2026年高考数学二轮复习专题06 平面向量中的最值（范围）问题4大考向（重难）（天津）（解析版）

重难点06：平面向量中的最值（范围）问题内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津高考向量最值/范围题稳定在第14题（5分），以数量积最值为主，核心是基底/建系+函数/不等式求最值；2026年将延续该定位，强化跨模块融合、情景化建模、思维深度，难度稳中有升。三年共性特征，位置分值：第14题（5分），填空压轴，区分度强。核心载体：以三角形、正方形为几何背景，含动点（P在线段上）。核心考点：数量积最值（三年均考），偶涉模长、系数范围。方法偏好：基底法（适合对称/角度已知）、建系法（适合直角/正方形），结合二次函数、基本不等式求最值。趋势：2024-2025更重坐标化与函数化，计算量与定义域严谨性要求提高。预测2026年：结构与分值：仍为第14题（5分），填空压轴，梯度清晰。核心考点稳定，必考点：数量积最值、模长范围、线性系数范围，与三角形/四边形+动点结合。高频交汇：与解三角形、解析几何、函数融合；融入物流优化、环境治理等现实情景建模。情景化：真实背景包装，考查“文字→向量模型”转化。设问创新：补充条件探究、多结论选择、开放型最值（如“写出一个满足条件的P点位置并求最值”）。考向1：向量数量积的最值与范围数量积的最值范围处理方法：（1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算；（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理；（3）利用极化恒等式来处理。1．（2025·天津南开·模拟预测）“天津之眼”摩天轮是天津的地标建筑，闪耀着这座城市的宏伟与浪漫．下图是抽象自“天津之眼”的几何图形，圆是以1为半径的圆，，是关于直线对称的两点，且，，为圆上两个动点，满足，且是以为始边按逆时针方向旋转所成角的终边与圆的交点．（1）当点运动到满足，且点在点上方时，则在上的投影向量的模为；（2）当点，在圆上运动时，的取值范围是．【答案】/1.5【分析】建立平面直角坐标系，根据所给条件求出点坐标，当时得出坐标，根据向量的投影向量的模求解，当点，在圆上运动时，设出点坐标，得出向量坐标，利用数量积公式及三角恒等变换化简，由正弦型函数值域得解.【详解】以为原点，所在直线为建立平面直角坐标系，如图，设，，则由，,是关于直线对称，所以，所以，所以，，（1）当，且点在点上方时，，,则，，所以在上的投影向量的模为；（2）设，则，由，所以，由，则所以由，可知，所以的取值范围是.故答案为：；2．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时，；（ⅱ）的最小值为．【答案】【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律即可求解空1，利用向量的线性运算将问题转化为，求解的最大值，的最小值即可求解.【详解】由于，则，，（ⅰ）当，则，故，（ⅱ）,由于为相反向量，故，所以，由，故当时，取最小值，而的最大值为，因此当取最大值，取最小值时，取最小值，故最小值为，故答案为：，3．（2025·天津西青·模拟预测）在中，，，，分别为边，的中点，若点在线段上，且，，则.若，点为线段上的动点，则的最小值为.【答案】【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设，，表示出点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得.【详解】依题意，又，且、不共线，所以，所以；如图建立平面直角坐标系，则，，所以，，所以，因为点为线段上的动点，所以设，，则，则，所以，，所以，所以当时取得最小值，最小值为；

故答案为：；4．（2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示；若点为上一动点，则的最大值为．【答案】【分析】（1），再根据向量之间的关系进行化简；（2）根据向量加法的三角形法则，得到，，又，可得，设，则，，

最后根据范围求解即可.【详解】因为，所以，；因为，，又，即可得，设，则，，

当时有最大值，故答案为：；.5．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的且则取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案.【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则，所以，所以对任意的，且，则，所以，即，设，即在上单调递减，又时，，解得，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，故选：A．考向2：向量模长的最值与范围处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.1．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为.【答案】【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为，可得，因为，则，因为，则，且，如下图所示：以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系，则、、、、，；设点、，其中，，，，所以，，可得，因为，则，则，，所以，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：；.2．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=

(1)试用，表示；(2)若，求∠ARB的余弦值(3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.【详解】（1）因P,R,C共线，则存在使，则，整理得.由共线，则存在使，则，整理得.根据平面向量基本定理，有，则.（2）由（1），，，则，，.则；（3）由（1）知，则.由共线，设.又.则.因，则，则.3．（2026·天津滨海新·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则.若是线段上的一个动点，则的最小值为.【答案】/0.5【分析】①先利用向量的数量积公式及向量线性运算，由题可知：，由，可得，代入相应数据即可求得的值；②由①可得，则设，根据平面向量的混合运算可推出，再利用配方法即可得解，最后求出最小值.【详解】①，又，，则：，且原式，解得；②设，当时，有最小值，为故答案为：①，②.4．（2026·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（

