阶段滚动检测(六)

阶段滚动检测(六)120分钟150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|y=6-2x},集合B={x|y=lg(8-x)},则A∩B=A.{x|x≤2} B.{x|x<2}C.{x|x≤3} D.{x|x<3}【解析】选C.由题得A={x|x≤3},B={x|x<8},所以A∩B={x|x≤3}.2.设a∈R,z=3+aii,其中i为虚数单位,则“a>1”是“|z|>10”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为z=3i-ai2=a-3i,所以|z|=a2+9.令|z|>10,解得a>1或a<-1,故“a>1”是“|3.若a=ln10,b=ln2·ln5,c=ln4e,则a,b,c的大小关系是(A.c<a<b B.a<b<cC.c<b<a D.b<a<c【解析】选D.c=ln4e=ln4e2>ln102=ln10=而a2=(ln10)2=ln1022=且a>0,b>0,所以a>b,故b<a<c.4.已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为60°,则2a-b在b上的投影向量为()A.12b B.-12b C.-32b D【解析】选B.因为|b|=2|a|,a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos60°=|a|×2|a|×12=|a|2,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|2-4|a|2=-2|a|2,所以2a-b在b上的投影向量为(2a-b)·b|b|5.已知函数y=f(x-1)的图象关于直线x=-2对称,且对∀x∈R,有f(x)+f(-x)=6.当x∈(0,3]时,f(x)=x+3,则下列说法正确的是()A.10是f(x)的周期B.f(x+3)为奇函数C.f(2024)=1D.f(x)在[6,12]上单调递减【解析】选C.函数y=f(x-1)的图象由y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,且其对称轴为x=-2,所以函数y=f(x)的对称轴为x=-3,即f(-3+x)=f(-3-x)或f(x)=f(-6-x).又f(x)+f(-x)=6,所以函数图象关于点(0,3)对称,所以f(x)=6-f(-x)=6-f(-6+x)=6-[6-f(6-x)]=f(6-x)=f(-6-(6-x))=f(x-12),所以函数f(x)为周期函数,且最小正周期为12,故A错误;因为f(x)=f(6-x),故函数图象关于x=3对称,把函数图象向左平移3个单位长度,得函数y=f(x+3)的图象,图象关于y轴对称,所以f(x+3)为偶函数,故B错误;f(2024)=f(168×12+8)=f(8)=f(6-8)=f(-2)=6-f(2)=6-5=1,故C正确;f(8)=1,f(11)=f(-1)=6-f(1)=6-4=2,f(8)<f(11),故D错误.6.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=PB=PC=AB=BC=22,AC=23,则球O的表面积为()A.40π3 B.20π C.274π D.【解析】选A.设△ABC外接圆的半径为r,因为AB=BC=22,AC=23,由余弦定理得cos∠ACB=AC2+BC2-AB22则2r=ABsin∠ACB=85,故r记△ABC的外心为O1,连接O1A,O1B,O1C,则O1A=O1B=O1C,分别取AB,BC的中点E,F,连接O1E,O1F,则O1E⊥AB,O1F⊥BC.又因为PA=PB=PC,可得PE⊥AB,PF⊥BC.因为PE∩O1E=E,PF∩O1F=F,且PE,O1E⊂平面PEO1,PF,O1F⊂平面PFO1,所以AB⊥平面PEO1,BC⊥平面PFO1.又因为PO1⊂平面PEO1,PO1⊂平面PFO1,所以PO1⊥AB,PO1⊥BC.因为AB∩BC=B且AB,BC⊂平面ABC,所以PO1⊥平面ABC,可得PO1=245由题意可得外接球的球心在PO1上,设外接球的半径为R,可得(245-R)2+452=所以球O的表面积S=4πR2=403π7.设函数f(x)=ex+3x-a.若曲线y=sinx上存在点(x0,y0),使得f(f(y0))=y0,则实数A.[1,e+2] B.[e-1-3,1]C.[1,e+1] D.[e-1-3,e+1]【解析】选A.由题意可得y0=sinx0∈[-1,1],f(y0)=ey因为曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,所以存在y0∈[0,1],使f(y0)=c,f(c)=y0成立.因为函数f(x)=ex+3假设f(y0)=c>y0,则f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0,不满足f(f(y0))=y0.同理假设f(y0)=c<y0,则不满足f(f(y0))=y0.综上可得,f(y0)=c=y0.