山东省泰安市2026届高三一轮检测数学试题（试卷+解析）

山东省泰安市2026届高三一轮检测数学试题2026.02注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.162.与复数相等的复数是（）A. B.C. D.3.已知向量不共线，且，则实数（）A.3 B. C. D.4.已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）A B. C. D.5.函数的零点所在的大致区间为（）A. B. C. D.6.在一个不透明盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（）A. B. C. D.7.如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.8.已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项正确的是（）A.对A，B，C三类个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从类个体中抽取了9个，则样本容量为30B.若随机变量，则C.恒成立D.一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6第80百分位数为4.510.已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（）A.球的表面积为B.动点轨迹长度为C.异面直线与所成角的正切值的取值范围是D.三棱锥的外接球球心为，则11.已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中所有项的系数和为__________．13.按如图所示的规则练习数数，数到2026时是第__________次数到食指.14.已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.16.某科技公司研发了一款用于医疗影像辅助诊断的AI算法，为了测试该算法的准确性，工程师准备了一组包含25张正常样本和75张异常样本的100张医学影像，算法对每张影像进行独立识别与判断，根据初步测试，算法的判断准确率如下：当影像为正常样本时，算法判断为“正常”的概率为，当影像为异常样本时，算法判断为“异常”的概率为.（1）从这100张影像中随机抽取2张，求2张均为正常样本的概率；（2）现从100张影像中随机抽取3次，每次抽取1张影像进行测试，每次抽取并测试后放回，用随机变量表示这3次测试中算法正确判断的次数，求随机变量的分布列及其数学期望.17.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且.（1）求证：；（2）若，求.18.已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为.（1）求的标准方程；（2）若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为.（i）求的最小值；（ii）求的值.19.已知函数.（1）曲线在处的切线为，当点到直线的距离最大时，求的值；（2）若对任意恒成立.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.山东省泰安市2026届高三一轮检测数学试题2026.02注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解.【详解】由，可得，所以，所以的子集个数为，故选：B2.与复数相等的复数是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法法则计算出，结合特殊角的三角函数值得到答案.【详解】CD选项，，故CD错误；A选项，，A错误；B选项，，B正确；故选：B3.已知向量不共线，且，则实数（）A3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线定理列式求解即得.【详解】由可知，存在，使得，因不共线，则有，解得.故选：D.4.已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出圆锥底面半径，再根据体积公式计算.【详解】设圆锥底面半径为，则由题意可得，，则，则该圆锥的体积为.故选：A5.函数的零点所在的大致区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间.【详解】因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内.故选：C6.在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别求得事件和事件的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法，其中事件，有9种取法，概率为，事件，有3种取法，概率为，所以故选：C.7.如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象与圆的公共信息，分别求出圆的半径、函数中的参数的值，再逐一判断选项.【详解】由点在圆上，所以，解得.因为当时，，即，因为，取，则，所以.将代入圆的方程，得，解得或，结合图象知，即，将代入，得，所以，即，因为，由图象可知，即，所以取，得.所以，将代入，得，所以.因此，A，B，C选项错误，D选项正确.故选：D8.已知方程四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方程转化为或，所以根据题意有，化简可得解.【详解】设方程的四个实根，，，，可得方程，即或，如图，所以，因为，，，成等差数列，所以，即，可得，即.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项正确的是（）A.对A，B，C三类个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从类个体中抽取了9个，则样本容量为30B.若随机变量，则C.恒成立D.一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5【答案】BD【解析】【分析】A选项，根据类个体中抽取的个数和比例得到样本容量；B选项，由正态分布的对称性可得B正确；C选项，举出反例可得C错误；D选项，利用百分位数的计算公式得到D正确.【详解】A选项，从类个体中抽取了9个，则样本容量为,A错误；B选项，由正态分布的对称性可知，B正确；C选项，当时，，C错误；D选项，，故从小到大，选取第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数，故1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为，D正确.故选：BD10.已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（）A.球的表面积为B.