）①的最大值为②在方向上的投影向量为③④若函数，则函数的最小值为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设，利用余弦定理可得，对于①，取的中点为可推出，结合图形可知当点与点或点重合时取得最大值，计算可知①正确；对于②，根据投影向量定义计算可判断其错误；对于③，代入点坐标计算可知错误；对于④，将点坐标代入所求函数，整理并根据二次函数性质求得其最小值为，可知④错误.【详解】易知正八边形的每条边所对的圆心角都是，所以，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：

设，在中，由余弦定理，,可得，且.对于①，取的中点为，则,且；则；由正八边形的对称性可知当点与点或点重合时，取得最大值，不妨取，则，则,所以，因此，即①正确；对于②，易知，所以在方向上的投影向量为，因此②错误；对于③，易知，而，因此，即③错误；对于④，易知由可得：，由二次函数性质可知当时，取得最小值，所以函数的最小值为，因此④错误.因此只有①正确.故选：B5．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．【答案】3【详解】

连接AO，并延长交BC于点D，易知点D为BC的中点，所以，.又因为是的中心，所以是的重心，即，所以.因为，，所以，，所以.因为M，O，N三点共线，所以，所以，.因为，，所以，，又，所以，.由，得，，令，当和重合时，为上中线，此时,所以，则，得.根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，所以，.因为，所以，根据二次函数的性质可知，所以的最小值为.故答案为：3，.考向3：向量夹角的的最值与范围求两个非零向量夹角的步骤第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步：分别求出这两个向量的模；第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角。1．（2025·天津武清·月考）已知，，与的夹角为．(1)求；(2)求；(3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)(3)且.【分析】（1）先由数量积公式求出，故；（2）利用数量积运算法则计算出的值；（3）且与不同向共线，从而得到不等式，求出且..【详解】（1），故；（2）；（3）由题意得且与不同向共线，，解得令，即，解得，则，综上，且.2．已知平面向量.(1)若，求的值；(2)若，求的值.(3)若与的夹角是钝角，求的取值范围.【答案】(1)或3：(2)1或(3)【分析】（1）利用即可；（2）利用得出值，再利用求模公式；（3）利用且不共线即可.【详解】（1）若，则.整理得，解得或.故的值为或3.（2）若，则有，即，解得或当时，，则，得；当时，，则，得.综上，的值为1或.（3）因与的夹角是钝角，则，即，得，又当与共线时，有，得，不合题意，则综上，的取值范围为.3．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知，，与的夹角为，求的值；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．【答案】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算性质求解；再利用向量夹角公式及共线向量定理列式求解.【详解】依题意，，；由向量与的夹角是锐角，得，且与不共线，即，且，整理得，且，解得且所以实数的取值范围为.故答案为：；4．若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是【答案】【分析】根据向量夹角为钝角的条件，借助数量积公式来确定实数的取值范围.【详解】因为向量，，与的夹角为钝角，所以且，即且，即实数的取值范围是.故答案为：.5．（2025·天津·模拟预测）已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围.【答案】【分析】利用向量数量积定义计算可得，再根据两向量与的夹角为钝角可得其数量积小于零，且它们不反向，解不等式即可求得结果.【详解】依题意可得，若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向，所以，解得；当两向量方向相反时可得，且，解得；因此可得或；即实数的取值范围为.故答案为：考向4：向量系数的最值与范围此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解。（1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然；（2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。=1\*GB3①当等和线恰为直线时，；=2\*GB3②当等和线在点和直线直线时，；=3\*GB3③当直线在点和等和线之间时，；=4\*GB3④当等和线过点时，；=5\*GB3⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数。1．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则；若点F为线段上的动点，则的取值范围为．

【答案】【分析】由题意得，从而；对于第二问，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解.【详解】由题意所以，设，，，，，设，对称轴是，故单调递增，从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为.故答案为：；.2．（2025·天津南开·月考）在梯形中，，动点和分别在线段和上，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在梯形中，利用向量的线性运算,得出关于的函数关系式，可得，设，利用导数得到函数的单调性，进而求得最值，即可得到的取值范围【详解】

如图，在梯形中，，且，，由，解得，设，则，令，解得，所以当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，的最小值为，又，，即的最大值为，则的取值范围为.故选：D.3．如图，在等腰梯形中，，，F为的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动，E为圆弧与的交点．若，其中，则的取值范围是．

【答案】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示条件，得出的表达式，运用正弦函数求出结果.【详解】依题意，以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，其中，由题意可知，，，，，，，则，，．因为，所以，则，解得，所以．又，所以．故答案为：．

