵的特征值可能为？A.0B.1C.3D.-15.下列哪些条件可以判断二次型负定？A.所有特征值均为负B.顺序主子式交替正负C.对称矩阵可逆D.惯性指数为(0,2,0)6.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的惯性指数可能为？A.(2,0,1)B.(1,1,1)C.(1,0,2)D.(0,2,1)7.下列哪些矩阵是负定矩阵？A.\(\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩阵是否可逆？A.可逆B.不可逆C.部分可逆D.无法判断9.下列哪些条件可以判断二次型半正定？A.所有特征值均为非负B.顺序主子式均大于等于零C.对称矩阵可逆D.惯性指数为(3,0,0)10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的矩阵的秩可能为？A.1B.2C.3D.4---四、案例分析（每题6分，共18分）1.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)，求其矩阵，并判断其是否正定。2.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，求其矩阵的特征值，并判断其是否正定。3.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)，求其标准形，并给出正负惯性指数。---五、论述题（每题11分，共22分）1.论述二次型的正定性及其判定条件，并举例说明。2.论述二次型的标准形及其求解方法，并举例说明。---标准答案及解析一、判断题1.×（正定需所有特征值正，此处有负特征值）2.√（实二次型可通过正交变换对角化）3.√（秩等于对应矩阵的秩）4.√（正定矩阵特征值全正）5.×（惯性指数由正负惯性指数决定）6.√（正定矩阵行列式大于零）7.×（配方法不适用于所有二次型）8.√（负定矩阵偶数阶主子式负）9.×（正负惯性指数之和等于秩减去正惯性指数）10.√（正交变换不改变惯性指数）二、单选题1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.A8.A9.C10.A三、多选题1.A,B2.B,C3.A,B,D4.B,C5.A,B,D6.A,B,D7.A,C8.A9.A,B10.B,C四、案例分析1.矩阵为\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&0\\3&0&3\end{pmatrix}\)，顺序主子式为1,2,3，均大于零，故正定。2.矩阵为\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)，秩为1，特征值为3,0,0，故不正定。