山东省新泰第一中学北校2026届高二上数学期末联考试题含解析

山东省新泰第一中学北校2026届高二上数学期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A.13时~14时 B.16时~17时C.18时~19时 D.19时~20时2．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.653．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A. B.C. D.4．某商场为了解销售活动中某商品销售量与活动时间之间的关系，随机统计了某次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：活动时间销售量由表中数据可知，销售量与活动时间之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（）A B.C. D.5．椭圆的焦点坐标是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）6．在中，若，则（）A.150° B.120°C.60° D.30°7．已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（）A.或 B.或C.或 D.或8．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.489．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（）A.2 B.C. D.10．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A. B.C. D.11．如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（）A. B.C. D.12．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，垂直于轴，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为__________14．若正实数满足则的最小值为________________________15．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________16．若，满足约束条件，则的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（1）求B的大小（2）若，，求b.18．（12分）已知圆，直线过定点.（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程.19．（12分）已知点在椭圆：上，椭圆E的离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）若不平行于坐标轴且不过原点O的直线l与椭圆E交于B，C两点，判断是否可能为等边三角形，并说明理由.20．（12分）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，椭圆右焦点也为，离心率为（1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过的直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值21．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的弦.求：（1）弦的长；（2）△的周长.22．（10分）给定函数.（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；（2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；（3）求出方程的解的个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间故选：B.【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.2、D【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，∴中位数为.故选：D.3、A【解析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，故选：A4、C【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归方程即可得解.【详解】由表格中的数据可得，，将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，所以，回归直线方程为，故当时，.故选：C.5、A【解析】根据椭圆的方程求得的值，进而求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由椭圆，可得，则，所以椭圆的焦点坐标为和.故选：A.6、C【解析】根据正弦定理将化为边之间的关系，再结合余弦定理可得答案.【详解】若,则根据正弦定理得：，即,而，故，故选：C.7、C【解析】设点的坐标为，根据，点到直线的距离为，联立方程组即可求解.【详解】解：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：C8、C【解析】频率跟实验次数有关，概率是一种现象的固有属性，与实验次数无关，即可得到答案.【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为.故选：C9、C【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，所以是等边三角形，故，因此，因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性质可知：，由双曲线的定义可知：，故选：C【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.10、B【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.11、D【解析】由离心率求得，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论【详解】由题意，则，即，由圆方程知，设，，则，，又，两式相减得，所以，直线方程为，即故选：D12、C【解析】由题意，得，由此可求出答案【详解】解：∵，且分别是直线的方向向量，∴，∴，∴，故选：C【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】通过垂直于轴,可以求出，由已知为等腰三角形，可以得到，结合关系，可以得到一个关于离心率的一元二次方程，解方程求出离心率.【详解】∵垂直于，∴可得，又∵为等腰三角形，∴，即，整理得，解得.【点睛】本题考查了求椭圆离心率问题，关键是通过已知条件构造出关于离心率的方程.14、【解析】利用基本不等式即可求解.【详解】，，又，，，当且仅当即，等号成立，.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、##0.4【解析】设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.【详解】设，则，从而，解得：，所以故答案为：16、0【解析】作出约束条件对应的可行域，当目标函数过点时，取得最小值，求解即可.【详解】作出约束条件对应的可行域，如下图阴影部分，联立，可得交点为，目标函数可化为，当目标函数过点时，取得最小值，即.故答案为：0.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，可得，进而可求出和角；（2）利用余弦定理，可得，即可求出.【详解】（1）由，得，因为，所以，又因为B为锐角，所以（2）由余弦定理，可得，解得【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圆的方程可得圆心和半径，当直线斜率不存在时，知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得方程；（2）当直线斜率不存在时，知与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得方程.【小问1详解】由圆的方程知：圆心，半径；当直线斜率不存在，即时，与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设，即，圆心到直线距离，解得：，，即；综上所述：直线方程为或；【小问2详解】当直线斜率不存在，即时，与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，设，即，圆心到直线距离，，解得：或，直线的方程为或.19、（1）（2）三角形不可能是等边三角形，理由见解析【解析】（1）根据点坐标和离心率可得椭圆方程；（2）假设为等边三角形，设，与椭圆方程联立，由韦达定理得的中点的坐标，，利用得出矛盾.小问1详解】由点在椭圆上，得，即，又，即，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】假设为等边三角形，设，，联立，消去得，由韦达定理得，由得，故，所以的中点为，所以，故，与等边三角形中矛盾，所以假设不成立，故三角形不可能是等边三角形.20、（1）抛物线方程为，椭圆方程为（2）【解析】（1）由，可得，继而可得，故，再利用离心率，以及，即得解；（2）设直线方程为，与抛物线联立，，结合韦达定理可得，再与椭圆联立，，韦达定理代入，结合均值不等式即得解【小问1详解】由题意，解得：，故，，，，，所以抛物线方程为，椭圆方程为【小问2详解】设直线方程为，由消去得，，设，，则因，所以或（舍去），所以直线方程为由，消去得，设，，则设直线与轴交点为，则所以令，则，所以，当且仅当时，即时，取最大值21、（1）；（2）.【解析】（1）联立直线方程与双曲线方程，求得交点的坐标，再用两点之间的距离公式即可求得；（2）根据（1）中所求，利用两点之间的距离公式，即可求得三角形周长.【小问1详解】设点的坐标分别为，由题意知双曲线的左、右焦点坐标分别为、，直线的方程，与联立得，解得，代入的方程为分别解得.所以.【小问2详解】由（1）知，，，所以△的周长为.22、（1）函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；（2）具体