动点的轨迹长度为C.异面直线与所成角的正切值的取值范围是D.三棱锥的外接球球心为，则【答案】ABD【解析】【分析】利用长方体的性质结合球的表面积公式判断A，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示并结合题意得到轨迹方程，进而求解轨迹长度判断B，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系判断C，利用球的方程求出的坐标，进而得到的长度判断D即可.【详解】对于A，设长方体的外接球半径为，由长方体性质得，由球的表面积公式得球的表面积为，故A正确，对于B，如图，在长方体中，以为原点建立空间直角坐标系，连接，由题意得，，，，，因为点为的中点，所以，则，，设面的法向量为，可得，令，解得，故，因为为底面（含边界）内一个动点，所以设，则，因为平面，所以，得到，化简得，当时，，不符合题意，当，时，符合题意，则的轨迹是点与点之间的线段，由两点间距离公式得轨迹长度为，故B正确，对于C，因为，所以，此时变为，由题意得，，则，，设异面直线与所成角为，可得，由同角三角函数的基本关系得，则，令，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，而，，，可得，即，故C错误，对于D，由题意得是的中点，则由中点坐标公式得，且，，，，设，半径为，则外接球的方程为，将代入方程，得到，将代入方程，得到，两式相减可得，解得，将代入方程，可得，此时变为，两式相减得，解得，将代入方程，可得，此时变为，两式相减可得，解得，则，由两点间距离公式得，故D正确.故选：ABD11.已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A选项，，得到方程，求出，A正确；B选项，根据时，，得到为公差为1的等差数列，首项为，得到；C选项，分和两种情况，得到；D选项，分和两种情况，得到.【详解】A选项，中，得，即，解得，A正确；B选项，因为时，，由得，即，所以为公差为1的等差数列，首项为，所以，故，B错误；C选项，当时，当时，，时，，当时，当时，，时，，综上，C正确；D选项，若，时，，显然此时满足上式，故，此时，若，时，，显然此时满足上式，故，此时，综上，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中所有项的系数和为__________．【答案】243【解析】【分析】利用赋值法求解所有项的系数和即可.【详解】令，可得展开式中所有项的系数和为.故答案为：13.按如图所示的规则练习数数，数到2026时是第__________次数到食指.【答案】507【解析】【分析】由图中数字可知，中指对应的数的通项公式，代入2027求解次数，即可求出2026对应的食指次数．【详解】由图中数字可知，中指对应的数分别为3，7，11，15，19……∴中指对应的数构成以3为首项，4为公差的等差数列，其通项公式为：；因为，所以数到2027时，对应的指头是第507次数到中指.所以数到2026时，对应的指头是第507次数到食指.故答案为：507.14.已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________.【答案】##【解析】【分析】依题意可知圆心横坐标，设出圆的方程并与抛物线联立，再由交点个数并构造函数求出函数单调性得出极值和最值，求出切点的坐标满足的条件可得结果.【详解】由题意知,准线方程为,因为圆与轴相切于点,所以可设圆心,半径为.可得圆的方程式为，展开得,因抛物线与圆有且只有一个公共点，将代入圆的方程得，即,因此该方程只有一解，当时，即有且仅有一个实数根，令函数，则，令，可得，因此当，；当，；当，；所以函数在上单调递增，在上单调递减；又易知函数满足，即函数为奇函数，因此当时，在处取得极小值，其函数图象如下图所示：即可得当时，满足题意，此时，即，；所以切点的坐标满足，因此.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）合理作出辅助线，利用中位线定理结合平行四边形的性质得到，再结合线面平行的判定定理求解即可.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用平面夹角的向量求法求解即可.【小问1详解】取PB中点，连接，分别为的中点，且，且，，且，则四边形为平行四边形，，平面平面，平面.【小问2详解】取中点，连接，，，∵平面平面，面，平面，，为正三角形，，如图，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，解得，，面，，，面，，面，是平面的法向量，，平面与平面夹角的余弦值为.16.某科技公司研发了一款用于医疗影像辅助诊断的AI算法，为了测试该算法的准确性，工程师准备了一组包含25张正常样本和75张异常样本的100张医学影像，算法对每张影像进行独立识别与判断，根据初步测试，算法的判断准确率如下：当影像为正常样本时，算法判断为“正常”的概率为，当影像为异常样本时，算法判断为“异常”的概率为.（1）从这100张影像中随机抽取2张，求2张均为正常样本的概率；（2）现从100张影像中随机抽取3次，每次抽取1张影像进行测试，每次抽取并测试后放回，用随机变量表示这3次测试中算法正确判断的次数，求随机变量的分布列及其数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用组合知识解决古典概型的概率问题；（2）先利用全概率公式计算“算法正确判断”的概率，得出，根据二项分布求出分布列以及期望.【小问1详解】记“抽到的两张均为正常样本”为事件，则，故2张均为正常样本的概率为；【小问2详解】记“抽取一张抽到正常样本”为事件，“算法判断为正常”为事件，“算法正确判断”为事件，则“抽到异常样本”为事件，“算法判断为异常”为事件，则，，则，法一，，的分布列为X0123.法二：的分布列为，17.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且.（1）求证：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再结合即可求证；（2）由结合余弦定理可得，进而结合利用三角恒等变换公式化简求解即可.【小问1详解】在Rt中，，在Rt中，，而，则，即，则.【小问2详解】由，得,所以，又，则，即，由（1）知，，所以，则，则，即，则，解得或（舍去）又，则，所以，即.18.已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为.（1）求的标准方程；（2）若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为.（i）求的最小值；（ii）求的值.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）由实轴长得，焦点到渐近线的距离为，求出的标准方程；（2）（i）设直线方程并联立双曲线，得到的一元二次方程及判别式、交点位置条件（），根据弦长公式与面积公式的两种推导方法，点到直线距离法、分割三角形，换元后利用单调性求最值；（ii）由的位置分析斜率符号，进而确定、，得到，利用两角和的正切