5.1 从实际问题到方程（习题）（解析版）-华东师大版(2024)七下

5.1从实际问题到方程教学目标1.理解方程、方程的解、一元一次方程的核心概念，能准确判断式子是否为方程或一元一次方程；2.掌握检验方程解的方法，能快速验证未知数的值是否为方程的解；3.会根据简单数量关系和实际问题列出方程，体会方程的模型思想；4.能解决含参数的一元一次方程基础问题，掌握参数求解的基本思路；5.培养分析实际问题、提炼等量关系的能力，形成数学应用意识。教学重难点重点：（1）方程和一元一次方程的概念辨析；（2）检验方程解的步骤和方法；（3）根据实际问题中的等量关系列方程；（4）一元一次方程定义中参数的取值要求（如系数不为0）。难点：（1）准确找出实际问题中的等量关系（尤其是含“多、少、倍、几分之几”等关键词的问题）；（2）含参数的一元一次方程中参数的求解（结合未知数次数、系数条件）；（3）列方程时的单位统一（如速度单位km/h与时间单位分钟的转换）；（4）复杂实际问题（如分段计费、配套问题）的等量关系提炼。知识点01：方程的概念含有未知数的等式叫作方程。需同时满足两个条件：①是等式；②含有未知数（未知数可多个，如2x-3y=3）。【即学即练】1．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）下列式子是方程的是（

）A．2x+5≠0 B．2x+3y≤0【答案】D【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫作方程，进行判断即可．【详解】解：A、不是等式，不是方程；B、不是等式，不是方程；C、是代数式，不是等式，不是方程；D、是方程；故选：D．知识点02：方程的解与解方程1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；2.解方程：求方程的解的过程（与方程的解的区别：解是具体数值，解方程是过程）。【即学即练】1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）x=3是下列哪个方程的解（

A．3x-1=2 B．2x-3=-【答案】D【分析】本题考查了方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．将x=3【详解】解：A．把x=3代入方程3x-1=2，左边=3×3-1=8，右边=2，左边B．把x=3代入方程2x-3=-x，左边=2×3-3=3，右边=-3C．把x=3代入x-3=1，左边=3-3=0，右边D．把x=3代入方程x-12=4，左边=故选：D．知识点03：一元一次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的次数为1，等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程。一般形式：ax+b=0（a≠0，2x-3y=3、b为常数）。【即学即练】1．（25-26七年级上·吉林·期末）下列各项中，是一元一次方程的是（

）A．1y+y=2 B．x+2y【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握“一元一次方程需满足只含一个未知数、未知数次数为1、是整式方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义，逐一判断每个选项是否符合“只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程”的条件．【详解】解：选项A选项B：x+2y=4选项C：5x-3=x只含选项D：x2=2x故选：C．知识点04：根据实际问题列方程核心是找出等量关系，步骤为：①审（分析已知量、未知量及关系）；②设（用字母表示未知数，可直接设或间接设）；③列（用代数式表示等量关系中的量，列出方程），列方程时需保证单位统一。【即学即练】1．（25-26七年级上·山西朔州·月考）根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为（

）A．3x=4-2xC．3x+4=1【答案】C【分析】本题考查了列一元一次方程．根据题意直接列出方程，x的3倍是3x，与4的和是3x+4，等于x的一半是1【详解】解：根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为3x故选：C．知识点05：方程相关的参数问题已知方程的解求参数值、根据一元一次方程的定义求参数取值范围（如未知数系数不为0、次数为1）。【即学即练】1．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）已知x=-2是关于x的方程2ax-b【答案】2025【分析】本题考查方程的解，求代数式的值．将x=-2代入方程2ax-b+5=0【详解】解：∵x=-2是关于x的方程2∴2a∴4a∴8a故答案为：2025．题型01：判断式子是否为方程方法技巧：紧扣“等式+含未知数”双条件，排除不等式（如2x-3>1）、代数式（如5y+8）、不含未知数的等式（如【典例1】.（2022七年级上·全国·专题练习）下列叙述中，正确的是（

