课时跟踪检测（十四） 万有引力定律与航天

课时跟踪检测（十四）万有引力定律与航天eq\a\vs4\al(A)组—重基础·体现综合1．(2025·湖北高考)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是()A．甲运动的周期比乙的小B．甲运动的线速度比乙的小C．甲运动的角速度比乙的小D．甲运动的向心加速度比乙的小解析：选A根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，因r甲<r乙，可知v甲>v乙，ω甲>ω乙，T甲<T乙，a甲>a乙，故选A。2．如图所示，在同一轨道平面内的两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB。某时刻A、B和地球恰好在同一条直线上，从此时刻开始到A、B和地球再次共线的时间间隔为t，下列说法中正确的是()A．A、B卫星的线速度vA<vBB．A、B卫星的向心加速度aA<aBC．t一定大于TAD．t一定大于eq\f(TA,2)解析：选D设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)。由v＝eq\r(\f(GM,r))知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以有vA＞vB，故A错误；由a＝eq\f(GM,r2)知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，所以有aA＞aB，故B错误；由几何关系可知，从图中位置开始至A、B和地球再次共线，A比B多转过的角度为nπ(n＝1,2,3，…)，则有eq\f(2π,TA)·t－eq\f(2π,TB)·t＝nπ(n＝1,2,3，…)，可得t＝eq\f(n,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(TA,1－\f(TA,TB))))(n＝1,2,3，…)，即t一定大于eq\f(TA,2)，故C错误，D正确。3．(多选)北斗卫星导航系统由不同轨道卫星组成，其中北斗­IGSO3卫星的运行轨道为倾斜地球同步轨道，倾角为55.9°，高度约为3.59万千米；北斗­M3卫星运行轨道为中远地球轨道，倾角为55.3°，高度约为2.16万千米。已知地球半径约为6400千米，两颗卫星的运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法中正确的是()A．北斗­IGSO3卫星的线速度大于北斗­M3卫星的线速度B．北斗­IGSO3卫星的周期大于北斗­M3卫星的周期C．北斗­IGSO3卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24hD．北斗­IGSO3卫星与地面上的北京市的距离恒定解析：选BC根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r，可知v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因北斗­IGSO3卫星的轨道半径大于北斗­M3卫星的轨道半径，所以北斗­IGSO3卫星的线速度小于北斗­M3卫星的线速度，北斗­IGSO3卫星的周期大于北斗­M3卫星的周期，故A错误，B正确；北斗­IGSO3卫星运行轨道为倾斜地球同步轨道，可知其周期为24h，可以在每天的同一时刻经过地球上某点的上空，则卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24h，但是不能定点在北京市的上空，故C正确，D错误。4．“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是()A．火星公转的线速度比地球的大B．火星公转的角速度比地球的大C．火星公转的半径比地球的小D．火星公转的加速度比地球的小解析：选D由题意可知，火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，说明火星的公转周期为地球公转周期的1.88倍，根据万有引力提供向心力，得：Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝ma，解得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，a＝eq\f(GM,r2)，由于T火>T地，可知，r火>r地、v火<v地、ω火<ω地、a火<a地，故D正确，A、B、C错误。5．有研究表明：300年后人类产生的垃圾将会覆盖地球1米厚。有人提出了“将人类产生的垃圾分批转移到无人居住的月球上”的设想，假如不考虑其他星体的影响，且月球仍沿着原来的轨道绕地球做匀速圆周运动，运用你所学物理知识，分析垃圾转移前后，下列说法中正确的是()A．地球与月球间的万有引力会逐渐减小B．月球绕地球运行的线速度将会逐渐变小C．月球绕地球运行的向心加速度将会逐渐变大D．月球绕地球运行的周期将变小解析：选B月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出线速度、周期和万有引力的表达式进行分析。设地球质量为M，月球质量为m，地球与月球间的万有引力F＝Geq\f(Mm,r2)，由于M>m，M减小、m增加、M＋m固定，故Mm会增加，地球与月球间的万有引力会逐渐增加，直到两者质量相等为止，故A错误；万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，由于M减小，故月球的运行速度减小，向心加速度减小，周期将会增大，故B正确，C、D错误。6.如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则()A．A的质量一定大于B的质量B．A的线速度一定大于B的线速度C．L一定，M越大，T越大D．M一定，L越小，T越大解析：选B双星系统中两星间距不变，角速度相等，根据v＝rω，因为rB<rA，所以vA>vB，故B正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrBω2，因为rB<rA，所以mB>mA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；根据牛顿第二定律得Geq\f(mAmB,L2)＝mAeq\f(4π2,T2)rA＝mBeq\f(4π2,T2)rB，其中rA＋rB＝L，联立解得T＝2πeq\r(\f(L3,GmA＋mB))＝2πeq\r(\f(L3,GM))，故L一定，M越大，T越小，M一定，L越小，T越小，故C、D错误。