湖南省衡阳市重点中学2026届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

湖南省衡阳市重点中学2026届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．直线的倾斜角大小为（）A. B.C. D.3．已知数列满足，其前项和为，，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为（）A.10 B.11C.12 D.134．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（）A.B.C.或D.或5．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（）A B.C. D.6．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.8．某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，49．当实数，m变化时，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.610．平行直线：与：之间的距离等于（）A. B.C. D.11．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.12．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.14．已知定点，点在直线上运动，则，两点的最短距离为________15．已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________.16．总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.选取方法是从下面随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为____________.660657471734072750173625236116651189183311199219700581020578645323456476三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知各项均为正数的等差数列满足，且，，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）某校高三年级进行了一次数学测试，全年级学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若（1）求a，b的值；（2）若成绩落在区间内的人数为36人，请估计该校高三学生的人数20．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面，点F在线段上运动.（1）若平面，请确定点F的位置并说明理由；（2）若点F满足，求平面与平面的夹角的余弦值.21．（12分）已知，以点为圆心圆被轴截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.22．（10分）如图，在直三棱柱中，，E、F分别是、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限【详解】复数在复平面内对应的点为则复数在复平面内对应的点位于第四象限故选：D2、B【解析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】由直线可得，所以，设倾斜角为，则因为所以故选：B3、A【解析】根据题意和对数的运算公式可证得为以2为首项，2为公比的等比数列，求出，进而得到，利用裂项相消法求得，再解不等式即可.【详解】由，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，则，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值为10.故选：A4、A【解析】根据米勒问题的结论，点应该为过点、的圆与轴的切点，设圆心的坐标为，写出圆的方程，并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.【详解】解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程得，解得或（舍去），因此，点的横坐标为，故选：A.5、B【解析】根据空间向量的加减运算推出，进而得出结果.【详解】因为，所以，故选：B6、B【解析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是故选：B【点睛】三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式为；（2）点到直线的距离公式：点到直线的距离;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线与间的距离.7、A【解析】求出函数的导数，利用导数的定义求解，然后求解切线的斜率即可【详解】解：函数，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲线在点处的切线方程为故选：A8、C【解析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.故选：C.9、D【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，设，因直线，即表示恒过定点，根据圆的性质可得.故选：D.10、B【解析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.【详解】，则：，即，距离为.故选：B.11、B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B12、C【解析】由空间向量共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算.【详解】因为，由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，所以的最小值为点到平面的距离，由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形，则，，由等体积法得，，所以，所以的最小值为.故选：C【点睛】共面定理的应用：设是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在唯一的有序实数组使得，说明：若，则四点共面.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知∴∴.故答案为：14、【解析】线段最短，就是说的距离最小，此时直线和直线垂直，可先求的斜率，再求直线的方程，然后与直线联立求交点即可【详解】定点，点在直线上运动，当线段最短时，就是直线和直线垂直，的方程为：，它与联立解得，所以的坐标是，所以，故答案为：15、【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解.【详解】构造函数，则，故函数在上单调递减，由已知可得，由可得，可得.故答案为：.16、23【解析】根据随机表，由编号规则及读表位置列举出前5个符合要求的编号，即可得答案.【详解】由题设，依次得到的数字为57，47，17，34，07，27，50，17，36，25，23，……根据编号规则符合要求的依次为17，07，27，25，23，……所以第5个个体编号为23.故答案为：23.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，；（2）.【解析】（1）由等差中项的性质可求出，又，，构成等比数列，设出公差，代入可求出，从而求出数列的通项公式，代入可求出，的值，从而求出数列的通项公式；（2）将通项公式代入，运用裂项相消的方法可求出前项和.【详解】解析：（1）因为等差数列中，，所以，设数列公差为，因为，，构成等比数列，则，即，解得或(舍)即，又等比数列中，，所以，；（2）∵，∴，∴【点睛】易错点睛：（1）裂项相消时一定要注意分母的差，一般情况下分母的差是几，则要在裂项前面乘以几分之一；（2）裂项相消时要注意保留的项数.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据，，，，易证，再根据平面平面，，得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可；（2）根据（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，设二面角的大小为，由求解.【小问1详解】解：因为，，，所以，，又，所以是等腰直角三角形，即，所以.由平面几何知识易知，所以，即.又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.又，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，F（1，0，0），则，，设平面的一个法向量为，由，得，取，则.由，，，得平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.19、（1）（2）人【解析】（1）由频率分布直方图的性质求得，结合，即可求得的值；（2）由频率分布直方图求得落在区间内的概率，进而求得该校高三年级的人数【小问1详解】解：由频率分布直方图的性质，可得：，可得，又由，可得解得；【小问2详解】解：由频率分布直方图可得，成绩落在区间内的概率为，则该校高三年级的人数为（人）20、（1）F为BD的中点，证明见解析；（2）.【解析】（1）由为的中点，取的中点，连接易证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据题意可得平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角为，由求解.【小问1详解】为的中点.如图：取的中点，连接∵，分别为，的中点，∴且∵且∴平行且等于∴四边形为平行四边形，则∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小问2详解】由题意知，平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰三角形，易求，则，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，解得设平面的一个法向量为，则，即，解得设二面角为，则，因为二面角为锐角，所以余弦值为.21、（1）（2）或【解析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为的直线满足题意，斜率存在时，利用直线与圆相切，即到直线的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：解得：则圆的方程为：【小问2详解】当直线的斜率不存在时，则有：故此时直线与圆相切，满足题意当直线的斜率