）A．方程是含有未知数的式子B．方程是等式C．只有含有字母x，y的等式才叫方程D．带等号和字母的式子叫方程【答案】B【分析】根据方程的概念结合选项选出正确答案即可．【详解】解：A、方程是含有未知数的等式，错误；B、方程是含有未知数的等式，故选项正确；C、并不是只有含有字母x，y的等式才叫方程，错误；D、含有未知数的等式叫作方程，错误；故选：B．【点睛】本题考查了方程的概念，掌握各知识点的定义是解答本题的关键．【变式1】.（23-24七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，是方程的是（

）A．2x-3>0 B．3+5=8 C．x【答案】D【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可．【详解】解：A、2xB、3+5=8，不含未知数，不符合题意；C、x2D、x+3=故选D．【变式2】.（25-26七年级上·陕西延安·月考）下列各式中，是方程的有．（填序号）①2-5=-3；②3x-5=-2；③y-【答案】②④【分析】本题主要考查了方程的判断，根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断．【详解】解：①2-5=-3是等式但不含未知数，不是方程；②3x-5=-2③y-④6-4a=2a所以正确的有②④．故答案为：②④．【变式3】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各式中是等式，是方程(填序号)．①5x-3=7；②5+3=8；③12x-6=x；④a+3；⑤2x+3y-z=0；⑥【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类．【详解】解：①5x-3=7②5+3=8含有等号但没有未知数，是等式但不是方程；③12x-6=④a+3⑤2x+3y-z=0含有等号和未知数⑥x+3y=5含有等号和未知数x⑦y=0含有等号和未知数y⑧x+3>6⑨y≠1⑩π≈3.14含有约等号，不是等式．等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦．故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦．题型02：判断是否为一元一次方程方法技巧：满足三条件：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③等式两边是整式，排除分式方程（如1x=5），多元方程（如3x-【典例2】.（25-26七年级上·河北邢台·月考）下列属于一元一次方程的是（）A．1+2x=0 B．x2=1 C．【答案】A【分析】本题考查一元一次方程的定义；根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程.【详解】解：A、1+2x=0含有一个未知数x，且x的次数为1，是一元一次方程，故B、x2=1，x的次数为2，不是一次方程，故C、2x-1D、x-y=1含有两个未知数x和y，不是一元方程，故故选：A.【变式1】.（25-26七年级上·黑龙江伊春·期末）下列各式中，一元一次方程是（

）A．5a+b=6 B．x=3 C【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，由此逐项判断即可．【详解】解：A、5a+bB、x=3C、1+1D、2x2+3故选：B．【变式2】.（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列属于一元一次方程的是（

）A．x+2y=0C．1x+1=0 D【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解．【详解】解：A．x+2y=0B．2xC．1xD．x2+1=2未知数的最高次数不是故选B．【变式3】.（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）下列四个方程中，属于一元一次方程的是（

