第五章第29节平面向量的数量积

第29节平面向量的数量积考试要求考题分析1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能用坐标表示平面向量的数量积.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年-T42023年T3T132024年T3T3【主干梳理基础落实】【知识梳理】1.向量的夹角(1)定义条件两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作=a,=b结论∠AOB叫做向量a与b的夹角(2)范围设∠AOB是a与b的夹角,则∠AOB的取值范围是0≤∠AOB≤π.(3)特例①当θ=0时,a与b同向;②当θ=π时,a与b反向.③如果a与b的夹角是π2,我们说a与b垂直,记作a⊥b[注意点](1)a与b的夹角可记作<a,b>;(2)确定两个非零向量a和b的夹角,必须将两个向量平移至同一起点.2.平面向量的数量积条件两个非零向量a与b的夹角为θ结论数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)记法记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为03.投影向量条件设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,=a,=b作图过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到结论我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cosθe4.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)[注意点](1)数量积不满足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;(2)数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).5.平面向量数量积的坐标运算已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|=a|a|=x夹角cosθ=acosθ=xa⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立|x1x2+y1y2|≤x【常用结论】1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2;(3)a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]2.有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.3.向量a在向量b上的投影向量为a·b|【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号2,3141.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(√)(2)在锐角△ABC中,向量与向量的夹角为∠ABC. (×)(3)·+·=·. (√)(4)若向量a,b满足a·b=0,则a=0或b=0. (×)2.(必修第二册P18例10变式)已知|a|=3,|b|=23,a·b=-3,则a与b的夹角为___________.

【解析】设a与b的夹角为θ,因为|a|=3,|b|=23,a·b=-3,所以cosθ=a·b|a||b|=-33×23=-12,因为0°≤答案:120°3.(必修第二册P23T11变式)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为π3,则|a+b|=________【解析】因为|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为π3,所以|a+b|==a2+2a·b答案:74.已知向量a=(0,4),b=(-3,-3),则a在b上的投影向量的坐标是___________.

【解析】a在b上的投影向量为a·b|b|2·b=-答案:(2,2)【考点探究核心突破】考点一平面向量的数量积的运算【例1】(1)(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)= ()A.2 B.1C.0 D.-1【解析】选B.a·(a-b)=(0,1)×(-1,1)=1.(2)(2025·昆明模拟)莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用广泛.如图所示,分别以正△ABC的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形,已知正△ABC的边长为1,点P为AB的中点,则·(+)的值为 ()A.1 B.2-3 C.12 D.【解析】选B.根据题意,以C为坐标原点,BC所在的直线为x轴,过点C且垂直于BC的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,因为正△ABC的边长为1,且点P为AB的中点,所以∠PCB=30°,点P在以C为圆心,BC为半径的圆上,则C(0,0),B(-1,0),A(-12,32),P(-32,所以=(32,-12),=(32-12,32-12),=(32-1,-12),则+=(3-32,所以·(+)=32×(3-32)-12×(32-1)=2-3【思维升华】求两个向量的数量积的三种方法【对点训练】1.已知向量a与向量m=(4,6)平行,b=(-5,1),且a·b=14,则a= ()A.(4,6) B.(-4,-6)C.(21313,31313) D.(-【解析】选B.因为向量a与向量m=(4,6)平行,可设a=(k,32k).由a·b=14可得-5k+32k=14,解得k=-4,所以a2.(一题多法)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4.若·=2·,则·=___________.

【解析】法一:(几何法)因为·=2·,所以·-·=·,所以·=·.因为AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4,所以2||=||||cosπ4,化简得||=22.故·=·(+)=||2+·=(22)2+22×2cosπ4=12.法二:(坐标法)如图,建立平面直角坐标系xAy.依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m>0,n>0,则由·=2·,得(n,0)·(m+2,m)=2(n,0)·(m,m),所以n(m+2)=2nm,化简得m=2.故·=(m,m)·(m+2,m)=2m2+2m=12.答案:12【加练备选】1.若平面向量|a|=|b|=|c|=λ,且满足a·b=0,a·c=2,b·c=1,则λ=___________.

【解析】由题意,有a·b=0,则a⊥b,设<a,c>=θ,a·c则②①得,tanθ=12,由同角三角函数的基本关系得cosθ=255,则a·c=|a||cλ·λ·255=2,λ2=5,则λ=答案:42.(一题多法)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB,AD向外分别作正方形ABEF,ADMN,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则·=___________.

