2026年高考数学二轮复习专题03 嵌套函数与零点归来4大考向（重难）（天津）（解析版）

重难点03嵌套函数与零点归来内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：2023-2024均为第15题（填空压轴），5分；2025为选择，5分；核心考查嵌套函数零点个数/参数范围，2023：分段函数嵌套f(f(x))，求恰有2个零点的参数范围；核心是换元拆解+分段图象分析，易错点为忽略内层函数值域限制。2024：指数/对数嵌套函数，求恰有1个零点的参数范围；关键是外层零点→内层方程解的个数，易错点为边界值漏判与定义域疏忽。2025：复合函数零点所在区间判定，结合指数、幂函数；侧重零点存在性定理+单调性，难度略降但仍需严谨转化。共性规律：必考换元法（令t=f(x)），高频结合分段、指数、对数、三角等；核心是“外层零点→内层方程解的个数”两步转化；易错点集中在内层值域、定义域、临界值、重复零点。预测2026年：大概率第15题（填空压轴），5分；难度中偏难，维持区分度。核心载体：主流：分段函数+指数/对数/三角嵌套（如f(g(x))、f(f(x))）。新动向：可能结合向量、复数、统计量简单嵌套，或出现类周期/放缩型嵌套函数，背景更灵活但逻辑不变。考查形式：已知零点个数求参数范围（最易出区分度）。判断嵌套函数零点个数；或嵌套函数零点分布（区间、奇偶性等）。考向1：判断函数存在零点判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．1．（2025·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数零点存在性定理判断即可【详解】函数是上的连续增函数,,可得,所以函数的零点所在的区间是.故选：C2．已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（

）A．4 B．5 C．2 D．3【答案】C【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值.【详解】函数在递增，且，，所以函数存在唯一的零点，故，故选：C.3．（2026·天津和平·模拟预测）函数与的图象交点为，则所在区间是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】令函数，，由于，所以区间(2,3)必有零点．4．函数的零点所在的大致区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】的定义域为，又与在上单调递增，所以在上单调递增，又，，所以，所以在上存在唯一的零点.故选：C.5．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数都是增函数，所以函数是增函数，又，所以函数的零点所在的区间为.故选：A.考向2：判断函数零点个数（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．1．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是.【答案】【分析】考虑时，得到时，在上有两个零点，当取其他值时，只有1个零点，再考虑时，变形得到且时，，构造函数，写出分段函数，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到其与的交点个数，从而最终求出最多有4个零点，得到的取值范围.【详解】，即，当时，，即，故满足要求，若，则无解，若，则，解得不满足；若，则的解，若，则的解，且当时，，故当时，在上有两个零点，当取其他值时，只有1个零点，时，，显然当时，无解，当且时，，令，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故在，，上单调递增，在，上单调递减，又时，，其中，，，，画出的图象如下：当或或或时，有一个零点，当时，有2个零点，当时，有3个零点，当时，无零点，综上：最多有4个零点，则.故答案为：.2．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数在区间和上零点个数，然后根据在区间上有1个零点，函数在区间上有2个零点或根据在区间上有2个零点，函数在区间上有1个零点，即可得出结果.【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根；当时，令，得，该方程至多两个根，因为函数恰有3个不同的零点，所以函数在区间和上均有零点，若函数在区间上有两个零点，即直线与函数在区间上有两个交点，当时，；当时，，此时函数的值域为，则，解得，若函数在区间上有1个零点，则或，解得或，若函数在区间上也有两个零点，令，解得，，则，解得，若函数在区间上有1个零点，则且，解得；所以当函数在区间上有1个零点，在区间上有两个零点时，需满足，解得，当函数在区间上有2个零点，在区间上有1个零点时,需满足，解得，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.3．（2024·天津·二模）已知函数，关于有下面四个说法：的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；在区间上单调递增；当时，的取值范围为；在区间上有个零点．以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先把用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可.【详解】因为，即.对于，函数的图象向右平行移动个单位长度，得到，所以正确；对于，，则，先减后增，所以错误；对于，当，则，当且仅当时，即时，，当且仅当时，即，，所以的取值范围为，所以正确；对于，由，则，则当时，，所以在上有个零点，所以错误.故选：B.4．已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（

