教考衔接3曲线的切线问题

教考衔接3曲线的切线问题 【高考考情】与曲线切线方程有关的问题,是高考的常考内容之一,题目多源自于教材例题或习题,既可以单独命题,也可以综合其他知识命题,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.教材典题·慧聚题号源自教材题源(1)人教A版选择性必修第二册P81第4题题源(2)人教A版选择性必修第二册P81第5题题源(3)人教A版选择性必修第二册P81第7题题源(1)函数y=xlnx在点(1,0)处的切线方程为________.

【解析】y'=lnx+1,所以k=y'|x=1=ln1+1=1,则函数y=xlnx在点(1,0)处的切线方程为y-0=1×(x-1),即x-y-1=0.答案:x-y-1=0题源(2)曲线y=sinxx在点M(π,0)处的切线方程为【解析】因为y'=xcosx-sinxx2,所以切线方程的斜率k=y'y=-xπ+1,即x+πy-π=0答案:x+πy-π=0题源(3)设函数f(x)=1-ex的图象与x轴相交于点P,则该曲线在点P处的切线方程为________.

【解析】令1-ex=0,解得x=0,所以函数f(x)=1-ex的图象与x轴相交于点P(0,0).由f'(x)=-ex,知f'(0)=-1.所以曲线在点P(0,0)的切线方程为x+y=0.答案:x+y=0[选题说明]求解切点处的切线方程,体现基础性.通过对原函数的导函数和切点处的导数的求解考查学生的运算求解能力.对于本组题,可通过变换条件、变换设问等构建出新颖的高考试题.创新拓宽·变式[变式1]过坐标原点作曲线y=ex-2+1的切线,则切线方程为________.

【解析】由函数y=ex-2+1,可得y'=ex-2,设切点坐标为(t,et-2+1),可得切线方程为y-(et-2+1)=et-2(x-t),把原点(0,0)代入方程,可得0-(et-2+1)=et-2(0-t),即(t-1)et-2=1,解得t=2,所以切线方程为y-(e0+1)=e0(x-2),即x-y=0.答案:x-y=0[变式2]已知函数f(x)=1-ex,若函数的图象在点P处的切线方程为y=-ex-2e,则切点P的坐标为________.

【解析】设切点P的坐标为(x0,y0),f'(x)=-ex,由题意知,f'(x0)=-ex0=-e,解得x0=1,此时y0=1-e,故所求切点P的坐标为答案:(1,1-e)[变式3]已知直线l是曲线y=ex-1与y=lnx+1的公共切线,则l的方程为________.

【解析】直线l与曲线y=ex-1相切,设切点为(a,ea-1),y'=ex,切线的斜率为ea,切线方程为y-ea+1=ea(x-a),即y=eax-aea+ea-1.又直线l与y=lnx+1相切,设切点为(b,lnb+1),y'=1x,切线的斜率为1b,切线方程为y-lnb-1=1b(x-b),即y=1bx+lnb.因为直线l是曲线y=ex-1与y=ln所以1解得a=1,b=所以l的方程为y=ex-1或y=x.答案:y=ex-1或y=x教材典题·慧聚题号源自教材题源(4)人教A版选择性必修第二册P82·第11题题源(5)人教A版选择性必修第二册P104·第13题题源(4)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a的值为________.

【解析】曲线y=e2ax,所以y'=2a·e2ax,所以在点(0,1)处的切线斜率为k=2ae0=2a,又因为切线与直线2x-y+1=0垂直,所以2a×2=-1,所以a=-14答案:-1题源(5)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点,则a的值为________.

【解析】y=x+lnx的导数为y'=1+1x,曲线y=x+lnx在x=1k=1+11=2,所以曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y-1=2x-2,即y=2x-1由题意知,直线y=2x-1与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点,则关于x的方程ax2+(2a+3)x+1=2x-1,即ax2+(2a+1)x+2=0有且只有一解.当a=0时,上式可变为x+2=0,解得x=-2,有且只有一解,符合题意.当a≠0时,令Δ=(2a+1)2-8a=0,即4a2-4a+1=0,解得a=12综上a=0或a=12答案:0或1[选题说明]本题组为与切线有关的参数问题,利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.可通过变换条件、变换设问等构建出新颖的高考试题.创新拓宽·变式[变式4]已知函数f(x)=x(x+2)-mlnx的图象在点(12,f(12))处的切线与直线x+2y=0垂直,则m的值为【解析】由题知f'(x)=2x+2-mx,因为函数f(x)的图象在点(12,f(12))处的切线与直线x+2y=0垂直,所以f'(12)=2,即3-2m=2,解得答案:1[变式5]已知过点A(a,0)作曲线y=(1-x)ex的切线有且仅有1条,则a=________.

【解析】过A(a,0)作切线(图略),设切点为P(x0,y0),y'=-ex+(1-x)ex=-xex,kPA=-x0ex0,所以(1-x0)ex0x0-a=-x0ex0,整理得x02-(a+1)x答案:1或-3[变式6]已知函数f(x)=x2-2,g(x)=3lnx-ax,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点处的切线相同,则实数a=________.

【解析】设函数f(x)=x2-2与g(x)=3lnx-ax的公共点为(x0,y0),则f即x02-2=3lnx0-令h(x)=3lnx+x2-1,易得h(x)在(0,+∞)上单调递增,由3lnx0+x02-1=0,解得x0=1,所以公共点为(1,-1),所以-1=3ln1-a,解得a答案:1高考真题·链接1.(2023·全国甲卷)曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为A.y=e4x B.y=e2x C.y=e4x+e4 D.y=【解析】选C.由题意可知y'=ex(x+1)-ex·1(x+1)2=xex(x+1)2,则曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线斜率k=y'|x=1=e4,所以曲线y=2.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线y=f(xA.16 B.13 C.12 【解析】选A.f'(x)=(ex+2cosx)(1+x2)-(ex+2sinx)·2x(1+x2)2,所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点3.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________.

【解析】因为y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,设切点坐标为(x0,(x0+a)ex0),切线斜率k=(x0+1+a)ex0,切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0·(x-x0),因为切线过原点,所以-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0·(-x0),整理得x02+ax0-a=0.因为切线有两条,所以Δ=a2+4a答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)4.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=________.

【解析】由题,令f(x)=ex+x,则f