专题04双曲线及其应用（期末复习知识清单）（原卷版）

专题04双曲线及其应用（4知识&15题型&2易错）【清单01】双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，集合P是空集.【清单02】双曲线的标准方程标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形【清单03】双曲线的简单几何性质性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)【清单04】直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．2.直线与双曲线的相交弦3.双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.【二级结论1】双曲线的焦点三角形的内心【二级结论2】双曲线弦中点问题注：通过隐函数求导求切线方程只能在小题中使用，在大题中求切线方程时需要联立求解．题型1对双曲线定义的理解及应用紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步．第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线；第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况；第三步：结合定义解决典型问题．A．2 B．6 C．2或6 D．2或5A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上C．两支双曲线上 D．一条抛物线上A．若运算*为加法，则点的轨迹为椭圆B．若运算*为减法，则点的轨迹为双曲线C．若运算*为乘法，则点的轨迹为直线D．若运算*为除法，则点的轨迹为圆题型2双曲线的焦点三角形A． B． C． D．题型3双曲线中的距离和差的最值问题双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系．A．11 B．9 C． D．5A．4 B．6 C．10 D．14题型4双曲线标准方程的求解待定系数法求双曲线标准方程题型5双曲线标准方程的参数问题由双曲线标准方程求参数范围（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．D．该方程可以表示两条平行直线题型6与双曲线有关的轨迹问题与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义．．题型7求双曲线离心率的值或范围求双曲线离心率的常用方法A．2 B． C．4 D．5A． B． C． D．题型8直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志．题型9直线与双曲线相交弦长问题“先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况．(1)求双曲线的方程；(1)求双曲线的方程；(2)直线的方程；题型10双曲线的中点弦问题既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．(1)求动点的轨迹方程；题型11双曲线中的定点问题1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．(1)求双曲线G的方程；（i）求证：直线过定点；(1)求双曲线的标准方程；(2)求直线的斜率的取值范围；(1)求的标准方程；(1)求E的方程；题型12双曲线中的定值问题1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．(1)求双曲线的标准方程；(3)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率都存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值．(1)求的方程．(1)求双曲线的标准方程；(1)求双曲线的方程；题型13双曲线中的最值或范围问题（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．A．4 B．6 C．8 D．12A．40 B．50 C．55 D．60A． B． C． D．题型14双曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．(1)求双曲线的标准方程；(1)求双曲线的方程；(1)求双曲线的离心率；(1)求曲线的方程；题型15双曲线中的探究性问题“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(