【解析】法一:·=(+)·(+)=·+·+·+·=0+||·||cos3π4+||||cosπ4+0=-2+2=0.法二:建立平面直角坐标系,如图,则A(0,2),C(2+22,2+22),N(-22,2+22),则=(2+22,22),=(-22,2+22),则·=-2-12+答案:0考点二平面向量数量积的应用角度1求平面向量的模【例2】(1)(2024·石家庄模拟)已知向量a=(m,4),b=(1,m),若a与b反向共线,则|a-2b|的值为()A.0 B.13 C.45 D.56【解析】选C.根据题意可得m2=4,解得m=2或-2.当m=2时,a与b共线同向,故舍去;当m=-2时,a=(-2,4),b=(1,-2),符合题意,所以a-2b=(-4,8),|a-2b|=(-4)2(2)如图,在△ABC中,AB=4,AC=22,∠BAC=135°,D为边BC的中点,且=,则向量的模为 ()A.262 B.C.262或52 D.26【解析】选B.因为AB=4,AC=22,∠BAC=135°,所以·=-8,因为=-=12-=14(+)-=-34+14,所以||===522.【对点训练】(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=___________.

【解析】因为|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,所以a2=2a·b,所以b2=3,所以|b|=3.答案:3角度2求平面向量的夹角【例3】金榜原创·易错对对碰(1)设a=(-3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角,则实数m的取值范围是_________________.

(2)设a=(-3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是________.

【解析】(1)由a与b的夹角是钝角,则a·b=(-3,m)·(4,3)=-12+3m<0,且a与b的夹角不等于180°,解不等式得m<4,当a与b平行时,-9=4m,解得m=-94易知此时a与b方向相反,夹角为180°,所以实数m的取值范围是m<4且m≠-94答案:(-∞,-94)∪(-94(2)由a与b的夹角是锐角,则a·b=(-3,m)·(4,3)=-12+3m>0,且a与b的夹角不等于0°,解不等式得m>4,所以实数m的取值范围是m>4.答案:(4,+∞)【对点训练】(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=()A.-45 B.-C.25 D.【解析】选D.因为向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,所以-c=a+b,所以c2=a2+b2+2a·b,即2=1+1+2×1×1×cos<a,b>,解得cos<a,b>=0,所以a⊥b.又a-c=2a+b,b-c=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+2b2+5a·b=2+2+0=4,|a-c|=4a2+4a·|b-c|=a2+4a·b+4b2=1+0+4=5,所以cos<a-c,b-角度3平面向量的垂直问题【例4】(1)(一题多法)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是 ()A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b【解析】选D.法一:由题意,得a·b=|a||b|cos60°=12.对于A,(a+2b)·b=a·b+2b=12+2=52≠0,故A不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=1+1=2≠0,故B不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=12-2=-32≠0,故C不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·=1-1=0,所以(2a-b)⊥b.法二:不妨设a=(12,32),b=(1,0),则a+2b=(52,32),2a+b=(2,3),a-2b=(-32a-b=(0,3),易知,只有(2a-b)·b=0,即(2a-b)⊥b.法三:根据条件,分别作出向量b与A,B,C,D四个选项对应的向量的位置关系,如图所示,由图易知,只有D符合题意.(2)(2025·成都模拟)已知|a|=4,b=(-1,0),且(a+2b)⊥b,则a与b的夹角为 ()A.2π3 B.π3 C.π4 【解析】选A.由b=(-1,0),得b=1,因为(a+2b)⊥b,所以(a+2b)·b=0,所以a·b+2b2=0,所以abcos<a,b>+2b2=0,因为a=4,所以4cos<a,b>+2=0,所以cos<a,b>=-12,因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b【思维升华】平面向量垂直问题的解法(1)坐标法:a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0.(2)向量法:把a,b用已知(模与夹角)的基底向量表示,进行运算证明a·b=0.【对点训练】已知向量a,b满足a=1,b=2,a+2b=13,且(a+λb)⊥b,则λ= (A.-14B.14C.1D【解析】选B.因为(a+λb)⊥b,所以(a+λb)·b=0,即λb2+a·b=0,则λ=-a·bb2,又因为a=1,b=2,将a+2b=13两边平方得1+4a·b+4×4=13,从而a·b【加练备选】1.已知向量a,b,c满足a+b与c互为相反向量,a=2,c=1,a·c=1,则b= ()A.2 B.7 C.2 D.7【解析】选D.由a+b与c互为相反向量,得c=-(a+b),两边平方得,c2=a2+b2+2a·b=1,即b2+2a又由a·c=1,在c=-(a+b)两边同时点乘向量a,得a·c=-a2-a·b=1,即a·b=-5,联立①②,解得b2=7,所以b=72.(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 ()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】选D.由题意得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.3.已知向量a与a+b的夹角为60°,且a=8,b=7,则a与b夹角的余弦值为___________.

【解析】设向量a与b的夹角为θ,由a=8,b=7,可得a·(a+b)=a2+a·b=64+8×7cosθ=64+56cosθ,且a+b=a2113+112cosθ又因为向量a与a+b的夹角为60°,可得c