则问题等价于方程f(x)=x,x∈[0,1]有解,即x2=ex+3x-a在x∈[0,1]有解,分离参数可得a=ex+3x-x2,令g(x)=ex+3x-x2,因为g'(x)=ex+3-2x>0,x∈[0,1],所以函数g(x)在[0,1]上单调递增,所以1=g(0)≤g(x)≤g(1)=e+2,所以1≤a≤e+2.8.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为P.过点P作直线与抛物线交于A,B两点,其中点A在点B的右边.若∠AFP=120°,△FAB的面积为3,则p=()A.23 B.1 C.2 D.3【解析】选D.由题可知F(p2,0),P(-p2,0),直线AB斜率必存在,且kAB≠0,由对称性不妨设k>0,则A和B在第一象限,因为∠AFP=120°,所以∠AFx=60°,过A作AH⊥x轴交于点H,则tan60°=AHFH=yAxA-p2=3,即yA=3(xA-p2).又点A(xA,yA)在y2=2px(p>0)上,所以yA2=2pxA,即xA=yA22p,代入yA=3(xA-p2)得,yA=3(yA22p-p2),整理得3yA2-2pyA-3p2=0,即(3yA+p)(yA-3p)=0,所以yA=-3p3或yA=3p,此时A(p6,-3p3)所以S△FAB=S△FAP-S△FBP=12|PF|·|yA|-12|PF|·|yB|=12|PF|(|yA|-|yB|)=12×p(3p-所以p2=3,即p=3.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.给出下列命题,其中正确的命题为()A.已知数据x1,x2,x3,…,x10满足:xi-xi-1=2(2≤i≤10),若去掉x1,x10后组成一组新数据,则新数据的方差为21B.随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X>1.5)=0.34,若P(X<a)=0.34,则a=0.5C.一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为=2x+3,若∑i=16xi=30,则∑iD.对于独立性检验,随机变量χ2的值越大,则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小【解析】选ABD.对于A选项,去掉x1,x10后的平均数为x2+x3+…+x98=8x对于B选项,由于随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X>1.5)=0.34,则P(X<a)=P(X>1.5)=0.34,a,1.5关于1对称,则a=0.5,故B选项正确;对于C选项,因为∑i=16xi=30,所以x=5,又因为线性回归方程为=2x+3,所以y=2×5+3=13,所以∑i=16yi对于D选项,对于独立性检验,随机变量χ2的值越大,则两变量有关系的程度的错误率越低,故χ2越大,判定“两变量有关系”的错误率越低,D选项正确.10.(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinhx=ex-e-x2,双曲余弦函数coshx=ex+e-xA.双曲正弦函数是增函数B.双曲余弦函数是增函数C.双曲正切函数是增函数D.tanh(x+y)=tanh【解析】选ACD.(sinhx)'=ex则sinhx单调递增,A正确;(coshx)'=ex-e-x又f(0)=e0所以当x<0时,f(x)<0,coshx单调递减;当x>0时,f(x)>0,coshx单调递增,所以B错误;tanhx=ex-e-xex+tanh(x+y)=extanhx+tanhy1+tanh=2(ex+y-e-x-y11.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2的直线l交双曲线C的右支于A,B△AF1F2的内心为I1,AI1与x轴的交点为P,记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1,△BF1F2的内切圆I2的半径为r2,则下列说法正确的有()A.若双曲线渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为2或2B.若AF1⊥AF2,且|BF1|-|AF1|=2a,则双曲线的离心率为10C.若a=1,b=3,则r1-r2的取值范围是(-3,3)D.若直线l的斜率为3,AI1=2I1P,则双曲线的离心率为5【解析】选ABD.对于A,双曲线渐近线的夹角为60°,则ba=3或者ba=33,故e=1+ba2=2或对于B,设|AF1|=x,则|BF2|=x,|AF2|=x-2a,|BF1|=x+2a.故x2+(2x-2a)2=(x+2a)2,解得x=3a.又x2+(x-2a)2=4c2,10a2=4c2,故e=102对于C,令圆I1切AF1,AF2,F1F2分别为点D,Q,T,则|AD|=|AQ|,|F1D|=|F1T|,|F2Q|=|F2T|,|F1T|-|F2T|=|F1D|-|F2Q|=|AF1|-|AF2|=2a,令点T(x0,0),而F1(-c,0),F2(c,0),因此x0-(-c)-(c-x0)=2a,解得x0=a,又I1T⊥F1F2,则点I1横坐标为a,同理点I2横坐标为a,即直线I1I2的方程为x=a.