教考衔接5平面向量的垂直、平行问题

教考衔接5平面向量的垂直、平行问题 教材典题·慧聚题号源自教材题源(1)人教A版必修第二册P31·例7题源(2)人教A版必修第二册P36·第9题题源(3)人教A版必修第二册P16·例8题源(1)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.【解析】因为a∥b,所以4y-2×6=0,解得y=3.题源(2)已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标.【解析】设a的坐标为(x,y),因为|a|=3,所以x2+y2=3,即x2+y2=9,因为a∥b,所以2x-y解得x=355y=655或x=-355y=-题源(3)已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,12a-32b共线,求实数t【解析】由a,b不共线,易知向量12a-32b为非零向量.由向量b-ta,12a-32b共线,可知存在实数λ,使得b-ta=λ(12a-32b),即(t+12λ)a=(32λ+1)b.由a,b不共线,必有t+12λ=32λ+1=0,否则,不妨设t+12λ≠0,则a=32λ教材典题·慧聚题号源自教材题源(4)人教A版必修第二册P36·第10题题源(5)人教A版必修第二册P60·第8题题源(6)人教A版必修第二册P21·例13题源(4)已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.【解析】设与a垂直的单位向量为e=(x,y).则x2+y2=1,4x+2y=0,解得x=55y=-255题源(5)已知向量a=(1,0),b=(1,1),当λ为何值时,a+λb与a垂直?【解析】因为a=(1,0),b=(1,1),所以a+λb=(1+λ,λ),因为a+λb与a垂直,所以(a+λb)·a=0,所以(1+λ,λ)·(1,0)=0,即1+λ=0,所以λ=-1.题源(6)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直?【解析】a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.因为a2=32=9,b2=42=16,所以9-16k2=0.解得k=±34也就是说,当k=±34时,a+kb与a-kb互相垂直创新拓宽·变式[变式4]若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为 ()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】选C.根据题意,设a与b的夹角为θ,因为(2a+3b)⊥b,所以(2a+3b)·b=0,即2a·b+3|b|2=0,解得t=13.因此,当向量b-ta,12a-32b共线时,t创新拓宽·变式[变式1]已知向量a=(2,3),b=(2,sinα-3),c=(2,cosα),若(a+b)∥c,则tanα的值为()A.2 B.-2 C.12 D.-【解析】选A.因为a=(2,3),b=(2,sinα-3),所以a+b=(4,sinα),又c=(2,cosα)且(a+b)∥c,所以4cosα=2sinα,则tanα=sinαcos[变式2]向量a=(1,3),b=(3x-1,x+1),c=(5,7),若(a+b)∥(a+c),且c=ma+nb,则m+n的值为()A.2 B.25 C.3 D.【解析】选C.由题意得a+b=(3x,x+4),a+c=(6,10),因为(a+b)∥(a+c),所以30x=6x+24,解得x=1,所以b=(2,2).则c=ma+nb=(m+2n,3m+2n)=(5,7),即m+2n=5,3m+2n[变式3]已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= ()A.23 B.13 C.12 【解析】选C.因为a=(1,2),b=(2,-2),所以2a+b=(4,2).又c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ=2,解得λ=12即2|a||b|cosθ+3|b|2=0,又|a|=3|b|,结合已知条件可知cosθ=-12,又θ∈[0,π],故θ=2π[变式5]已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=________.

【解析】c=(3,1)+(k,0)=(3+k,1),a·c=3(3+k)+1×1=10+3k=0,得k=-103答案:-10[变式6](新设问)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),c=(m,n)满足(a+2b)⊥c,请写出一个符合题意的向量c的坐标________.

【解析】根据题意,a+2b=(-3,4),且(a+2b)⊥c,则(a+2b)·c=-3m+4n=0,即m=43n.当n=3时,m=4,则c=(4,3)答案:(4,3)(答案不唯一)高考真题·链接1.(一题多法)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选D.法一(向量法+坐标法):因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2.法二(坐标法):因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2.2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ()A.12 B.22 C.32 【解析】选B.由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0.所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方,得a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4,解得|b|2=12,所以|b|=23.(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】选D.转化法:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.4.(一题