辽宁省2025中考数学压轴点三二次函数压轴题题型一新定义问题课件

题型一新定义问题压轴点三二次函数压轴题典例解构1突破训练2例1

[2024辽宁真题第23题13分]已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m，n)，称点B(m，mn)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．典例解构1例如：函数y1＝2x，当y2＝xy1＝x·2x＝2x2时，则函数y2＝2x2是函数y1＝2x的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A(m，2m)，点B(m，2m2)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”y2＝2x2的图象上．

设问拆分(2)a.求函数y1的“升幂函数”y2的函数表达式；b.求点A的纵坐标；c.求点A的坐标.∵y2＝3，∴点B的纵坐标是3.∵点B在点A的上方，AB＝2，∴点A的纵坐标是3－2＝1.

原题设问(3)点A在函数y1＝－x＋4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．①若点B与点A重合，求m的值；设问拆分(3)①a.求函数y1的“升幂函数”y2的函数表达式；b.用含m的式子表示出点A和点B的坐标；c.求m的值.解：y2＝xy1＝x(－x＋4)＝－x2＋4x.∵点A的横坐标为m，∴A(m，－m＋4)，B(m，－m2＋4m).∵点B与点A重合，∴－m＋4＝－m2＋4m.整理，得m2－5m＋4＝0.解得m＝1或m＝4.要点提炼知识必备平面直角坐标系中两个点重合，则这两个点的横、纵坐标分别相等.原题设问②

若点B

在点A

的上方，过点B

作x

轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC

为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；设问拆分②

a.画出函数y1

和y2

图象的草图，判断线段AB

与y

轴的位置关系，并结合图象判断，当点B

在点A的上方时，求m

的取值范围；解：画出函数y1和y2图象的草图如解图1，∵点A(m，－m＋4)，B(m，－m2＋4m)，∴AB∥y轴．易知两个函数图象的交点横坐标分别是1和4.

由图象可以判断，当点B在点A的上方时，m的取值范围是1＜m＜4；b.当点C

在点B

的右侧时，画出草图，求m

的取值范围，并求y

关于m

的函数表达式；解：当点C在点B的右侧时，画出草图如解图2，此时1＜m＜2.易知B，C两点关于直线x＝2对称．∴由抛物线的对称性可知BC＝2(2－m)＝4－2m.∵点B在点A的上方，∴AB＝(－m2＋4m)－(－m＋4)＝－m2＋5m－4.∴y＝2(AB＋BC)＝2(－m2＋5m－4＋4－2m)＝－2m2＋6m.∴当1＜m＜2时，y＝－2m2＋6m.c.当点C

在点B

的左侧时，画出草图，求m

的取值范围，并求y

关于m

的函数表达式；解：当点C在点B的左侧时，画出草图如解图3，此时2<m<4.同理可得AB＝(－m2＋4m)－(－m＋4)＝－m2＋5m－4，BC＝2(m－2)＝2m－4.∴y＝2(AB＋BC)＝2(－m2＋5m－4＋2m－4)＝－2m2＋14m－16.∴当2＜m＜4时，y＝－2m2＋14m－16.d.根据b和c,求y

关于m

的函数表达式.要点提炼知识必备1.平行于x

轴的直线与抛物线相交，则两个交点关于抛物线的对称轴对称，能根据对称轴和其中一点的坐标求另一点的坐标；2.平面直角坐标系内两个点B(b，m)，C(c，n).

由BC∥x

轴可得到m＝n.①

若点C

在点B

的右侧，则BC＝c－b；②

若点C

在点B

的左侧，则BC＝b－c.原题设问③

在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y

的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2－t1的值．设问拆分③

a.画出②中y

关于m

的函数图象的草图；解：画出草图如解图4.b.直线y＝t2不过抛物线y＝－2m2＋6m的顶点时，求t2－t1的值；解：画出草图如解图5，∵抛物线y＝－2m2＋6m和抛物线y＝－2m2＋14m－16的二次项系数相同，∴两条抛物线的开口大小相同．∵EF∥MN，且EF＝MN，∴EF和MN之间的距离等于两个顶点之间的竖直高度．c.直线y＝t2过抛物线y＝－2m2＋6m的顶点时，求t2－t1的值；d.根据b和c,直接写出t2－t1的值.要点提炼知识必备1.二次函数图象的开口方向和大小只由二次项系数决定.2.如图，抛物线y1

和y2

的二次项系数相同，直线l∥x轴交y1于点A，B，直线n∥x轴交y2于点C，D.若AB＝CD，

则直线l和n之间的距离等于两个顶点的高度差.例2

[2024辽宁省一模23题13分]在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n(n为正整数)，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点M(x，y)在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．例如：如图1，当n＝2时，某函数的图象C1经过点(0，1)和(2，2)，则该函数是正方形OABC的“LS函数”．“原题设问”答案略原题设问(1)当n＝1时，若一次函数y＝kx＋t是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是_________(写出一个即可)；设问拆分(1)a.求点A，B，C的坐标；b.一次函数的表达式是_________________(写出一个即可).解：如解图，当n＝1时，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．y＝x(答案不唯一)

点拨：当一次函数y＝kx＋t的图象过点O(0，0)，B(1，1)时，其表达式为y＝x，如解图，可知直线y＝x与正方形OABC只有两个交点，∴一次函数y＝x是正方形OABC的“LS函数”．要点提炼知识必备用待定系数法求一次函数的表达式.