）A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个【答案】D【分析】利用奇函数性质和关系式转化求出的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想根据的取值范围求出零点个数.【详解】因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，，令，得，又，所以，当时，，由单调递减得函数在上单调递增，所以，得，作出函数图象如图所示，由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时在上只有3个零点.当时，有4个零点.所以当时，函数在上有4个或5个零点.故选：D5．（2025·天津北辰·模拟预测）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，可知为方程的解的个数，判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数即可求解．【详解】解：设，则方程有个根，即有个根，，所以在上单调递增，在，上单调递减，且，当时，，设，令得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，且，作出与的大致函数图象，如图所示：由图象可知的交点个数可能为1，2，3，4，又，所以的值为2，3，4．故选：D．考向3：已知函数有零点求参数的取值范围（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．1．（2025·天津·一模）已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将问题化为与有两个交点，利用导数研究过原点的切线斜率，数形结合判断参数的范围.【详解】作出函数的图象，如图示：当时，，则，若切点为，则，则切线为，由切线过原点，则，所以为的一条切线方程，当时，，则，若切点为，则，则切线为，由切线过原点，则，即，所以为的一条切线，当时，，则，若切点为，则，则切线为，由切线过原点，则，即，所以为的一条切线，综上，考虑直线，，与曲线相切，由图知，当时与有两个交点，所以时函数恰有两个零点．故选：B2．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为．【答案】【分析】将方程转化为关于的二次方程，通过两个函数图象的交点个数即可求解.【详解】因为,所以，即，整理得．因为方程有两个实数解，所以方程有两个实数解.令，则函数与的图象有两个交点.①当时，，由图象可知，两函数有4个交点，故不合题意；②当时，易知，且，令,得,，令,得,若与的图象有两个交点，需满足，解得．③当时，易知．由②的分析可得，若与的图象有两交点，需满足解得．综上，实数的取值范围为.故答案为：.3．（2020·天津和平·一模）已知函数，则；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为．【答案】81【分析】（1）利用分段函数解析式求出，再根据对数、指数的运算法则计算可得；（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数的取值范围.【详解】由，则，所以.作出函数在区间上的图象，如图所示：设，由图象可知要使方程在区间上有3个不等实根，则直线应位于与之间或直线的位置，所以实数的取值范围为或，所以或.故答案为：81；.4．（2025·天津·一模）已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】首先分析得且，进一步分和，两种情况讨论即可，原问题可以转换为的图象与的图象的交点个数为4来求参数，从而可以通过画图进行求解.【详解】若，则等价于，解得或，当或时，函数是二次函数，其零点不超过两个，从而必然有且，的零点有四个等价于的图象与的图象的交点个数为4，如图，当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较小的那个根，且经过直线所过的那个定点，由求根公式可求得点的横坐标为，从而，所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率，显然有，联立直线与得，，从而有，解得或（舍去），舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况，一种是相切于对称轴左边的一点，一种是相切于对称轴右边一点，从而，所以时，，即，解得，当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较大的那个根，且经过直线所过的那个定点，由求根公式可求得点的横坐标为，从而，所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率，显然有，联立直线与得，，从而有，解得或（舍去），舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况，一种是相切于对称轴左边的靠上面的一点，一种是相切于对称轴左边的靠下面的一点，从而，所以时，，即，解得或，综上所述，所求为.故答案为：.5．（2025·天津南开·二模）已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】，当时，变形为，令，则，画出函数图象，结合图象列出不等式即可求解.【详解】，即，当，，，所以不是交点横坐标；当时，，即，令，则，所以的图象与有3个交点，即函数与的图象有3个交点，函数恒过点，当，即，，即，解得或，当，解得或，所以函数与相切时的最小值为或，由图象可知当（1）时，即；（2），即时函数与的图象有3个交点，综上：当时，的图象与有3个交点，故答案为：.考向4：嵌套函数的分析思路定义：①函数里调用另一个函数简称函数嵌套. ②函数里调用函数本身简称递归嵌套.函数嵌套原理求函数解析式步骤如下：形如：第一步：令第二步：令，,解出第三步：求出的解析式.1．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】第一步换元，分两大类：当时，，或当时，，解得或即可得解.【详解】设，则，情形一：当时，，解得或，因为，故不可能有，从而只能是有唯一的解，这就要求，当时，，解得，当时，，解得，这与矛盾，此时满足题意的的取值范围是；情形二：当时，，解得，这就要求，由于，故只能是，解得，这就要求，此时满足题意的的取值范围是；综上所述，满足题意的的取值范围是.故答案为：.2．