）A．2x2-1=0 B．6x=0【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫作一元一次方程，据此可得答案，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【详解】解：A：方程2x2-1=0中，未知数B、方程6x=0中仅含有一个未知数x，次数为C、方程x+4=1xD、方程x-y=0含有两个未知数y故选：B．题型03：检验未知数的值是否为方程的解方法技巧：①代入：将未知数的值代入方程左右两边；②计算：分别求出两边结果；③判断：若两边相等，则是解；反之则不是。【典例3】.（25-26七年级上·湖北孝感·期末）方程x+2x=-6A．x=0 B．x=1 C．x=2 D【答案】D【分析】本题考查了方程的解，能使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解．逐一代入计算即可．【详解】解：A．x=0时0+2×0=0≠-6B．x=1时1+2×1=3≠-6C．x=2时2+2×2=6≠-6D．x=-2时-故选：D．【变式1】.（2025七年级上·北京·专题练习）检验x=2是不是方程3【答案】是【分析】本题考查了一元一次方程的解，解决本题的关键是知道方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x=2【详解】解：当x=2时，左边：=3×2-1=6-1=5，右边：2=2×2+1=4+1=5，∴左边=右边，∴x=2【变式2】.（2025七年级上·全国·专题练习）判断x=3(1)2x(2)2x(3)x2【答案】(1)是(2)是(3)不是【分析】本题考查了方程的解，解题的关键在于熟练掌握相关知识．（1）将x=3（2）将x=3（3）将x=3【详解】（1）解：当x=3时，方程2x-2=x方程左、右两边的值相等，所以x=3是方程2（2）解：当x=3时，方程2x+1=8的左边方程左、右两边的值相等，所以x=3是方程2（3）解：当x=3时，方程x2-2=x方程左、右两边的值不相等，所以x=3不是方程x【变式3】.（2025七年级上·全国·专题练习）代数式ax+b的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程ax=8-x---01ax--048【答案】x【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程ax=8-b转化为ax+b=8【详解】解：由方程ax=8-b可得观察表格，当x=1时，ax故方程的解为：x=1故答案为：x=1题型04：根据一元一次方程的定义求参数值/范围方法技巧：①未知数次数为1（如|m|-②未知数系数不为0（如m-③联立求解，注意排除使系数为0的参数值。【典例4】.（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）若方程(k-3)x|k【答案】1【分析】本题考查了一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的概念是解决本题的关键．根据一元一次方程的概念，即“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫作一元一次方程”，由此列式计算即可．【详解】解：∵方程(k-3)∴k-2=1解得k1=3，又∵k1=3时，x的系数为∴k=1故答案为：1．【变式1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若方程m-3x=1是关于x的一元一次方程，则（2）已知xk-1+3=0是关于x【答案】m≠3【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解决问题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义.（1）根据一次项系数不等于0即可得到m的值.（2）根据未知数的次数等于1即可解决.【详解】解：（1）由题意可得：m故答案为：m（2）由题意可得：k故答案为：2.【变式2】.（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知m-2x(1)求m的值；(2)若方程m-2xm-2+12=0【答案】(1)m=-3或(2)n=-13【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据m-2xm-2+12=0是关于x（2）分两种情况，先求得m-2xm-2+12=0【详解】（1）解：∵m-2x∴m-2=1，解得m=-3或m=3且∴m=-3或m（2）解：当m=-3∴m-2x解得x=∵一元一次方程n2x+1∴n2x+1∴n2×解得n=-当m=3∴m-2x解得x=-12∵一元一次方程n2x+1∴n2x+1∴2×12+1n解得n=综上所述，n=-1319【变式3】.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知方程m-1xm+2=0【答案】-【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程”，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义可得m=1，且m【详解】解：∵方程m-∴m=1，且m∴m=-1故答案为：-1题型05：根据简单数量关系列方程方法技巧：抓住关键词（和、差、积、商、倍、几分之几），将文字语言转化为代数式，再根据等量关系列等式（如“x的3倍比y的13大7”转化为3x【典例5】.（24-25六年级上·上海·月考）列方程：x的相反数与6的倒数的和为3【答案】-【分析】本题考查了倒数与相反数的概念.此类题关键是抓住倒数和相反数的概念，根据题意，x的相反数是-x，6的倒数是16，它们的和为3【详解】解：根据题意得：-故答案为：-x【变式1】.（25-26七年级上·河南许昌·月考）某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为．【答案】150-【分析】本题主要考查列一元一次方程，主要根据题意中的关系，列出部分关系是解题的关键．首先根据题意利用总人数列出女生人数为x-150人，再利用男生人数比女生人数多【详解】解：由题意得：女生人数为x-∵男生人数比女生人数多20人，∴150-x故答案为：150-x【变式2】.（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【列方程】幼儿园的老师给小朋友们发小红花，若每位小朋友5朵，就多出12朵；若每位小朋友7朵，就少14朵．设共有小红花x朵，那么可列方程：．【答案】x【分析】本题考查一元一次方程的应用，设共有小红花x朵，根据“每位小朋友5朵，就多出12朵；若每位小朋友7朵，就少14朵”列方程即可．【详解】解：设共有小红花x朵，列方程为x-故答案为：x-【变式3】.（24-25七年级上·广东深圳·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有．①设有x个人，则可列方程：7x-4=9x+8；②③设有y两银子，则可列方程：y+47=y-8【答案】②④/④②【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设有x个人，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有银子7x+4两；根据“若每人分9两，则差8两”可得，共有银子9x-8两；设有y两银子，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有y-47人；根据“若每人分9两，则差8【详解】解：设有x个人，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有银子7x根据“若每人分9两，则差8两”可得，共有银子9x∴可列方程：7x+4=9x-8设有y两银子，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有y-47根据“若每人分9两，则差8两”可得，共有y+89人∴可列方程：y-47=y故答案为：②④题型06：已知方程的解求参数的值方法技巧：①代入：将方程的解代入原方程；②化简：得到关于参数的一元一次方程；③求解：解参数方程，得出参数值。【典例6】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如果关于x的方程ax+b=0的解x=3，则代数式【答案】2026【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值．根据一元一次方程的解的定义，将x=3代入方程得到3a+b=0【详解】解：∵关于x的方程ax+b=0∴3a∴2026-6a故答案为：2026．【变式1】.（25-26七年级上·山东菏泽·月考）若x=3是关于x的方程ax-b=3的解，则【答案】2020【分析】本题考查方程的解的意义以及整体代入法求代数式的值，灵活运用方程的解是解题的关键．将x=3代入方程ax-b=3中，得到关于【详解】解：∵x=3是方程ax∴3a∵2026-6a代入3a得2026-23故答案为：2020．【变式2】.（25-26七年级上·江苏·月考）若x=3是方程a-bx=4的解，则【答案】13【分析】将x=3代入方程得a-3b的值，再将-6本题主要考查了一元一次方程的解，把解代入方程中得到代数式是解题的关键．【详解】解：∵x=3是方程a∴a-∵-6∴2a故答案为：13．【变式3】.（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若x=3是方程a-bx=2的解，则【答案】2026【分析】本题考查一元一次方程的解的概念和代数式求值．将x=3代入原方程，可推出a【详解】解：∵x=3是方程a∴a-∴2a故答案为：2026．一、单选题1．已知x=3是关于x的方程2x+m=5A．-2 B．-1 C．1 D【答案】B【分析】本题考查方程解的概念及解一元一次方程．关键在于理解“解”的含义，即将解代入原方程可使等式成立，从而建立关于未知参数的方程并求解．题目给出x=3是方程2x+m=5的解，说明将x=3代入方程后等式成立．可以通过将【详解】解：∵x=3是方程∴2×3+m6+mm=-1故选B2．下列式子：①x+y=1；②x-1=0；③8-6=2；④2x-1；⑤xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题主要考查了方程的定义，掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键．根据方程的定义逐项判断即可．【详解】解：①x+y=1，含有未知数x②x-1=0含有未知数③8-6=2没有未知数，不是方程；④2x⑤x2=4含有未知数⑥1x=5含有未知数综上，是方程的有①、②、⑤、⑥，共4个．故选：D．3．某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（