设问拆分(2)a.求m的值和点E的坐标；b.判断该函数是不是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由.要点提炼知识必备用待定系数法求反比例函数的表达式.原题设问(3)当n＝4时，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点B，若该函数是正方形OABC

的“LS

函数”，求a的取值范围；设问拆分(3)a.用含a

的代数式表示二次函数图象的顶点坐标；解：当n＝4时，点B的坐标为(4，4)，把点B(4，4)的坐标代入y＝ax2＋bx＋4中，得4＝16a＋4b＋4，∴b＝－4a.∴y＝ax2－4ax＋4.∴该函数图象的顶点坐标为(2，－4a＋4)．b.当该二次函数图象开口向上时，求a

的取值范围；解：当n＝4时，点C的坐标为(0，4)．在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0，得y＝4，∴点C(0，4)在二次函数

y＝ax2＋bx＋4的图象上．∵二次函数

y＝ax2＋bx＋4是正方形OABC的“LS函数”，其图象经过点B，C，且开口向上，∴a>0，且抛物线顶点在x轴上方，∴－4a＋4>0，解得a<1.∴a的取值范围是0＜a＜1.c.当该二次函数图象开口向下时，求a

的取值范围；d.由b和c直接写出a

的取值范围.a的取值范围为0＜a＜1或a<0.要点提炼知识必备当二次函数的图象开口向上时，若要保证二次函数图象与线段OA

无交点，需使顶点纵坐标大于0.原题设问(4)在(3)的条件下，点P(a－1，y1)，Q(a＋3，y2)是二次函数y＝ax2＋bx＋4图象上的两点，

若点P，Q

之间的图象(包括点

P，Q)的最高点与最低点纵坐标的差为10a2，求a

的值．设问拆分(4)a.若抛物线开口向上，求a

的值；解：由(3)知，该函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－4a＋4)，当抛物线开口向上时，0<a<1，∴－1<a－1<0，3<a＋3<4，∴点P，Q之间的图象(包括点P，Q)的最高点是点P，最低点是顶点，∴a(a－1)2－4a(a－1)＋4－(－4a＋4)＝10a2，b.若抛物线开口向下且点Q

位于抛物线对称轴上或对称轴右侧时，求a

的值；解：由(3)知，该函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－4a＋4)．当抛物线的开口向下时，a＜0.当点Q位于抛物线对称轴上或在对称轴右侧时，a＋3≥2，∴－1≤a＜0.

∴－2≤a－1＜－1，2≤a＋3＜3.∴点P，Q之间的图象(包括点P，Q)的最高点是顶点，最低点是点P.∴(－4a＋4)－[a(a－1)2－4a(a－1)＋4]＝10a2，整理，得a(a2＋4a＋9)＝0.∵－1≤a<0，∴a2＋4a＋9＝0，此方程无实数根，∴a的值不存在．c.若抛物线开口向下且点Q

位于抛物线对称轴的左侧时，求a的值；解：由(3)知，该函数图象的对称轴是直线x＝2，当抛物线的开口向下时，a＜0.当点Q位于抛物线对称轴的左侧时，a＋3<2，∴a<－1，a－1<a＋3<2，∴点P，Q之间的图象(包括点P，Q)的最高点是点Q，最低点是点P.∴[a(a＋3)2－4a(a＋3)＋4]－[a(a－1)2－4a(a－1)＋4]＝10a2，整理，得a(a＋4)＝0.∵a<－1，∴a＋4＝0，解得a＝－4.∴a的值是－4.d.结合a，b和c，直接写出a的值.要点提炼知识必备1.若抛物线开口向上，离对称轴越近的点，

纵坐标越小；2.若抛物线开口向下，离对称轴越近的点，

纵坐标越大；3.若抛物线的对称轴为直线x＝2，点M

的坐标是(m,n),则点M

与对称轴的距离为|m－2|.1.

已知y1是自变量x的函数，当y2＝kxy1(k≠0)时，称函数y2为函数y1的“k倍升值函数”.在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m，n)，称点B(m，kmn)为点A“关于y1的k倍升值点”，点B

在函数y1的“k倍升值函数”y2的图象上.突破训练2例如：函数y1＝2x，当k＝1时，y2＝xy1＝x·2x＝2x2，则函数y2＝2x2是函数y1＝2x的“1倍升值函数”.在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A(m,2m)，当k＝1时，点B(m,2m2)为点A“关于y1的1倍升值点”，点B在函数y1＝2x的“1倍升值函数”y2＝2x2的图象上.

(3)点A在函数y1＝－x＋4的图象上，点A“关于y1的2倍升值点”为点B，设点A的横坐标为m.①若点B与点A重合，求m的值；②

将点A和点B之间的距离记为W，求W与m的函数表达式；③

在②的条件下，当一次函数y＝km＋8(k≠0)与函数W的图象有四个交点时，求k的取值范围.

①③(2)已知抛物线y＝x2＋mx＋n(m，n

均为常数)与直线y＝x＋4只有一个交点，且