《不等式证明》章末回顾

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《不等式证明》章末回顾学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共12题，60分）1.(5分)已知a，b，c，d都是正数，且bc＞ad，则，，，中最大的是（）A.B.C.D.2.(5分)设xy>0，则的最小值为（）A.－9B.9C.10D.03.(5分)对于x∈[0，1]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，则代数式a＋3b的值（）A.恒为正值B.恒为非负值C.恒为负值D.不确定4.(5分)已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是（）A.an＞an＋1B.an＜an＋1C.an＝an＋1D.与n的取值有关5.(5分)已知正数满足，则的最大值为（）A.3B.C.18D.96.(5分)设a＝lg2－lg5，b＝ex（x＜0），则a与b的大小关系是（）A.a＜bB.a＞bC.a＝bD.a≤b7.(5分)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝（）A.B.2C.6D.2或68.(5分)已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的关系为（）A.y1y2<x1x2B.y1y2＝x1x2C.y1y2>x1x2D.不能确定9.(5分)要使－＜成立，a，b应满足的条件是（）A.ab＜0且a＞bB.ab＞0且a＞bC.ab＜0且a＜bD.ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b10.(5分)设a1，a2，…，an为正实数，P＝，Q＝，则P，Q间的大小关系为（）A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q11.(5分)若a>0，b>0，则p＝，q＝ab·ba的大小关系是（）A.p≥qB.p≤qC.p>qD.p<q12.(5分)在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是（）A.0＜B≤B.0＜B≤C.0＜B≤D.＜B＜π二、填空题（共4题，16分）13.(4分)设x，y，z∈R，且满足x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.14.(4分)若实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b（a≠b），则mx＋ny的最大值为________.15.(4分)函数y＝的最小值是________.16.(4分)已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________.三、解答题（共6题，24分）17.(4分)设x2＋2y2＝1，求u（x，y）＝x＋2y的最值.18.(4分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.求证：＋＋≥.19.(4分)设a，b，c是不全相等的正实数.求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.20.(4分)若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求证：不能同时大于1.21.(4分)求证：2（－1）＜1＋＋＋…＋＜2（n∈N＋）.22.(4分)等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn.等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，是公比为64的等比数列.（1）求an与bn；（2）证明：＋＋…＋＜.《不等式证明》章末回顾答案一、单项选择题1.【答案】D【解析】【知识点】比较法【解题过程】因为a，b，c，d均是正数且bc＞ad，所以有＞.①又－＝＝＞0，∴＞，②－＝＝＞0，∴＞.③由①②③知最大，故选D.2.【答案】B【解析】【知识点】柯西不等式【解题过程】.3.【答案】A【解析】【知识点】直接证明【解题过程】依题意2b＞0，∴b＞0，且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，即a＋3b恒为正值.4.【答案】B【解析】【知识点】比较法【解题过程】an＋1－an＝－＝.∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋，∴an＋1－an＞0，因此an＋1＞an.5.【答案】B【解析】【知识点】柯西不等式【解题过程】根据柯西不等式，，当且仅当时，等号成立.6.【答案】A【解析】【知识点】直接证明【解题过程】a＝lg2－lg5＝lg＜0.又x＜0，知0＜ex＜1，即0＜b＜1，∴a＜b.7.【答案】B【解析】【知识点】解不等式【解题过程】∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6，∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.8.【答案】C【解析】【知识点】直接证明【解题过程】∵a，b，x1，x2为互不相等的正数，∴y1y2＝·＝＝>＝＝x1x2.9.【答案】D【解析】【知识点】比较法【解题过程】－＜⇔（－）3＜a－b⇔3＜3⇔ab（a－b）＞0.当ab＞0时，a＞b；当ab＜0时，a＜b.10.【答案】B【解析】【知识点】柯西不等式【解题过程】∵（a1＋a2＋…＋an）≥＝n2，∴≥，即P≥Q.11.【答案】A【解析】【知识点】均值不等式【解题过程】＝.若a≥b>0，则≥1，a－b≥0，从而≥1，得p≥q；若b≥a>0，则0<≤1，a－b≤0，从而≥1，得p≥q.综上所述，p≥q.12.【答案】B【解析】【知识点】等差数列、均值不等式【解题过程】由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c，∴cosB＝＝，＝＝－≥.当且仅当a＝b＝c时，等号成立.∴cosB的最小值为.又y＝cosB在上是减函数，∴0＜B≤.二、填空题13.【答案】【解析】【知识点】柯西不等式【解题过程】由柯西不等式可得（x2＋y2＋z2）（12＋22＋32）≥（x＋2y＋3z）2，即（x＋2y＋3z）2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.14.【答案】【解析】【知识点】三角代换【数学思想】化归与转化的思想【解题过程】设m＝cosα，n＝sinα，x＝cosβ，y＝sinβ，则mx＋ny＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α－β）.当cos（α－β）＝1时，mx＋ny取得最大值.15.【答案】3＋2【解析】【知识点】柯西不等式【解题过程】由柯西不等式，得y＝当且仅当＝，即α＝时等号成立.16.【答案】（1，2）【解析】【知识点】放缩法【解题过程】由放缩法，得＜＜；＜＜；＜＜；＜＜.以上四个不等式相加，得1＜S＜2.三、解答题17.【答案】umax＝，umin＝－.【解析】【知识点】柯西不等式【解题过程】由柯西不等式，有|u（x，y）|＝|1·x＋·y|≤·＝，得umax＝，umin＝－.分别在时取得最大值和最小值.18.【答案】【解析】【知识点】柯西不等式【解题过程】因为x>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式得：[（y＋2z）＋（z＋2x）＋（x＋2y）]＋＋≥（x＋y＋z）2，又因为x＋y＋z＝1，所以＋＋≥＝.19.【答案】【解析】【知识点】直接证明【解题过程】法一：要证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc，只需证lg＞lg（abc），只需证··＞abc.∵≥＞0，≥＞0，≥＞0，∴··≥abc＞0成立.∵a，b，c为不全相等的正数，∴上式中等号不成立.∴原不等式成立.法二：∵a，b，c∈{正实数}，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.又∵a，b，c为不全相等的实数，∴··＞abc，∴lg＞lg（abc），即lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.20.【答案】【解析】【知识点】反证法【解题过程】假设三数能同时大于1，即（2－a）b＞1，（2－b）c＞1，（2－c）a＞1.那么≥＞1，同理＞1，＞1，三式相加＞3，即3＞3.上式显然是错误的，∴该假设不成立.∴（2－a）b，（2－b）c，（2－c）a不能同时都大于1.21.【答案】【解析】【知识点】放缩法【解题过程】∵＝＞＝2（－），k∈N＋，∴1＋＋＋…＋＞2[（－1）＋（－）＋…＋（－）]＝2（－1）.又＝＜＝2（－），k∈N＋，∴1＋＋＋…＋＜1＋2[（－1）＋（－）＋…＋（－）]＝1＋2（－1）＝2－1＜2.∴2（－1）＜1＋＋＋…＋＜2（n∈N＋）.22.【答案】【解析】【知识点】等差、等比数列，放缩法【解题过程】