4．（2025·天津南开·模拟预测）在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，，则的取值范围是.【答案】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则，，，，，，则，，，，∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故，即.故答案为:5．（2025·天津静海·月考）已知正六边形顶点的字母依次按逆时针顺序确定的边长为，点是内含边界的动点．设、，则的取值范围是．【答案】【分析】如图，连接,设与交于,证明求出即得解.【详解】解：如图，连接,所以,设与交于,所以，设与的夹角为，所以,所以,即.故答案为：（建议用时：60分钟）1．（2025·天津河东·二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为．【答案】0【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果.【详解】如图所示,连接，因为三点共线，且，解得，则，与夹角为,与夹角为,.设,可知,,,,,,当或时,有最小值,最小值为0.故答案为:；0.2．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为；当在上的投影向量为时，.【答案】【分析】（1）首先利用基底法表示数量积，再结合四边形面积公式，以及基本不等式，即可求解的最小值；根据第一问的过程，结合投影向量公式，可以求，，再代入数量积公式，即可求解.【详解】由条件可知，,，所以，所以，，，，，当时等号成立，所以的最小值为；在上的投影向量为，则，即,因为，所以，得，，则.故答案为：；.3．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，则向量在向量上的投影向量的模为；（2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为.【答案】4；【分析】根据三角形面积公式可得，即可根据投影向量的定义求解（1），根据重心的性质，结合基底表达，即可根据向量的数量积运算律，结合基本不等式求解（2）即可.【详解】（1）因为，所以，解得，则，结合，解得，由投影向量公式得在向量上的投影向量为，故向量在向量上的投影向量的模为，（2）如图，根据题意可知为的重心，故，

又为线段上靠近的三等分点，故,因此，，，由（1）知，故，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为.故答案为：4，4．（2025·天津·二模）在中，已知，且，则；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为.【答案】3【分析】由题意，求得，结合，根据向量的线性运算法则，求得；再由，得到为直角三角形，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，得到，结合向量的数量积的坐标运算，得到，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由，可得，所以，又由，且，因为，所以，即，所以；因为，所以为直角三角形，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则,因为为线段的中点，可得，又因为点满足，即为（靠近的三等分点），可得，由为线段上的动点，可得设，其中，则，所以，根据二次函数的性质得，当时，取得最小值，最小值为.故答案为：；.5．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示；若，则的最小值为.【答案】【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用和表示，若且，，由已知得，，应用向量数量积的定义求值.【详解】由，，则，，由，若且，，则，所以，，所以，而，，所以的最小值为.故答案为：；6．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则；若为线段上的动点，则的最小值为．【答案】/【分析】依题意可得，根据平面向量线性运算及基本定理求出、，建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，利用坐标法及二次函数的性质计算可得.【详解】因为，所以，所以，又且、不共线，所以，所以；如图建立平面直角坐标系，则，，，所以，由，所以，所以，因为为线段上的动点，设，所以，所以，所以，所以，所以当时取得最小值，且最小值为.故答案为：；7．（2025·天津·模拟预测）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为．【答案】【详解】如图，过点作，因向量在向量上的投影向量为，则为线段的中点，则，在中，以为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，又，则且，则，则，设，则，当时，有最小值.故答案为：.8．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若，其中，为实数，则；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为.【答案】/【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值.【详解】因为，所以，因为，，所以，，所以，因为为线段的中点，所以，又，所以，又，所以，因为设是线段上的动点，又为钝角，所以，因为正方形的边长为，，所以，所以，所以当点与点重合时，取最小值，最小值为.故答案为：；.9．（2025·天津和平·二模）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则；若为线段上的一点，且，则的最小值为．【答案】【分析】由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】解：因为平行四边形的面积为，所以，得，所以，如图，连接，则，所以因为三点共线，所以，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：；10．在菱形中，，，，，已知点M在线段上，且，则，若点N为线段上一个动点，则的最小值为．【答案】7【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解．【详解】因为，，所以，，所以，，因为点在线段上，可设，而，所以，解得，，所以，则，所以，因为点为线段上一个动点，可设，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：7，．11．（2025·天津河西·模拟预测）在梯形中，，，，，，点满足，则；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为.【答案】/【分析】利用可得到大小，根据梯形上下底平行可得线段比例关系，取中点，利用向量数量积可得，通过求的最小值即可得到结果.【详解】由得，，解得，故.设交于点，由题意得，.在中，由余弦定理得，，故.由得，，，所以.取中点，连接，则，，所以，故.因为，所以当最小时，有最小值，的最小值为点到直线的距离.由得，，又因为，所以为等边三角形，故点到直线的距离为，由得点到直线的距离为，即，此时.故答案为：；.12．（2025·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为