）A．2x-3x=1 B．3x【答案】D【分析】该题考查了列方程，根据题意“某数的3倍比它的2倍多1”，直接转化为方程3x【详解】解：设某数为x，∵某数的3倍比它的2倍多1，∴3x比2x多∴3x故选：D．4．整式mx-2n（m,n为常数）的值随x的取值的不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于xx--012mx840--A．x=2 B．x=-1 C．x=0【答案】D【分析】本题考查了方程的解．方程mx-2n=8的解即求使整式mx-【详解】解：由表格知，当x=-2时，mx则方程mx-2n故选：D．5．下列方程属于一元一次方程的是（

）A．2x=3 B．x+y=2 C【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程”是解题的关键．据此求解即可．【详解】解：A、2x=3，只有一个未知数x，且次数为1，B、x+C、x2+xD、xy=-2，有两个未知数，且次数为2故选：A．二、填空题6．已知x=-1是关于x的一元一次方程-3x+m【答案】-【分析】本题考查了方程解的定义，根据一元一次方程的解的定义，将x=-1代入方程求解m【详解】解：∵x=-1是关于x的一元一次方程-∴-3×-1∴m=-3故答案为：-37．实数m是关于x的方程3x-n=2的解，若a=【答案】2【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，掌握整体代入是解题关键．由方程的解可得3m-n【详解】解：∵实数m是关于x的方程3x∴3m∵a=m-∴a====2故答案为：238．若2xa-1-9=1【答案】2【分析】本题主要考查一元一次方程的定义．解题的关键在于准确理解一元一次方程中未知数次数为1这一关键条件，将其应用到给定的方程2xa-【详解】∵2xa-∴a-解得a=2故答案为2．9．用一根长36米的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的3倍，长方形的宽是多少米？设长方形的宽为x米，则可列方程为．【答案】2【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，先表示出长方形的长，再根据长方形周长公式列方程即可．【详解】解：设长方形的宽为x米，则长方形的长为3x由题意得，2x故答案为：2x10．若x=1是关于x的方程kx+2=3x的解，则k【答案】1【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，将x=1代入方程kx+2=3x