课时跟踪检测（十六） 超几何分布

课时跟踪检测（十六）超几何分布1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为()A.eq\f(28,45) B.eq\f(16,45)C.eq\f(11,45) D.eq\f(17,45)解析：选B由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq\f(5,7)，则语文课本共有()A．2本 B．3本C．4本 D．5本解析：选C设语文书n本，则数学书有7－n本(2≤n<7)，则2本都是语文书的概率为eq\f(C\o\al(2,n)C\o\al(0,7－n),C\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4.3．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率中等于eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))的是()A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝2) D．P(X＝1)解析：选B由已知，得X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4),C\o\al(2,26))，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,26))，∴P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26)).4．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为eq\f(16,45)，则a等于()A．1B．2或8C．2D．8解析：选B由题意得eq\f(C\o\al(1,a)C\o\al(1,10－a),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45)，即a(10－a)＝16，解得a＝2或a＝8，故选B.5．一个口袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________.解析：由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(3,4),C\o\al(4,9))－eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,9))＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)6．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：ξ012Px1x2x3则x1，x2，x3的值分别为________．解析：ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝0.6，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3.答案：0.1,0.6,0.37．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数ξ的均值为________．解析：E(ξ)＝3×eq\f(2,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．解：(1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)·C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,6))，k＝0,1,2.所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝eq\f(4,5).1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10%B．20%C．30%D．40%解析：选B设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,x)·C\o\al(1,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(x10－x,45)＝eq\f(16,45)，∴x＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为eq\f(2,10)＝20%.2．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则：(1)P(ξ>8)＝________；(2)P(6<ξ≤14)＝________.解析：设取每个值的概率均为p，于是12p＝1，∴p＝eq\f(1,12).(1)P(ξ>8)＝P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＋…＋P(ξ＝16)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).(2)P(6<ξ≤14)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋…＋P(ξ＝14)＝eq\f(2,3).答案：(1)eq\f(2,3)(2)eq\f(2,3)3.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图．其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018.(2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)．所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布．则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(2,9),C\o\al(2,12))＝eq\f(36,66)＝eq\f(6,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,9),C\o\al(2,12))＝eq\f(27,66)＝eq\f(9,22)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,9),C\o\al(2,12))＝eq\f(3,66)＝eq\f(1,22).所以随机变量ξ的分布列为ξ012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)4．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择．方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答．已知这6个问题中，甲、乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲、乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二．(1)求甲、乙两名教师都只答对2个问题的概率；(2)若测试过程中每名教师答对1个问题得2分，答错得0分．你认为安排哪名教师参赛比较合适？请说明理由．解：(1)设甲、乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件A与事件B，则P(A)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(8,27)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),C\o\al(4,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，所以P(AB)＝eq\f(8,27)×eq\f(2,5)＝eq\f(16,135).(2)设甲教师得分数为X，则答对题数为eq\f(X,2)，有eq\f(X,2)～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，故E(X)＝2Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(X,2)))＝2×4×eq\f(2,3)＝eq\f(16,3)，D(X)＝4Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(X,2)))＝4×4×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(32,9).设乙教师得分数为Y，则Y的可能取值为4,6,8，P(Y＝4)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),C\o\al(4,6))＝eq\f(2,5)，P(Y＝6)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,2),C\o\al(4,6))＝eq\f(8,15)，P(Y＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,15)，则E(Y)＝4×eq\f(2,5)＋6×eq\f(8,15)＋8×eq\f(1,15)＝eq\f(8＋48＋24,15)＝eq\f(16,3)，D(Y)＝eq