2026年高考数学二轮复习专题09 数列的综合应用（复习讲义）（解析版）

专题09数列的综合应用目录01析·考情精解 ④知识2几种数列求和的常用方法几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．常见的裂项技巧模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）模型4：对数型模型5：三角型（1）（2）知识3常见不等式证明放缩公式常见不等式证明放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．（15）二项式定理①由于，于是②，；，（16）糖水不等式若，则；若，则．（17）指数恒等式：次方差公式这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.（18）利用导数产生数列放缩：由不等式可得：.【易错提醒】用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。题型1通项为等差通项乘以等比通项（错位相减法求和）1．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则有，所以，所以，又，所以，所以，所以；（2）令，所以；（3）由已知有，所以①，②，所以①②有：，解得，由有，即，令，所以，所以当时，，即，所以当时，数列单调递减，又，所以，所以.2．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项.(1)求数列的前n项和；(2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值；(3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)1(3)存在，【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即，整理可得，∵，∴，所以，，∴，，∴，所以，，，，上述两个等式作差得，所以，.（2）因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前n项的和，所以，所以.（3）∵，∴，其中，，，假设存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，则有，即，所以，解得，又因为，，所以，此时，所以存在满足题设条件的m、n，.3．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.【答案】(1)，(2)【详解】（1），，，，又，，，，由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列，，从而数列的通项公式为（2）由（1）知，，，设，则，两式相减得，整理得，.4．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，．（i）求数列的通项公式；（ii）设数列满足求数列的前项和．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）设数列的公差为，因为，则解得故.（2）(ⅰ)，，所以，即.又，则是首项为12，公比为的等比数列..(ⅱ)当为奇数时，，记，则，，两式相减，得，化简，得，得；为偶数时，记，则.故.5．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围；(3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求．【答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）由题意，，当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，因为，所以．（2）由（1）可得，因为，所以，所以数列的最大项为和，且，所以，解得或，所以实数的取值范围是．（3）因为，设，则设，所以，两式相减得，所以，故，设，所以．题型2通项为分数形式时（裂项相消法求和）6．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若．（ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．【答案】(1)，(2)（i）；（ii）证明见解析【详解】（1）对任意的，，当时，，当时，.也满足，故对任意的，，所以，即数列为等差数列，合乎题意，设等比数列的公比为，则，，，所以，，因此，.（2）（i），，故原不等式可化为，当为奇数时，，即恒成立，显然为递减数列，且，所以；当为偶数时，恒成立，显然外递减数列，所以，所以，因此，实数的取值范围是.（ii）因为，设，所以，上述两个等式作差可得①，设，所以，两式作差得，即，代入①式可得，故，故结论得证.7．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，．(1)求、通项公式；(2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和；(3)若（其中），证明：．【答案】(1)；(2)209(3)证明见解析【详解】（1）因为，，所以，解得，所以；因为，，所以，又因为，所以，；（2）设，在数列中，从项开始到项（不含）之前，共有项数为，所以，，当时，；当时，，所以数列前100项是项之后还有32项为2，所以；（3）当时，，，，，，，，当时，，，，因为，，所以，即.8．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为．(1)求的通项公式；(2)记，其中为二项式系数．（ⅰ）求数列的前项和；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【详解】（1）设首项为，公差为，由题意得解得，所以．（2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以，所以．所以，所以．（ⅱ）因为，所以．9．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，.(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；(2)当在单调递增时，设，求的值；(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.【答案】(1)，.(2)(3)最大值为1，最小值为.【详解】（1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以，所以，.（2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调；当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或，当时，，易知在单调递增；当时，，易知在不单调，所以，所以，.（3）当数列为等比数列时，由（2）知或，又为摆动数列，所以，，所以，当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1，当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值，所以的最大值为1，最小值为.10．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列.(1)求，的值；(2)求；(3)证明：.【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意知，，是公比为的等比数列，对恒成立，又，，，，又，所以；（2）因为对恒成立，所以，，，当时也成立，，又，；（3）由（2）知，故，当时，；当时，；综上可得.题型3通项通过加减分为几部分（分组求和）11．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍．(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足，，且当，.（i）求证：；（ii）求数列的前项的和．【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为，，，，，解得：，，，，.（2）（i）由（1）得：，，，，令，又，，则，即，.（ii）记，则，；当时，，；经检验：，满足，综上所述：.12．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)设，其中，求数列的前项和为；(3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【详解】（1）由题设，解得，公差为整数，则，又，故，正项等比数列满足，（负值舍），故.（2），当时，，令.当时，，令，综上，；（3）除数函数的函数值等于的正因数的个数，，，，，当时，，综上，.13．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则：.【答案】【详解】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个，所以数列的前20项的和为；前个1之间有个2，所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为，当时，个数，第45个1后面有个2，所以故答案为：；14．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为.(1)求数列的通项公式；(2)记，证明对于任意的，；(3)求（其中）.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）设数列的公比为，因为数列是各项均为正数，故，，因为，，所以，解得，而，则公比，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得等差数列的公差，当时，，则；当时，则，，，因此，所以.（3）依题意，在内的数列的所有项和为，数列中，项及前面的项数和为，当时，令，则，两式相减得，解得，而，因此，当时，满足上式，所以.15．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)令，去掉数列中的第3n项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和；(3)令，记数列的前项和为，数列的前项和为，若数列满