2026年高考强基计划招生考试数学模拟试卷（含答案详解）

第第页2026年高中数学强基计划模拟卷（一）一、解答题1．求四元组的个数，使得，且.2．在中，若为形外一点，满足，线段与线段交于，且，，求.3．求的排列的个数，使得排列中没有出现连续的.

4．三个复数的模分别为，且这三个复数实部虚部均为整数，则这三个复数的积有多少个可能值？5．满足的二元集有几个.6．求.

7．已知，过点的直线交抛物线于两点，过两点作抛物线的切线交与点P，求的最小值和P的轨迹．8．在中，若在上，平分的内心与的外心重合，求.9．用表示正整数的数码和，求满足与均为5的倍数的的最小值.

10．都为质数，整除整除，有多少组和．满足各位数字由组成，且含偶数个2的2025位数有几个.一、解答题1．求四元组的个数，使得，且.【答案】25【分析】根据，可得可能的取值，再利用排列组合求得四元组的个数.【详解】因为，且，所以的取值有三种不同的组合：或或，即，当时，四元组有个，当时，四元组有1个当时，四元组有个，故满足题意的四元组的个数为个.2．在中，若为形外一点，满足，线段与线段交于，且，，求.【答案】【分析】使用平面几何知识证明点是外接圆的圆心，然后利用圆的相交弦定理即得结果.【详解】由于线段与线段有交点，故点和点一定在线段的同侧（否则线段和整体各位于线段的两侧且端点不同，不可能有交点）.而，，且和在的同侧，故由圆心角是圆周角的2倍，可知点一定是外接圆的圆心.记的外接圆为，并设为在上的对径点，则根据相交弦定理有.再由已知有，故.3．求的排列的个数，使得排列中没有出现连续的.【答案】【分析】先考虑包含连续的排列对应的七个集合，计算它们通过取交得到的集合的元素个数，然后利用容斥原理得到不满足条件的排列数，再用总排列数与该数相减即得答案.【详解】对有限集合，记其元素个数为.在的所有排列中，设为所有包含连续的的排列构成的集合，这里.则对而言，集合中的所有排列，都相当于在将需要相邻的数进行捆绑以后，个整体元素的全排列，从而.故由容斥原理即得.这就表明出现了连续的中之一的排列有个，所以不出现连续的的排列有个.故所求排列的个数为.4．三个复数的模分别为，且这三个复数实部虚部均为整数，则这三个复数的积有多少个可能值？【答案】【分析】先根据模长及实部虚部均为整数可求三个复数的形式，再结合复数的三角形式探究三个复数的幅角与复数乘积对应的幅角的关系，从而可求积的可能值的个数.【详解】设，由题设可得、为整数，故，或或或，故，故，设，，由可得，故，因为也为整数，故，故，故或，或，其中，，且.设，，由可得，同理，故或或，其中且，且.又，，，，故，，，所以，，，又，结合，故共有种不同的和即它们的终边不重合且不在坐标轴上，而其中且，而，故共有种不同的终边，故的可能值共有种.【点睛】思路点睛：与复数乘积有关的计算问题，应该结合三角形式来处理，在处理过程中注意结合幅角的性质和范围来讨论.5．满足的二元集有几个.【答案】个【分析】应用韦恩图知将空间分成四个，分别为、、、，注意讨论、、的情况，应用分步乘法计数原理及间接法求二元集的个数.【详解】如下韦恩图，将空间分成四个，分别为、、、，所以S中2025个元素，每个元素都有4种位置情况，故共有个，其中有个，有个，有1个，综上，的二元集有个.6．求.【答案】【分析】令得，结合已知求和公式，讨论、得到，即可得.【详解】令，则，而，故，对于且，则区间中共有个数值，对于，则区间中共有个数值，所以，令，则，所以，则，所以.7．已知，过点的直线交抛物线于两点，过两点作抛物线的切线交与点P，求的最小值和P的轨迹．【答案】最小值为4，点的轨迹方程为【详解】设直线的方程为，联立，整理可得由韦达定理可知设切线AP方程为设切线BP方程为联立解得；则P的轨迹方程为此时当时，等号成立8．在中，若在上，平分的内心与的外心重合，求.【答案】【分析】利用与全等，得到求出【详解】设题中的内心和外心为，即图中两点，一方面在的角平分线上，又所以与为等腰三角形，又所以所以 所以得到.另一方面,所以,综上可得.9．用表示正整数的数码和，求满足与均为5的倍数的的最小值.【答案】49999【分析】利用的必要条件为得到最小为4,得到最后的结果.【详解】设的末尾有个9,即,所以,此时必要条件为,所以最小为4,当时不符合题意,所以最小可能为五位数,经检验最小值为49999.10．都为质数，整除整除，有多少组和．【答案】6【分析】根据整除性可得，再逐个讨论可得不同的组数.【详解】由题设可得，不妨设，设，，则即，故，又，故，故，故，当时，，，故，当时，，，故，当时，，，故无解，当时，，，故无解，当时，，，故无解，由对称性可得可为，共有6组.11．满足各位数字由组成，且含偶数个2的2025位数有几个.【答案】个【分析】根据已知得到2025位数的生成函数为，进而求出偶数次幂的系数和，即可得.【详解】解法一：由题设，每位数字取自集合，因此每位有4种选择，且数字2出现的次数为偶数（包括0次），下面按2025位数中含有2的个数分类求解如下：①当含有0个2时：数字2的填法有种填法，每一位都从4，6，8中选一个数字有3种，2025位有种不同填法，共有种不同填法。②当含有1个2时：数字2的填法有种填法，在剩下的每一位都从4，6，8中选一个数字填入有3种，2024位有共有种填法，共有种不同填法；③当含有2个2时：数字2的填法有种填法，在剩下的每一位都从4，6，8中选一个数字填入有3种，2023位有共有种填法，共有种不同填法；④当含有个2时：数字2的填法有种填法，在剩下的每一位都从4，6，8中选一个数字填入有3种，位有有种填法，共有种不同填法。（其中）所以，由加法原理，满足各位数字由2，4，6，8组成的2025位数的不同数的总个数是。又，由①②得满足各位数字由2，4，6，8组成，且含偶数个2的2025位数的总个数为，所以满足各位数字由2，4，