《一般形式的柯西不等式》参考教案2_第1页
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文档简介

1/53.2一般形式的柯西不等式教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。教学过程：温故1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若则，当且仅当时取等号2、变式：若则显然当时，3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设是两个向量，则当且仅当中有一个是零向量或存在实数使得时，等号成立。4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设，那么5、配凑的思想新课：推广柯西不等式1、由柯西不等式的向量形式：设是两个向量，则这里是平面向量，若为空间向量呢，构造向量设间的夹角为，则仍有即所以当且仅当时取等号2、归纳推理：维上的柯西不等式：证明：回顾前面的证法视则不等式为构造二次函数即+当或时不等式显然成立当至少有一个不等于0时，而恒成立。所以其4-4得：当且仅当有唯一零点时，以上不等式取等号。此时有唯一的实数使得若，则，不等式成立若，则综上当且仅当或时不等式取等号。推测正确3、定理：一般形式的柯西不等式：设则即当且仅当或时不等式取等号。4、思考：一般形式的三角形不等式及其证明4、柯西不等式的应用：例1、已知，求证：证明：套用柯西不等式所以即原式得证。例2、若是不全相等的正数，证明证明：配凑柯西不等式因为是不全相等，所以不能成立，所以即练习讨论：若是正数，求证：证明：例3、已知求的最小值。解：配凑柯西不等式得所以当且仅当即时取最小值例4、把一条长是的绳子截成三段，各围成一个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？解：设截得的三段长分别为，则则三个正方形的面积和为：因为，当且仅当时取等号所以有最小值答：选用：例5、已知都是正实数，且求证：证明：由柯西

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