设直线AB的倾斜角为2θ,那么∠OF2I2=θ,∠I1F2O=π2-在△I1F2T中,r1=(c-a)tan(π2-θ)=(c-a)1tanθ.在△I2F2T中,r2=(c-a)tanθ,渐近线的斜率为因为A,B均在右支上,故60°<2θ<120°,30°<θ<60°,tanθ∈(33,3)如图所求,r1-r2=(c-a)(1tanθ-tanθ)=1tanθ-tanθ∈(-2对于D,2=|AI1||I1P|=|AF2||F2P|=|AF1||F1P|=|AF1|+|AF2|2c,故|AF1|+|AF2|=4c由余弦定理可知(2c+a)2=(2c-a)2+4c2+2c·(2c-a),4c=5a,故e=54三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知cos2x=cos2(x-π4),则tanx=_________【解析】cos2x=cos2(x-π4)⇒cos2x-sin2x=12(cosx+sinx)2当cosx+sinx=0时⇒sinx=-cosx⇒tanx=-1,当cosx+sinx≠0时⇒cosx+sinx=2cosx-2sinx⇒cosx=3sinx⇒tanx=13答案:-1或113.现有4个相同的袋子,里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球,第k(k=1,2,3,4)个袋中有k个红球,4-k个白球.现将这4个袋子混合后,任选其中一个袋子,并且连续取出三个球(每个取后不放回),则第三次取出的球为白球的概率为_________.

【解析】由题意,设Ai=“选第i个袋子,其中i=1,2,3,4”,B=“从袋子中连续取出三个球,第三次取出的球为白球”,则Ω=A1∪A2∪…∪A4,且A1,A2,A3,A4两两互斥.P(Ai)=14,P(B|Ai)=4所以P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai)=4-所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)+P(A4B)=3+2+116=3答案:314.以minM表示数集M中最小的数.函数f(x)=cosx·sinx+min{cosx,2sinx}(x∈R)的最大值是________.

【解析】f(x)≤cosx·sinx+cosx=cosx·(1+sinx)=(cos2x2-sin2x2)·令m=cosx2-sinx2,n=cosx2+sinx2,则m2+而f(x)≤(cos2x2-sin2x2)·(cosx2+sinx2)令g(t)=(2-t)·t3,其中t=n2∈[0,2],则由g'(t)=6t2-4t3>0,可知0<t<32,令g'(t)<0,得32<即g(t)在(0,32)上单调递增,在(32,2)上单调递减,故g(t)≤g(32)=2716,即f(当且仅当n2=1+sinx=32mcosx=32时等号成立,故f(x)的最大值为3答案:3四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosAcosC(1)求A的值;【解析】(1)由题意知,cosAcosC=sinA2sinB-sinC,故2cosA·sin=sin(A+C)=sinB.又sinB≠0,故cosA=12,而A∈(0,π),则A=π(2)若c=2b=4,M为边BC上一点,且2BM=3MC,求AM的长.【解析】(2)AB·AC=cb·cosA=bc2AM=25AB+故|AM|2=4c2+9b2+12AB·AC2516.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AD=2,AB=1,PA⊥平面PCD,且PC=PD=1,设E,F分别为PB,AC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;【解析】(1)因为底面ABCD为平行四边形,F是AC中点,所以F是BD中点,所以EF12PD.又因为EF⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)求直线DE与平面PAC所成角的正弦值.【解析】(2)法1:(几何法)因为DE⊂平面PBD,平面PBD∩平面PAC=PF,所以直线DE与平面PAC的交点即为DE与PF的交点,设为G.因为PC=PD=CD=1,所以△PCD为等边三角形,取PC中点O,连接OD,则DO⊥PC.因为PA⊥平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.又因为平面PAC∩平面PCD=PC,DO⊥PC,所以DO⊥平面PAC,所以∠DGO是直线DE与平面PAC所成角.因为E,F分别为PB,AC的中点,所以G是△PBD的重心.在Rt△PAD中,PA=3,所以PB=AC=2.在平行四边形ABCD中,BD=6,在△PBD中,cos∠BPD=4+1-62×2×1在△PED中,DE2=1+1-2×1×1×cos∠EPD=52,所以DE=10所以DG=23DE=103.又因为OD=所以sin∠DGO=ODDG=32030,即直线DE与平面PAC法2:(向量法)取PC中点O,则OF12PA,因为PA⊥平面PCD,所以OF⊥平面PCD.