7．(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝eq\f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍解析：选CD两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，则乙的速度是甲的eq\r(2)倍，故A错误；由ma＝eq\f(GMm,r2)，可得a＝eq\f(GM,r2)，则乙的向心加速度是甲的4倍，故B错误，由F＝eq\f(GMm,r2)，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的eq\f(1,4)，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，故D正确。8．(多选)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中()A．双星做圆周运动的角速度不断减小B．双星做圆周运动的角速度不断增大C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大解析：选AD设质量较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，质量较大的星体质量为m2，轨道半径为r2。双星间的距离为L，则L＝r1＋r2，转移的质量为Δm。根据万有引力提供向心力，对m1：Geq\f(m1＋Δmm2－Δm,L2)＝(m1＋Δm)ω2r1 ①对m2：Geq\f(m1＋Δmm2－Δm,L2)＝(m2－Δm)ω2r2 ②由①②得ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))，总质量m1＋m2不变，两者距离L增大，则角速度ω变小，故A正确，B错误。由②式可得r2＝eq\f(Gm1＋Δm,ω2L2)，把ω的值代入得r2＝eq\f(Gm1＋Δm,\f(Gm1＋m2,L3)L2)＝eq\f(m1＋Δm,m1＋m2)L，因为L增大，所以r2增大，即质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大，故C错误，D正确。9．半径R＝4500km的某星球上有一倾角为30°的固定斜面，一质量为1kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行。如果物块和斜面间的动摩擦因数μ＝eq\f(\r(3),3)，力F随时间变化的规律如图所示(取沿斜面向上方向为正)，2s末物块速度恰好又为0。引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。试问：(1)该星球的质量大约是多少？(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？(计算结果保留两位有效数字)解析：(1)设星球表面的重力加速度为g。小物块在力F1＝20N作用过程中：F1－mgsinθ－μmgcosθ＝ma1，1s末速度为v＝a1t1，小物块在力F2＝4N作用过程中：F2＋mgsinθ＋μmgcosθ＝ma2，且有v＝a2t2，联立以上四式，解得g＝8m/s2，由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(8×4500×1032,6.67×10－11)kg≈2.4×1024kg。(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回该星球，抛出物体的最小速度为v′，必须满足mg＝meq\f(v′2,R)，得v′＝eq\r(gR)＝eq\r(8×4500×103)m/s＝6×103m/s，＝6.0km/s。答案：(1)2.4×1024kg(2)6.0km/seq\a\vs4\al(B)组—重应用·体现创新10．(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时()A．周期约为144hB．近月点的速度大于远月点的速度C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度解析：选B冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得eq\f(T12,R13)＝eq\f(T22,R23)，解得在捕获轨道运行周期T2＝T1eq\r(\f(R23,R13))≈288h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。11．(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m≪M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则()A．c的线速度大小为a的eq\r(3)倍B．c的向心加速度大小为b的一半C．c在一个周期内的路程为2πrD．c的角速度大小为eq\r(\f(GM,8r3))解析：选Aa、b、c三个天体角速度相同，由于m≪M，则对a天体有Geq\f(MM,2r2)＝Mω2r，解得ω＝eq\r(\f(GM,4r3))，故D错误；设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Geq\f(Mm,\f(r,sinα)2)cosα＝mω2eq\f(r,tanα)，解得α＝30°，则c的轨道半径为rc＝eq\f(r,tan30°)＝eq\r(3)r，由v＝ωr，可知c的线速度大小为a的eq\r(3)倍，故A正确；由a＝ω2r，可知c的向心加速度大小是b的eq\r(3)倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2eq\r(3)πr，故C错误。12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX­3双星系统