（2025·天津·模拟预测）已知函数若关于x的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函数图象，有个实根，故方程有个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围.【详解】由，得或，作出的图象，如图所示，由图可知，方程有2个实根，故方程有3个实根，故m的取值范围为.故选：A3．（2025·天津和平·三模）已知函数，，且有，若关于的方程有8个相异实根，则实数的取值范围为．【答案】．【分析】由题意设，，根据对称轴、单调性等知识画出图象，由题意当且仅当，是关于的方程的两个根，，进一步换元分离参数，并结合对勾函数的性质即可得解.【详解】由题意设，，由此可知，的对称轴均为，且当时，单调递减，单调递增，当时，单调递增，单调递减，且，由此可以画出这两函数的大致图像如图所示：所以，所以直线与函数至多有4个不同的交点，关于的方程至多有2个不同的根，由题意若关于的方程有8个相异实根，则当且仅当两个关于的方程，共有8个不同的根，其中，，是关于的方程的两个根，令，则关于的方程有两个不同的根，，即有两个不同的根，，设，由对勾函数性质得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，，所以有两个不同的根，，当且仅当，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.4．（2024·天津滨海新·二模）已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为.【答案】或【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.【详解】令，当时，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；……作出函数的部分图象如下，因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共点个数为2，由图可知，或.故答案为：或5．已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】换元后转化为，该方程存在唯一解，且，数形结合求解.【详解】当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支；当时，有，可得在单调递减，在单调递增且，，画出图象如下:

由题意，有唯一解，设，则，（否则至少对应2个，不满足题意），原方程化为，即，该方程存在唯一解，且.转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下：情形一：与相切，联立得，由解得，此时满足题意：情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)，此时交点坐标为，满足题意；另一个边界为与相切，即过点的切线方程，设切点为，则，解得，所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到；所以的范围为.综上，的取值范围为或.故答案为：或（建议用时：60分钟）1．（2022高三·全国·专题练习）设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次函数最多两个零点，讨论在区间分别取4、5、6个零点时的的取值范围，再讨论在区间分别取0、1、2个零点时的的取值范围，最后进行组合即可.【详解】⸪函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点，⸫当时，至少有四个根，令，则解得：，⸪，⸫，即，当时，，①若有4个零点，此时，即；②若有5个零点，此时，即；③若有6个零点，此时，即；当时，，令，解得：，①若，没有零点；②若，，有1个零点；③若，，且对称轴，当时，即，有2个零点；当时，即，有1个零点综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足，或或解得故选：A.2．（2025·天津武清·模拟预测）设，已知方程恰有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是.【答案】或【分析】原方程可化为恰有3个不同的实数解，令，即的图象有3个不同的交点，画出的图象，结合图象可得答案.【详解】当时，方程为，不成立，所以恰有3个不同的实数解，；原方程可化为恰有3个不同的实数解，令，即的图象有3个不同的交点，当时，，当时，，当时，，当时，，，的图象如下，由图可知，当，且与相切时，由，所以，,所以（另一解舍去），若要有3个不同的交点，则；，的图象没有3个不同的交点；当，且与相切时，由同理可得（另一解舍去），当过时，，当，不符合题意；若要有3个不同的交点，则；综上所述，或.故答案为：或.3．（2025·天津·二模）记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为．【答案】【分析】由题意得到，和，求解一元二次不等式即可求解.【详解】由已知有，即，则由，可得，即，解得．同理，有，解得，或，故，或，因此．当时，有，解得，满足题意；当时，有，解得，满足题意；当时，有，不符合题意；当时，有，不符合题意．综上，方程所有解的和为．故答案为：4．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是.【答案】【分析】由可得，数形结合可知、为方程的两根，、为方程的两根，求出的取值范围，利用韦达定理求出关于的表达式，令，，利用导数求出的值域，即为所求.【详解】由题意可知，由可得，可得，所以，直线与函数的图象有四个交点，如下图所示：由可得或，结合图象可知，、为方程的两根，即方程的两根，，由韦达定理可得，，因为，则，、为方程的两根，即方程的两根，，可得，故，由韦达定理可得，，因为，所以，所以，令，，所以，对任意的，，则，即对任意的恒成立，所以，函数在上单调递减，且，，故当时，，因此，的取值范围是.故答案为：.5．（2025·天津·二模）设，函数.若在区间上恰有2个不同的零点，则的取值范围是；若在定义域内恰有2个零点，则的取值范围是.