因为PC=PD=CD=1,所以△PCD为等边三角形,所以OD⊥PC,此时OD,OF,OP两两垂直,如图,建立空间直角坐标系,P(0,0,12),D(3在Rt△PAD中,PA=3,所以F(0,32,0),由FE=12DP,得E(-34,所以DE=(-343,32,14),平面PAC的法向量为OD=(32,0,0),所以DE·OD|所以sinθ=|cos<DE,OD>|=32030,即直线DE与平面PAC所成角的正弦值为17.(15分)古楼雪峰茶,产于洞口县古楼,1991年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中,在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工,其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为p,23,34,每道工序的加工都相互独立,且茶叶加工中三道工序至多有两道工序合格的概率为710.三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶,恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪峰茶,恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶(1)在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下,求杀青加工合格的概率;【解析】(1)因为三道工序至多有两道工序合格的概率为710所以三道工序都合格的概率为310即p×23×34=310,解得p记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件A,B,C,这三道工序加工中恰有两道工序合格为事件D,则P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=35×23×14+35×13×34+25P(AD)=P(ABC)+P(ABC)=35×23×14+35×13所以P(A|D)=P(AD)P(所以在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下,杀青加工合格的概率为59(2)每盒雪峰茶原材料及制作成本为20元,其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为100元,70元,50元,而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为X元,求随机变量X的分布列及数学期望.【解析】(2)由题意可知随机变量X的所有可能取值为-20,30,50,80,P(X=-20)=25×13×14=2P(X=30)=35×13×14+25×23×14+25P(X=50)=35×23×14+35×13×34+25×2P(X=80)=35×23×34=18则随机变量X的分布列为X-20305080P11393故随机变量X的数学期望E(X)=-20×130+30×1360+50×920+80×318.(17分)(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为12,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0)(1)求C的方程;【解析】(1)由题意知ca=1所以C的方程为x24+y(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;【解析】(2)设F1M0的中点为P,所以P(0,2),kF所以F1M0的垂直平分线方程为y=-12x+2y=-12x+23x2+4y2=12⇒所以x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,所以F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.【解析】(3)设M(x0,y0).情形一:当y0=0时,F1M的垂直平分线为x=x0-12,此时x0-情形二:当y0≠0时,F1M的垂直平分线为:y=-x0+1y0(x-x0-12联立,得y=-x0+1y0x+x02+y02-所以[3+4(x0+1)2y02]因为F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,所以Δ=16(x0+1)2(x02⇒3(x0⇒y04+(2x02-14)y02+x⇒y04+(2x02-14)y02+(x02+2⇒(y02+x02+2x0+1)(y02+因为x02+y02+2x0+1=所以x02+y02(5,0),(-3,0)也满足上式,所以M的轨迹为圆,方程为(x-1)2+y2=16.19.(17分)对于函数f(x),规定f'(x)=[f(x)]',f(2)(x)=[f'(x)]',…,f(n)(x)=[f(n-1)(x)]',f(n)(x)叫做函数f(x)的n阶导数.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f(2)(x0)2!(x-x0)2+…