【答案】【分析】根据函数零点的等价转化将问题转化为在有两个实数根，构造，即可利用二次函数的零点分布即可求解第一空，对讨论，当时，容易验证，当时，转化为在无零点，取绝对值后平方可得，构造函数，当，问题转化为需要在有两个零点，根据二次函数的性质列不等式，为了求解不等式，构造由导数求解函数的单调性即可解不等式，即可求解空2.【详解】由于在区间上恰有2个零点，故在有两个实数根，故在有两个实数根，记，则，解得或，接下来求解在定义域内恰有2个零点时的范围.①当时，，此时在无零点，故需要在区间上有2个零点，故，②当时，，此时没有零点，不符合题意，③当时，，若时，此时在有两个零点，故只需要在无零点，令，即，记由于，且而，故，，因此在有两个零点，不符合题意，若时，，，此时有两个根，有一个实数根，不满足题意，舍去，接下来只需要考虑的情况，此时对于来说，，故在没有零点，因此需要在有两个零点，故，即，即，故当在单调递增，当在单调递减，，因此对任意的，均有，故且综上可得在定义域内恰有2个零点，则，故答案为：，6．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为.【答案】【分析】先根据、得出的表达式，再通过导函数研究函数的单调性即可利用对称性以及图象变换画出的图象，利用图象交点得出的取值范围.【详解】因关于直线对称，则，且，则且，解得，则，经检验：对任意恒成立，即的图象关于直线对称，则符合题意；因恰有6个零点，则与的函数图象有6个交点，现研究函数的单调性：因，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则，又因，则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象：由图象可知，，则的取值范围为.故答案为：.7．（2025·天津和平·二模）已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】首先分析的交点情况，再分类讨论的范围，作出图象，即可求解．【详解】因为恰有两个不同的零点，所以有2个交点，先判断与交点的个数，令，即，，所以与无交点；判断与交点的个数，，即，令，解得或，所以当或，与有2个交点；判断与交点情况，令，即，解得或，其中，所以与有2个交点；判断与交点情况，，即，令，解得或，当或时，与有2个交点；①当时，与有2个交点，如图所示，符合题意；②当时，与有1个交点，如图所示，不合题意；③当时，如图所示，无交点，不符合题意；④当时，如图所示，无交点，不符合题意；⑤当时，如图所示，无交点，不符合题意；⑥当时，，如图所示，只有1个交点，不符合题意；⑦当时，与有一个交点，与有一个交点，如图所示，符合题意；综上所述，，故答案为：．8．（2025·天津河北·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围.【详解】令有且仅有一个根，且，所以，在上有且仅有一个根，当，则，令且，则，所以在上单调递增，趋向于0时，，趋向于1时，，所以；当，则，令在上单调递减，且，趋向于时，，所以；综上，.故答案为：9．（2023·天津滨海新·三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】函数有三个零点可转化为两个二次方程解的情况，再分类讨论并结合二次函数性质列方程，解方程.【详解】依题意，，当时，由，得，即，当时，由，得，而两个方程分别至多有个解，又函数有个零点，则两个方程共有个解，①当时，方程有两个解，则，，解得；此时当时，方程有且只能有一个解，则方程在上只有一解，即，解得，或方程有两解，并满足，则，解得，因此；②当时，方程方程有一个解，显然，则方程在上只有一解，即，解得，或方程有两解，则，解得；此时当时，方程有两个解，并满足，即，解得，因此，所以实数的取值范围是.故答案为：10．（2024·天津·二模）设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为.【答案】或.【分析】函数恰有4个零点说明与的图象有四个交点，对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况下的函数图象，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围.【详解】因为函数恰有4个零点，所以与的图象有四个交点，当时，，函数图象如图1所示，的图象与的图象仅有两个交点，不合题意.当时，点，且时，，，如图2，当与相切时，联立得，，由得或（舍），如图3，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意.如图4，当时，与的图象在上没有交点，在上有两个交点，不合题意.如图2，当时，与的图象在上没有交点，在上有三个交点，不合题意.如图5，当时，与的图象在上没有交点，在上有四个交点，符合题意.当时，点，且时，，，如图6，当与相切时，联立得，，由得或（舍），如图7，当时，与的图象在上有两个交点，在上有四个交点，不合题意.如图6，当时，与的图象在上有两个交点，在上有三个交点，不合题意.如图8，当时，与的图象在上有两个交点，在上有两个交点，符合题意.如图9，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意.综上，实数的取值范围为或.故答案为：或.11．（2020·江苏南通·二模）已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】求导，根据导函数得到在上的单调性和最值，根据函数有6个零点得到和时分别有4和2个零点，然后列不等式求解即可.【详解】解：当，，由可得，由可得，故可得在单调递减，在单调递增，故在有最小值为，又因为当时，，由函数有6个零点，故可得两段函数分别存在4和2个零点.若存在四个零点，此时需满足：，若存在实数，使得函数有6个零点，此时有两种情况：①：；②：，综上：.故答案为：.12．（2022·天津宝坻·二模）已知函数若函数有个零点，函数有个零点，且，则非零实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】命题等价于的图象与和的交点数之和为，然后结合图象判断交点数目，即可得到答案.【详解】命题等价于与和的交点数之和为，作出的图象如下：可以看出，对任意的非零实数，的图象和的交点数满足：若，则；若，则；若，则.而条件即为，此即，且或，从而的范围是或.综上，所求取值范围是．故选：C.13．（2023·天津·模拟预测）关于函数有下述四个结论：①是偶函数；